Lớp 9 · Chương I: Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

🚀 Khởi động

🐕 Vừa gà vừa chó

Bài toán cổ Việt Nam có câu:

“Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”

Nếu gọi số con gà là $x$ và số con chó là $y$ , em hãy viết hai hệ thức liên hệ giữa $x$ và $y$ dựa vào dữ kiện bài toán.

Tổng số con là 36: $x + y = 36$
Tổng số chân là 100 (gà có 2 chân, chó có 4 chân): $2 x + 4 y = 100$

Hai hệ thức trên là những ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn. Kết hợp chúng lại, ta được một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ là hệ thức dạng:

$a x + b y = c$

Trong đó $a, b, c$ là các số đã biết, $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

📖 2. Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

{a x + b y = c a^{'} x + b^{'} y = c^{'}

Trong đó, mỗi phương trình là một phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của hệ:

Cặp số $(x_{0}; y_{0})$ được gọi là một nghiệm của hệ nếu nó là nghiệm chung của cả hai phương trình.
Tùy vào vị trí tương đối của hai đường thẳng mà hệ có thể: có một nghiệm duy nhất, vô nghiệm, hoặc vô số nghiệm.

🎯 3. Các Dạng toán cơ bản

Dạng 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận biết: Phương trình có dạng $a x + b y = c$ với $a, b$ không đồng thời bằng 0.
Nghiệm: Một cặp số $(x_{0}; y_{0})$ là nghiệm nếu $a x_{0} + b y_{0} = c$ . Phương trình luôn có vô số nghiệm.
Biểu diễn hình học: Tập nghiệm được biểu diễn bởi một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ $O x y$ . Để vẽ, ta thường xác định hai điểm (cặp nghiệm) thuộc đường thẳng rồi nối chúng lại.

✏️ Luyện tập

🏆 Điểm:0

Phương trình

Đây có phải phương trình bậc nhất hai ẩn không?

Dạng 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận biết: Gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn kết hợp lại.
Nghiệm: Cặp số $(x_{0}; y_{0})$ là nghiệm của hệ nếu nó là nghiệm chung của cả hai phương trình trong hệ.
Biểu diễn hình học: Nghiệm của hệ là giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình đó.
- Hai đường thẳng cắt nhau $\to$ Hệ có 1 nghiệm duy nhất.
- Hai đường thẳng song song $\to$ Hệ vô nghiệm.
- Hai đường thẳng trùng nhau $\to$ Hệ có vô số nghiệm.

✏️ Luyện tập

🏆 Điểm:0

Hệ phương trình

Đây có phải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không?

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình $2 x + y = 5$ . Cặp số $(1; 3)$ có là nghiệm không? Giải: Thay $x = 1, y = 3$ vào vế trái: $2 (1) + 3 = 5$ (bằng vế phải). Vậy $(1; 3)$ là một nghiệm.
Ví dụ 2: Cho hệ ${x - y = 1 2 x + 3 y = 7$ . Cặp số $(2; 1)$ có là nghiệm không? Giải: Thay $x = 2, y = 1$ vào hệ:
- Pt 1: $2 - 1 = 1$ (đúng)
- Pt 2: $2 (2) + 3 (1) = 7$ (đúng). Vậy $(2; 1)$ là nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ 3: Cặp số $(0; 5)$ có phải là nghiệm của phương trình trên không? Giải: Thay $(0; 5)$ vào Pt 1: $0 - 5 = - 5 \neq = 1$ . Vậy cặp số không là nghiệm của hệ do nó không thỏa mãn phương trình đầu tiên.

⭐ Ghi nhớ

Tổng kết bài học:

Phương trình bậc nhất hai ẩn: Luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm trên đồ thị là một đường thẳng.
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Tập các nghiệm chung của 2 đường thẳng, thường giao nhau sinh ra 1 nghiệm duy nhất. Có thể vô nghiệm (song song) hoặc vô số nghiệm (trùng nhau).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Xác định các hệ số $a, b, c$ .

a) $3 x + y = - 2$

b) $x^{2} + 2 y = 1$

c) $0 x + 0 y = 5$

d) $x - 0 y = 4$

Bài 2: Kiểm tra xem cặp số $(2; - 1)$ có phải là nghiệm của các hệ phương trình sau không?

a) ${x + y = 1 2 x - y = 5$

b) ${2 x + 3 y = 1 - x + y = 4$

c) ${3 x - y = 7 x + 4 y = - 2$

d) ${\frac{1}{2} x + y = 0 4 x - 2 y = 10$

Bài 3: Cho phương trình $x - 2 y = 4$ .

a) Cặp số $(4; 0)$ có phải là nghiệm của phương trình không?

b) Tìm một nghiệm khác của phương trình có giá trị tung độ (y) bằng 1.

c) Tìm một nghiệm có giá trị hoành độ (x) bằng 0.

d) Viết dạng đồ thị để biểu diễn nó trên hàm số $y = f (x)$ .

Bài 4: Cho hệ phương trình: ${m x + y = 3 4 x + y = 5$

a) Kiểm tra xem khi $m = 1$ , cặp số $(2; - 1)$ có phải là nghiệm của hệ hay không?

b) Khi cặp số $(1; 1)$ là nghiệm của phương trình thứ hai, hãy tìm $m$ để nó cũng là nghiệm của hệ.

c) Thay vế vào xem $m$ nào khiến 2 đường thẳng song song?

d) Tại sao $m = 4$ lại khiến hệ vô nghiệm? (Giải thích qua đường thẳng)

Bài 5 (Thực tế): Trong một xưởng mộc, nhân công phải làm hai loại sản phẩm: Bàn $(x)$ và ghế $(y)$ .

a) Lập phương trình biểu thị: Một cái bàn cần 4 chân, một cái ghế cần 4 chân, tổng số chân gỗ cần dùng là 100 chân.

b) Lập phương trình biểu thị: Giá một cái bàn là 500 nghìn, một cái ghế là 150 nghìn, tổng doanh thu là 4 triệu.

c) Lập hệ phương trình từ (a) và (b).

d) Cặp số $(x; y) = (5; 10)$ có thoả mãn đề bài không?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) Là pt bậc nhất ( $a = 3, b = 1, c = - 2$ )

b) Không (vì có $x^{2}$ )

c) Không (vì $a = b = 0$ )

d) Là pt bậc nhất ( $a = 1, b = 0, c = 4$ )

Bài 2:

a) Có (thỏa mãn cả 2 pt)

b) Không (chỉ thỏa mãn pt 1, không thỏa mãn pt 2)

c) Có

d) Có

Bài 3:

a) Có ( $4 - 2 (0) = 4$ )

b) Thay $y = 1 \Rightarrow x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6 \Rightarrow (6; 1)$

c) Thay $x = 0 \Rightarrow - 2 y = 4 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow (0; - 2)$

d) $y = \frac{1}{2} x - 2$

Bài 4:

a) Với $m = 1$ , hệ là $x + y = 3$ và $4 x + y = 5$ . Kiểm tra $(2; - 1)$ : $2 - 1 \neq = 3$ . Vậy không.

b) Để $(1; 1)$ là nghiệm thì $m (1) + 1 = 3 \Rightarrow m = 2$ .

c) Nếu $m = 4$ , hệ số góc bằng nhau.

d) Vì $m = 4$ , hai phương trình là $4 x + y = 3$ và $4 x + y = 5$ . Cùng một vế trái nhưng bằng 2 giá trị khác nhau, vô lý $\to$ Hai đường thẳng song song $\to$ Vô nghiệm.

Bài 5:

a) $4 x + 4 y = 100$

b) $500 x + 150 y = 4000$

c) Hệ: ${4 x + 4 y = 100 500 x + 150 y = 4000$

d) Thay $(5; 10)$ : $4 (5) + 4 (10) = 60 \neq = 100$ . Vậy không phải nghiệm. (Nghiệm thực tế là $x = 1, y = 24$ ).