Ôn tập chương 4 - Toán 9

Lời giải:

a) Theo định lí Pytago trong tam giác vuông MNP: $NP^2 = MN^2 + MP^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. Suy ra $NP = 15$ cm.

b) Tỉ số lượng giác góc $N$: $\sin N = \frac{MP}{NP} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$. $\cos N = \frac{MN}{NP} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$. $\tan N = \frac{MP}{MN} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$. $\cot N = \frac{MN}{MP} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$. Góc $P$ phụ $N$ nên: $\sin P = \frac{3}{5}$, $\cos P = \frac{4}{5}$, $\tan P = \frac{3}{4}$, $\cot P = \frac{4}{3}$.

Lời giải:

a) Vì $20^\circ + 70^\circ = 90^\circ$ nên $\sin 70^\circ = \cos 20^\circ$. Vậy $A = \sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ - \frac{1}{2} = 1 - 0,5 = 0,5$.

b) Vì $35^\circ + 55^\circ = 90^\circ$ nên $\tan 55^\circ = \cot 35^\circ \Rightarrow \tan 35^\circ \cdot \tan 55^\circ = \tan 35^\circ \cdot \cot 35^\circ = 1$. Vì $40^\circ + 50^\circ = 90^\circ$ nên $\cos 50^\circ = \sin 40^\circ \Rightarrow \frac{\sin 40^\circ}{\cos 50^\circ} = 1$. Vậy $B = 1 - 1 = 0$.

Lời giải:

a) $\widehat{B} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. $AB = AC \cdot \tan C = 10 \cdot \tan 30^\circ = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5,77$ cm. $BC = \frac{AC}{\cos C} = \frac{10}{\cos 30^\circ} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11,55$ cm.

b) $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ cm. $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \Rightarrow \widehat{B} \approx 53^\circ 8'$. $\widehat{C} = 90^\circ - 53^\circ 8' = 36^\circ 52'$.

Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức: $AH^2 = HB \cdot HC = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow AH = 6$ cm.

b) Có $BC = HB + HC = 4 + 9 = 13$ cm. Áp dụng hệ thức: $AB^2 = HB \cdot BC = 4 \cdot 13 = 52 \Rightarrow AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ cm. $AC^2 = HC \cdot BC = 9 \cdot 13 = 117 \Rightarrow AC = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$ cm.

Lời giải:

Ta có $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1$. $\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Vì $\alpha$ nhọn nên $\cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{4}{5}$. $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$. $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{4}{3}$.

Lời giải:

Khai triển HĐT: $A = (\sin^2 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2 \alpha)$ $A = 2\sin^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha = 2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$. Mà $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow A = 2 \cdot 1 = 2$. Biểu thức có giá trị không đổi bằng 2, không phụ thuộc vào $\alpha$.

Lời giải:

Kẻ đường cao CH vuông góc với phần kéo dài của đoạn thẳng BA tại H. Xét tam giác vuông AHC: Góc kề bù $\widehat{HAC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. $CH = AC \cdot \sin \widehat{HAC} = 8 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ cm. $AH = AC \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ cm.

Đoạn $BH = BA + AH = 6 + 4 = 10$ cm. (Vì H và B nằm về 2 phía so với A do góc BAC tù). Trong tam giác vuông BHC vuông tại H: $BC^2 = BH^2 + HC^2 = 10^2 + (4\sqrt{3})^2 = 100 + 48 = 148$. Cạnh $BC = \sqrt{148} = 2\sqrt{37}$ cm.

(Nếu câu a hỏi BH như sách cũ, BH là đường cao từ B đến đường thẳng AC, thì $BH = AB \cdot \sin 60^\circ = 3\sqrt{3}$. Kết quả BC vẫn ra $2\sqrt{37}$).

Lời giải:

Gọi h là chiều cao của cột cờ, l là chiều dài phần bóng dưới đất ($l = 6,5$m). Góc tạo bởi tia sáng và mặt đất là $\alpha = 42^\circ$. Theo hệ thức lượng giác trong tam giác vuông: $\tan \alpha = \frac{h}{l} \Rightarrow h = l \cdot \tan \alpha$. $h = 6,5 \cdot \tan 42^\circ \approx 6,5 \cdot 0,9004 \approx 5,85$ m. Làm tròn đến phần nguyên: $6$ mét.

Lời giải:

Gọi đỉnh ngọn hải đăng là A, chân ngọn hải đăng ở mặt nước là H ($AH = 80$m). Góc hạ xuống tàu thứ nhất là $12^\circ \Rightarrow$ góc tạo bởi đường ngắm và thân đèn hải đăng là $90^\circ - 12^\circ = 78^\circ$, hoặc góc tạo bởi tàu 1 và đỉnh A với chân đèn là $\widehat{H_1} = 12^\circ$ (so le trong với góc mặt ngang). Khoảng cách từ chân đèn tới tàu thứ 1: $x_1 = \frac{80}{\tan 12^\circ} \approx \frac{80}{0,2125} \approx 376,4$ m. Tương tự, khoảng cách từ chân đèn tới tàu 2 là: $x_2 = \frac{80}{\tan 20^\circ} \approx \frac{80}{0,3640} \approx 219,8$ m. Khoảng cách giữa hai tàu là $d = x_1 - x_2 \approx 376,4 - 219,8 = 156,6$ m $\approx 157$ mét.

Lời giải:

a) Tứ giác $ABHD$ có $\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{H} = 90^\circ$ nên $ABHD$ là hình chữ nhật. Suy ra $DH = AB = 6$, $BH = AD = 8$. $CH = CD - DH = 12 - 6 = 6$ cm. Trong tam giác vuông $BHC$: $BC = \sqrt{BH^2 + CH^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ cm.

b) Trong $\Delta BHC$: $\tan \widehat{C} = \frac{BH}{CH} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow \widehat{C} \approx 53^\circ 8'$. $\widehat{CBH} = 90^\circ - \widehat{C} = 36^\circ 52'$. Góc $ABC = \widehat{ABH} + \widehat{CBH} = 90^\circ + 36^\circ 52' = 126^\circ 52'$. Đường phân giác $BM \Rightarrow \widehat{MBC} = \frac{\widehat{ABC}}{2} = 63^\circ 26'$.