Lớp 9 · Chương VII: Tần số và tần số tương đối

Bài 22: Bảng tần số và biểu đồ tần số

🚀 Khởi động

📊 Câu chuyện thu thập dữ liệu

Đầu năm học mới, lớp trưởng lớp 9A được giáo viên chủ nhiệm giao nhiệm vụ thống kê cỡ áo đồng phục của 40 học sinh trong lớp để đặt may. Sau khi ghi chép lại trên danh sách lớp, lớp trưởng thu được một dãy dữ liệu thô gồm 40 con số liên tiếp nhau như: S, M, L, M, S, XL, M, L, ...

Khi nhìn vào một dải dữ liệu thô rất dài này, giáo viên sẽ mất nhiều thời gian để nhận ra được cỡ áo nào cần đặt nhiều nhất, cỡ áo nào cần đặt ít nhất. Để khắc phục vấn đề này, trong toán học thống kê, người ta thực hiện việc thu gọn dữ liệu vào một bảng tổng hợp ngắn gọn, giúp thể hiện bao quát về toàn bộ số liệu. Đó chính là Bảng tần số.

🔍 I. Lý thuyết trọng tâm

📖 1. Khái niệm Tần số

Trong một mẫu số liệu thống kê:

Số lần xuất hiện của một giá trị $x$ trong mẫu số liệu được gọi là tần số của giá trị đó, kí hiệu là $n$ .
Số các số liệu có trong một mẫu dữ liệu được gọi là cỡ mẫu, kí hiệu là $N$ .

Nhận xét quan trọng: Nếu gộp tổng tất cả các tần số của mọi giá trị có mặt trong mẫu số liệu, ta sẽ luôn được một kết quả bằng chính cỡ mẫu $N$ . $n_1 + n_2 + \dots + n_k = N$

📖 2. Bảng tần số

Để có cái nhìn tổng quan về mẫu số liệu, ta có thể lập bảng tần số theo các bước sau:

Xác định các giá trị khác nhau có trong mẫu số liệu và sắp xếp chúng theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Đếm số lần xuất hiện (tần số) của mỗi giá trị đó.
Trình bày các giá trị và tần số tương ứng dưới dạng bảng (hàng ngang hoặc cột dọc).

Ví dụ: Mẫu số liệu điểm bài tập vòng 1 của nhóm gồm 5 học sinh: 7, 8, 8, 9, 7

Cỡ mẫu: $N = 5$ .
Bảng tần số:

Giá trị ( $x$ )	7	8	9
Tần số ( $n$ )	2	2	1

📖 3. Biểu đồ tần số

Để dễ dàng so sánh bằng mắt thường xem tần số nào lớn, tần số nào nhỏ, người ta biểu diễn bảng tần số thông qua biểu đồ cột hoặc biểu đồ đoạn thẳng.

Trục hoành (Nằm ngang): Thể hiện các giá trị $x$ của đại lượng được thống kê.
Trục tung (Thẳng đứng): Thể hiện tần số $n$ , cho biết số lượng/mật độ xuất hiện.

🖩 4. Máy tính Thống kê tương tác

Sử dụng công cụ dưới đây bằng cách nhập một dãy các dữ liệu tách nhau bởi dấu phẩy (Ví dụ: 10, 15, 10, ...). Hệ thống sẽ giúp bạn tự lập sơ đồ bảng tần số nhanh chóng.

Máy Tính Thống Kê & Tần Số

Nhập dãy số liệu thống kê, cách nhau bởi dấu phẩy hoặc khoảng trắng.

Cỡ Mẫu (N)

Số Trung Bình (x̄)

7.3

Bảng Phân Bố Tần Số & Tần Số Tương Đối:

Giá trị (x)	Tần số (n)	Tần số tương đối (f)
5	1	10.0%
6	2	20.0%
7	3	30.0%
8	2	20.0%
9	1	10.0%
10	1	10.0%
Tổng Vị Trí	N = 10	100%

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Chuyển dữ liệu thô thành Bảng tần số Phương pháp:

Xét toàn bộ mẫu số liệu và lọc ra các giá trị khác nhau, đưa chúng vào cùng một dòng (hoặc một cột) theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Đếm số lần bắt gặp của từng giá trị trong số liệu và điền tần số $n$ vào ô hoặc dòng tương ứng.
Lưu ý kiểm tra: Tính tổng các tần số vừa tìm được. Nếu kết quả trùng khớp với cỡ mẫu $N$ , ta đã thống kê đủ số lượng.

Ví dụ 1: Trọng lượng (đơn vị: kg) của $10$ học sinh đăng kí tham gia câu lạc bộ Judo được ghi nhận như sau: 35, 36, 35, 40, 36, 35, 36, 40, 42, 35

Hãy lập bảng tần số và tìm giá trị có tần số lớn nhất? Hướng dẫn:

Các mức khối lượng phân biệt là: 35, 36, 40, 42.
Tính tần số xuất hiện của từng giá trị:
- $35\text{ kg}$ : xuất hiện 4 lần $\Rightarrow n = 4$ .
- $36\text{ kg}$ : xuất hiện 3 lần $\Rightarrow n = 3$ .
- $40\text{ kg}$ : xuất hiện 2 lần $\Rightarrow n = 2$ .
- $42\text{ kg}$ : xuất hiện 1 lần $\Rightarrow n = 1$ .
Bảng tần số tương ứng:

Lượng (kg) - $x$	35	36	40	42
Tần số ( $n$ )	4	3	2	1

(Tổng các tần số: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ , khớp với số học sinh khảo sát ban đầu). Giá trị $35\text{ kg}$ có xuất hiện nhiều nhất với tần số $n=4$ .

Dạng 2: Phân tích số liệu từ Biểu đồ tần số Phương pháp:

Đọc trục ngang để tìm các loại đối tượng, đặc điểm (chỉ số $x$ ).
Từ đỉnh các cột gióng sang trục dọc $Oy$ nhằm xác định được tần số (chỉ số $n$ ) tương ứng của đại lượng đang xét.
Cột nào cao nhất chứng tỏ giá trị đó xuất hiện nhiều nhất (Mốt). Tổng các độ cao gộp lại chính là cỡ mẫu $N$ .

Ví dụ 2: Dựa vào biểu đồ cột ở phần I, hãy xác định tần số của điểm $8$ và tìm quy mô học sinh khảo sát tổng thể? Hướng dẫn:

Gióng từ vị trí giá trị $x = 8$ ở trục hoành lên đỉnh cột, ta thấy điểm này tương ứng với số 3 ở trục tung. Tần số của điểm $8$ là $3$ .
Quy mô mẫu (Số lượng học sinh) $N = 2 + 3 + 1 = 6$ (học sinh).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 9

Dễ0 đã trả lời

Tần số của một giá trị trong mẫu số liệu là gì?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Phòng kế toán của một chi nhánh ghi chép lại thời gian (tính theo phút) hoàn thành thao tác xử lí một mã hàng hóa của một nhóm nhân viên mới: 6, 6, 7, 5, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 6, 7

a) Cỡ mẫu dữ liệu này là bao nhiêu? b) Hãy lập bảng tần số đối với dải số liệu trên. c) Thời gian thao tác của nhân viên phần đông hội tụ vào mức phút nào nhất?

Bài 2: Bảng dữ liệu do tổ giáo viên bộ môn tổng hợp số lỗi chính tả trong vở bài tập của một tổ gồm 15 học sinh:

Số lỗi ( $x$ )	0	1	2	3
Tần số ( $n$ )	$4$	$a$	$5$	$1$

a) Dựa vào đặc tính cỡ mẫu bằng 15, hãy điền số thích hợp vào tham số ẩn $a$ ? b) Có bao nhiêu phần trăm số học sinh trong tổ hoàn toàn không mắc lỗi chính tả nào?

📊 Hướng dẫn giải

Bài 1: a) Cỡ mẫu $N$ chính là tổng số dữ liệu đếm được trong dòng quan trắc: $N = 12$ . b) Thống kê tần số:

5 phút: 1 lần ( $n=1$ ).
6 phút: 5 lần ( $n=5$ ).
7 phút: 4 lần ( $n=4$ ).
8 phút: 2 lần ( $n=2$ ).

Thời gian (phút)	5	6	7	8
Tần số ( $n$ )	1	5	4	2

c) Mức thời gian thao tác tốn 6 phút có tần số cao nhất ( $n=5$ ). Đây là mức thời gian phổ biến nhất.

Bài 2: a) Ta có tổng tần số phải bằng cỡ mẫu $N=15$ . Do đó, $4 + a + 5 + 1 = 15 \Rightarrow a + 10 = 15 \Rightarrow a = 5$ . Tần số học sinh mắc 1 lỗi chính tả là 5 học sinh.

b) Số học sinh hoàn toàn không mắc lỗi chính tả ( $x=0$ ) có số lượng là 4 em (tần số $n=4$ ). Tỉ lệ phần trăm các em này trong tổ là: $\frac{4}{15} \cdot 100\% \approx 26.67\%$ .