Ôn tập chương 1 - Toán 9

Lời giải:

a) Các phương trình bậc nhất hai ẩn là:

• $2x - y = 5$ ($a=2, b=-1, c=5$)
• $0x - 2y = 6$ ($a=0, b=-2, c=6$)
• $3x + 0y = 0$ ($a=3, b=0, c=0$) ($x^2 + 3y = 4$ có bậc 2; $0x + 0y = 2$ có $a=b=0$ nên không phải).

b) Thay tọa độ vào phương trình $3x - 2y = 6$:

• $(2; 0): 3(2) - 2(0) = 6$ (Đúng - Là nghiệm)
• $(0; -3): 3(0) - 2(-3) = 6$ (Đúng - Là nghiệm)
• $(4; 3): 3(4) - 2(3) = 6$ (Đúng - Là nghiệm)

Lời giải:

a) $2x - y = 3 \Rightarrow y = 2x - 3$. Nghiệm tổng quát: $(x \in \mathbb{R}; y = 2x - 3)$. Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng $y = 2x - 3$ đi qua $(0; -3)$ và $(1,5; 0)$.

b) $0x + 3y = 6 \Rightarrow y = 2$. Nghiệm tổng quát: $(x \in \mathbb{R}; y = 2)$. Biểu diễn là đường thẳng song song trục hoành, đi qua $(0; 2)$.

c) $-2x + 0y = 4 \Rightarrow x = -2$. Nghiệm tổng quát: $(x = -2; y \in \mathbb{R})$. Biểu diễn là đường thẳng song song trục tung, đi qua $(-2; 0)$.

Lời giải:

a) Từ pt(1) $\Rightarrow x = 3y + 2$. Thế vào pt(2): $2(3y + 2) + 5y = 15 \Rightarrow 6y + 4 + 5y = 15 \Rightarrow 11y = 11 \Rightarrow y = 1$. Thay $y=1$ vào $x \Rightarrow x = 3(1) + 2 = 5$. Nghiệm: $(5; 1)$.

b) Từ pt(1) $\Rightarrow y = 2 - 4x$. Thế vào pt(2): $8x + 2(2 - 4x) = 1 \Rightarrow 8x + 4 - 8x = 1 \Rightarrow 4 = 1$ (vô lý). Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a) Cộng vế theo vế hai phương trình: $5x = 10 \Rightarrow x = 2$. Thay $x=2$ vào pt(1): $3(2) + 2y = 7 \Rightarrow 6 + 2y = 7 \Rightarrow 2y = 1 \Rightarrow y = 0,5$. Nghiệm: $(2; 0,5)$.

b) Nhân pt(1) với $3$, nhân pt(2) với $4$: $\begin{cases} 15x - 12y = 9 \\ 8x + 12y = 60 \end{cases}$ Cộng vế theo vế: $23x = 69 \Rightarrow x = 3$. Thay $x=3$ vào pt(2): $2(3) + 3y = 15 \Rightarrow 6 + 3y = 15 \Rightarrow 3y = 9 \Rightarrow y = 3$. Nghiệm: $(3; 3)$.

Lời giải:

a) Rút gọn từng phương trình: $\begin{cases} 2x + 2y + 3x - 3y = 4 \\ x + y + 2x - 2y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5x - y = 4 \\ 3x - y = 5 \end{cases}$ Trừ vế theo vế hai PT: $2x = -1 \Rightarrow x = -0,5$. Thay $x = -0,5$ vào $3x - y = 5$: $3(-0,5) - y = 5 \Rightarrow -1,5 - y = 5 \Rightarrow y = -6,5$. Nghiệm: $(-0,5; -6,5)$.

b) Quy đồng và khử mẫu: Pt(1) nhân với 60: $20(x + 1) - 15(y + 2) = 24(x - y) \Rightarrow 20x + 20 - 15y - 30 = 24x - 24y \Rightarrow -4x + 9y = 10$. Pt(2) nhân với 12: $3(x - 3) - 4(y - 3) = 12(2y - x) \Rightarrow 3x - 9 - 4y + 12 = 24y - 12x \Rightarrow 15x - 28y = -3$. Giải hệ $\begin{cases} -4x + 9y = 10 \\ 15x - 28y = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -11 \\ y = -3,8 \end{cases}$.

Lời giải:

a) Khi $m = 2$, hệ trở thành $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 3 \end{cases}$. Từ pt(2) $x = 3 - 2y$, thế vào pt(1): $2(3 - 2y) - y = 3 \Rightarrow 6 - 5y = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{5}$. Nên $x = 3 - 2(\frac{3}{5}) = \frac{9}{5}$. Nghiệm $(\frac{9}{5}; \frac{3}{5})$.

b) Từ pt(2) $x = 2m - 1 - 2y$, thế vào pt(1): $2(2m - 1 - 2y) - y = m + 1 \Rightarrow 4m - 2 - 5y = m + 1 \Rightarrow 5y = 3m - 3 \Rightarrow y = \frac{3m - 3}{5}$. Thay vào tìm $x$: $x = 2m - 1 - 2(\frac{3m - 3}{5}) = \frac{10m - 5 - 6m + 6}{5} = \frac{4m + 1}{5}$. Thay $x, y$ vào $x + y = 3$: $\frac{4m + 1}{5} + \frac{3m - 3}{5} = 3 \Rightarrow \frac{7m - 2}{5} = 3 \Rightarrow 7m - 2 = 15 \Rightarrow 7m = 17 \Rightarrow m = \frac{17}{7}$.

Lời giải:

Gọi số lớn là $x$, số bé là $y$ ($x, y \in \mathbb{N}^*, x > y, y > 16$). Theo đề bài, tổng hai số là 156 nên: $x + y = 156$ (1). Số lớn chia số bé được thương là 6, dư 16 nên: $x = 6y + 16$ hay $x - 6y = 16$ (2). Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 156 \\ x - 6y = 16 \end{cases}$. Trừ (1) với (2): $7y = 140 \Rightarrow y = 20$. Thế vào (1): $x + 20 = 156 \Rightarrow x = 136$. Vậy hai số cần tìm là 136 và 20.

Lời giải:

Gọi vận tốc thực của canô là $x$ (km/h) và vận tốc dòng nước là $y$ (km/h) ($x > y > 0$). Vận tốc xuôi dòng là $x + y$, ngược dòng là $x - y$. Thời gian lần thứ nhất: $\frac{90}{x+y} + \frac{36}{x-y} = 6$. Thời gian lần thứ hai: $\frac{60}{x+y} + \frac{48}{x-y} = 6$.

Đặt $u = \frac{1}{x+y}$ và $v = \frac{1}{x-y}$, ta có hệ: $\begin{cases} 90u + 36v = 6 \\ 60u + 48v = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 15u + 6v = 1 \\ 10u + 8v = 1 \end{cases}$. Giải hệ này ta được $u = \frac{1}{30}$ và $v = \frac{1}{12}$. Suy ra $\begin{cases} x + y = 30 \\ x - y = 12 \end{cases}$. Cộng đại số được $2x = 42 \Rightarrow x = 21$; $y = 9$. Vận tốc thực là 21 km/h, vận tốc dòng nước là 9 km/h.

Lời giải:

Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt là $x$ và $y$ (ngày, $x > 12, y > 12$). Trong 1 ngày, đội 1 làm được $\frac{1}{x}$ (CV), đội 2 làm được $\frac{1}{y}$ (CV). Cùng làm xong trong 12 ngày: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$. Đội 1 làm 5 ngày, đội 2 làm 15 ngày được $75\% = \frac{3}{4}$ CV nên: $5\frac{1}{x} + 15\frac{1}{y} = \frac{3}{4}$.

Đặt $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$, ta có hệ: $\begin{cases} u + v = \frac{1}{12} \\ 5u + 15v = \frac{3}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5u + 5v = \frac{5}{12} \\ 5u + 15v = \frac{3}{4} \end{cases}$. Trừ vế: $10v = \frac{3}{4} - \frac{5}{12} = \frac{1}{3} \Rightarrow v = \frac{1}{30}$. Suy ra $u = \frac{1}{12} - \frac{1}{30} = \frac{1}{20}$. Vậy $x = 20$, $y = 30$. Đội 1 làm 1 mình hết 20 ngày, đội 2 hết 30 ngày.

Lời giải:

Gọi giá niêm yết của chiếc Tivi là $x$ (đồng) và chiếc quạt là $y$ (đồng) ($0 < x, y < 12 500 000$). Theo giá niêm yết tổng tiền là 12 500 000 đ: $x + y = 12 500 000$. Tivi giảm 15% nên giá bán thực tế là $0,85x$. Quạt giảm 10% nên giá bán thực tế là $0,9y$. Tổng số tiền thực tế phải trả là 10 850 000 đ: $0,85x + 0,9y = 10 850 000$.

Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 12 500 000 \\ 0,85x + 0,9y = 10 850 000 \end{cases}$ Nhân pt(1) với $0,9$: $\begin{cases} 0,9x + 0,9y = 11 250 000 \\ 0,85x + 0,9y = 10 850 000 \end{cases}$ Trừ vế: $0,05x = 400 000 \Rightarrow x = 8 000 000$. Suy ra $y = 12 500 000 - 8 000 000 = 4 500 000$. Vậy giá niêm yết của Tivi là 8.000.000 đồng, của quạt là 4.500.000 đồng.