Lớp 9 · Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

🚀 Khởi động

💄 Trang điểm cho Biểu thức

Trong giải toán, ta không thích những biểu thức “kém sắc” như $\frac{10}{\sqrt{5}}$ chứa căn ở dưới mẫu, hay những cụm $\sqrt{200}$ quá to lớn nhìn rối mắt. Vì vậy, người ta tìm ra các thuật Biến đổi đơn giản:

$\sqrt{200}$ có thể “tút tát” nhỏ gọn thành $10\sqrt{2}$ .
$\frac{10}{\sqrt{5}}$ có thể triệt tiêu căn ở mẫu thành $2\sqrt{5}$ .

Vậy những công cụ trang điểm đó hoạt động như thế nào? Cùng tìm hiểu ba phép biến đổi thần thánh:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
Đưa thừa số vào trong dấu căn.
Trục căn thức ở mẫu.

🔍 Khám phá

📖 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Đôi khi biểu thức trong căn chứa những số chính phương to bự, ta có thể “khai tống” nó ra ngoài và cho đứng cạnh làm hệ số.

Với hai biểu thức $A, B$ mà $B \ge 0$ , ta có: $\sqrt{A^2 \cdot B} = |A|\sqrt{B}$

Nếu $A \ge 0$ , thì $\sqrt{A^2 B} = A\sqrt{B}$ .
Nếu $A < 0$ , thì $\sqrt{A^2 B} = -A\sqrt{B}$ .

Ví dụ:

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ .
Đưa ra ngoài dấu căn với $y < 0$ : $\sqrt{5y^4} = |y^2|\sqrt{5} = y^2\sqrt{5}$ (Vì mũ chẵn luôn dương).
$\sqrt{8x^3} = \sqrt{4x^2 \cdot 2x} = 2x\sqrt{2x}$ (điều kiện $x > 0$ ).

📖 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Biến đổi ngược lại với Đưa ra ngoài (Dùng nhiều để so sánh các số hữu tỉ lai với vô tỉ).

Nếu $A \ge 0$ và $B \ge 0$ thì $A\sqrt{B} = \sqrt{A^2 \cdot B}$ .
Nếu $A < 0$ và $B \ge 0$ thì $A\sqrt{B} = -\sqrt{A^2 \cdot B}$ . (Hãy cảnh giác với số âm!)

Ví dụ:

So sánh $3\sqrt{7}$ và $\sqrt{28}$ : Đưa 3 vào trong: $3\sqrt{7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = \sqrt{63}$ . Vì $63 > 28 \Rightarrow \sqrt{63} > \sqrt{28} \Rightarrow 3\sqrt{7} > \sqrt{28}$ .
Đưa hệ số $-5$ vào trong $\sqrt{2}$ : $-5\sqrt{2} = -\sqrt{5^2 \cdot 2} = -\sqrt{50}$ .

📖 3. Trục căn thức ở mẫu

Quy tắc cối lõi là tìm cách nhân thêm vào mẫu một thứ mà khi nhân cấu trúc nó sẽ MẤT DẤU CĂN. Thứ đó được gọi là Lượng Liên Hợp.

Trường hợp 1: Mẫu là căn đơn $\sqrt{B}$ Nhân cả tử và mẫu với chính $\sqrt{B}$ : $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A\sqrt{B}}{B}$

Trường hợp 2: Mẫu là một nhị thức $\sqrt{A} \pm B$ hoặc $\sqrt{A} \pm \sqrt{B}$ Ta nhân tử và mẫu với lượng liên hợp nhằm kích hoạt hằng đẳng thức $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ .

Lượng liên hợp của $(\sqrt{A} - \sqrt{B})$ là $(\sqrt{A} + \sqrt{B})$ .
Do: $(\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B$ .

Ví dụ: Trục căn thức phân số: $\frac{10}{3 - \sqrt{5}}$ . Giải: Lượng liên hợp của mẫu là $(3 + \sqrt{5})$ . Ta có: $\frac{10(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{10(3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{10(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{10(3 + \sqrt{5})}{4} = \frac{5(3 + \sqrt{5})}{2}$

⭐ Ghi nhớ

Biểu thức sau tút tát trông rõ ràng, sạch sẽ hơn và giúp chúng ta dễ dàng cộng trừ các “Căn đồng dạng” với nhau. Quá trình giải một biểu thức chứa toàn căn dài ngoằng thường quy về đưa ra ngoài dấu căn, sau đó cộng trừ hệ số ở ngoài với nhau.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Đưa thừa số $3$ vào trong dấu căn của biểu thức $3\sqrt{5}$ , ta được:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{20}$

b) $\sqrt{54}$

c) $\sqrt{28a^4b^2}$ ( $b>0$ )

d) $\sqrt{75x^2y^3}$ ( $x<0, y>0$ )

Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $4\sqrt{3}$

b) $-6\sqrt{2}$

c) $x\sqrt{5/x}$ ( $x>0$ )

d) $x\sqrt{-7/x}$ ( $x<0$ )

Bài 3: Trục căn thức ở mẫu cơ bản:

a) $\frac{5}{\sqrt{10}}$

b) $\frac{3}{\sqrt{12}}$

c) $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$

d) $\frac{6}{\sqrt{3} + 1}$

Bài 4: Rút gọn biểu thức tổng hợp:

a) $A = 3\sqrt{12} - 2\sqrt{27} + \frac{1}{2}\sqrt{48}$

b) $B = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ (Gợi ý: Trục mẫu)

c) $C = (\sqrt{14} - \sqrt{7}) / (1 - \sqrt{2})$

d) $D = x - (\sqrt{x^2 - 4x + 4})$ với $x < 2$ .

Bài 5 (Nâng cao): Cầu vượt. Một cầu vượt đi bộ có một chân chống hình tam giác vuông. Cạnh huyền có độ dài $\sqrt{50} + \sqrt{18}$ mét.

a) Chuyển độ dài cạnh huyền về dạng thu gọn nhất $a\sqrt{2}$ .

b) Để gia tăng kết cấu, ngta bọc một trụ đỡ có kích thước đo được là $\frac{8}{\sqrt{2}}$ . Hệ số nào lớn hơn? So sánh.

c) Biết chi phí nguyên liệu tính bằng bình phương chiều dài. (giá $C = k \cdot length^2$ ). Chi phí cho cạnh huyền tỷ lệ bao nhiêu với trụ đỡ? (Toán học $\frac{l_{huyen}^2}{l_{tru}^2}$ ).

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $2\sqrt{5}$

b) $3\sqrt{6}$

c) $2a^2b\sqrt{7}$

d) $|x|y\sqrt{75y} = -5xy\sqrt{3y}$ .

Bài 2:

a) $\sqrt{48}$

b) $-\sqrt{72}$

c) $\sqrt{x^2 \cdot 5/x} = \sqrt{5x}$

d) Vì $x<0$ , ta đưa $-(-x)$ vào $\Rightarrow -\sqrt{x^2 \cdot (-7/x)} = -\sqrt{-7x}$ .

Bài 3:

a) $\frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ .

b) $\frac{3\sqrt{12}}{12} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

c) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7-5} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$ .

d) $\frac{6(\sqrt{3}-1)}{3-1} = 3(\sqrt{3}-1)$ .

Bài 4:

a) $A = 3(2\sqrt{3}) - 2(3\sqrt{3}) + 0.5(4\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ .

b) Tử nhân tử ra bình phương, mẫu ra $5-3=2$ . $\Rightarrow \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$ .

c) Đặt nhân tử $\sqrt{7}$ tại tử: $\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)$ . Rút với $-\sqrt{2} + 1 = -(1-\sqrt{2})$ . Rút mẫu $\Rightarrow C = -\sqrt{7}$ .

d) $\sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$ . Vì $x<2 \Rightarrow |x-2|=2-x$ . Vậy $D = x - (2-x) = 2x - 2$ .

Bài 5:

a) $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ . $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ . Cạnh huyền dài $8\sqrt{2}$ .

b) Trụ đỡ: $\frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ . Nên cạnh huyền lớn gấp đôi.

c) $\frac{(8\sqrt{2})^2}{(4\sqrt{2})^2} = \frac{128}{32} = 4$ . Chi phí gấp 4 lần.