Lớp 9 · Chương VII: Tần số và tần số tương đối

Bài 23: Bảng tần số tương đối và biểu đồ tần số tương đối

🚀 Khởi động

📈 Quan sát góc độ cơ cấu thành phần

Trên bản tin thời sự, có một đoạn phóng sự kinh tế đề cập đến lượng gạo xuất khẩu giữa hai vùng trồng nông nghiệp:

“Năm nay, vùng A xuất khẩu $4$ triệu tấn lúa, và vùng B xuất khẩu $3$ triệu tấn lúa. Nếu chỉ nhìn thoáng qua, Vùng A có công lớn hơn do sản lượng đóng góp nhiều hơn. Nhưng khi quy đổi về tỉ trọng xuất khẩu trên tổng khối lượng nông sản toàn vùng trồng, việc sản xuất lúa tương đương chiếm tới $60\%$ tại Vùng B nhưng chỉ đạt có $20\%$ tỉ trọng kinh tế Vùng A.”

Trong phân tích số liệu học thuật, có những lúc ta không chỉ quan tâm tới những lượng số lớn lẻ loi tuyệt đối, mà thay vì đó sẽ so sánh số liệu đó biểu thị bao nhiêu phần trăm so với tổng số chung để khảo sát hiệu suất. Giá trị dạng “phần trăm” này được gọi là Tần số tương đối.

🔍 I. Lý thuyết trọng tâm

📖 1. Tần số tương đối và Bảng phân loại

Cho mẫu chứa $N$ số liệu. Giả sử giá trị (hoặc hiện tượng) $x_i$ xuất hiện trong mẫu với một tần số là $n_i$ .
Tần số tương đối (kí hiệu là $f_i$ ) của trị số $x_i$ là tỉ số phần trăm giữa tần số $n_i$ và quy mô cỡ mẫu chung $N$ . Ta có hệ thức: $f_i = \frac{n_i}{N} \cdot 100\%$

Tương tự như khái niệm Bảng tần số, nếu ta thay thế toàn bộ hàng tần số $n_i$ bằng hàng (hoặc cột) chứa số liệu dạng tỉ lệ % ( $f_i$ ), ta thu được Bảng tần số tương đối.

Quy luật bất biến: Tổng các tần số tương đối của tất cả các giá trị (thành tố) trong mẫu số liệu luôn đảm bảo kết quả ròng bằng $100\%$ (hay 1 quy đổi). $f_1 + f_2 + \dots + f_k = 100\%$ ( $100\%$ thể hiện tính toàn vẹn của một tập thể).

📖 2. Biểu đồ Tần số tương đối

Để minh họa trực quan sự phân bổ của tỷ lệ phần trăm vào một đại lượng, trong toán học thường dùng:

Biểu đồ hình quạt tròn (Pie Chart): Mẫu số liệu là một hình tròn trị dạo quanh (360°), tương ứng với $100\%$ . Mỗi giá trị được phân mảnh thành một miền quạt, tỉ lệ góc tương đương với tỉ số $f_i\%$ .
Biểu đồ cột tần số tương đối (Bar Chart): Cấu trúc tương đồng với biểu đồ cột tần số, khác ở việc trục tung $Oy$ lúc này thể hiện tỉ lệ tần số tương đối ( $f_i\%$ ) thay vì đo số đạc lượng ( $n_i$ ).

Ví dụ dưới đây thể hiện biểu đồ hình quạt cho bảng chi phí của một câu lạc bộ (Giải trí: 30%, Ăn uống: 50%, Di chuyển: 20%):

🖩 3. Công cụ xử lí Tỉ lệ thống kê

Bạn có thể nhập dữ liệu thô hoặc bảng giá trị và tần số vào máy tính toán dưới đây, hệ thống sẽ thực hiện chuyển đổi thành dạng tỷ lệ phần trăm tần số tương đối!

Máy Tính Thống Kê & Tần Số

Nhập dãy số liệu thống kê, cách nhau bởi dấu phẩy hoặc khoảng trắng.

Cỡ Mẫu (N)

Số Trung Bình (x̄)

7.3

Bảng Phân Bố Tần Số & Tần Số Tương Đối:

Giá trị (x)	Tần số (n)	Tần số tương đối (f)
5	1	10.0%
6	2	20.0%
7	3	30.0%
8	2	20.0%
9	1	10.0%
10	1	10.0%
Tổng Vị Trí	N = 10	100%

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Lập Bảng Tần số tương đối Phương pháp:

Rút tính cỡ mẫu $N$ bằng tổng số lượt phần tử đo được.
Với tần số $n_i$ của mỗi thuộc tính, áp dụng công thức tìm tỉ số cấu phần: $f_i = \frac{n_i}{N} \cdot 100\%$ .
Có thể kết hợp hai dòng $n_i$ và $f_i$ để biểu diễn trên cùng một Bảng Phân bố Tần số. (Luôn nhớ thử nghiệm xác suất tổng $f_i$ phải bằng $100\%$ hoặc xấp xỉ tỉ lệ thập phân tiệm cận $100$ ).

Ví dụ 1: Để chuẩn bị mua vật tư phòng dịch cho $40$ cán bộ nhân viên, trưởng phòng thực hiện kiểm duyệt chỉ số cỡ tay như sau: Cỡ M (12 thẻ), Cỡ L (20 thẻ), Cỡ XL (8 thẻ). Hãy lập bảng tần số tương đối tỉ lệ thẻ thành viên ứng với mỗi cỡ! Hướng dẫn:

Tổng cỡ mẫu $N = 40$ .
Xét các mức cỡ tay và tần số quy đổi phần trăm:
- Cỡ M: $f_M = \frac{12}{40} \cdot 100\% = 30\%$ .
- Cỡ L: $f_L = \frac{20}{40} \cdot 100\% = 50\%$ .
- Cỡ XL: $f_{XL} = \frac{8}{40} \cdot 100\% = 20\%$ .
Ta có bảng tần số tương đối:

Cỡ bao tay	M	L	XL
Tần số tương đối (%)	30	50	20

Dạng 2: Phục hồi Tần số từ Tần số tương đối Phương pháp:

Khi biết được tỉ lệ đóng góp của một tính trạng nào đó chiếm $f\%$ của tổng thể, đồng thời có quy mô cỡ mẫu chung là $N$ .
Sự hiện diện (tần số $n$ ) của đối lượng chính là: $n = \frac{f \cdot N}{100}$ .

Ví dụ 2: Dựa vào biểu đồ hình quạt biểu thị thị phần sử dụng di động thông minh của dân số, giả dụ như hãng B chiếm chiết suất $35\%$ thị phần. Với dữ liệu khảo sát từ $500$ người dân địa phương do một cơ quan công bố, hãy tìm xem xấp xỉ có bao nhiêu người thực tế đang chọn điện thoại hãng B? Hướng dẫn:

Áp dụng phép chuyển đổi nghịch từ tần số tương đối sang chỉ số nguyên: Số người lựa chọn sử dụng di động hãng B là: $n_B = \frac{35 \cdot 500}{100} = 175$ (người).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Tần số tương đối của một giá trị trong mẫu số liệu cho biết đại lượng nào?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Một đơn vị nghiên cứu tiến hành khảo sát $50$ hộ gia đình về số lượng ti vi đang hữu dụng trong nhà:

Phân khúc không có ti vi: 2 hộ
Có 1 máy: 15 hộ
Có 2 máy: 28 hộ
Từ 3 máy trở lên: 5 hộ

a) Hãy thực hiện thiết lập bảng tần số tương đối về lượng thiết bị thu phát truyền hình trên mẫu tổng. b) Phân khúc hộ gia đình trang bị 2 máy thu hình chiếm phần chi phối ra sao trong mô hình cộng đồng này?

Bài 2: Dưới đây là bảng thống kê chất lượng thành phẩm chi tiết của hệ thống cảm biến sau một lô quy trình $1000$ sản phẩm:

Xếp loại	A (Đạt yêu cầu)	B (Tái chế)	C (Phế phẩm)	Tổng (%)
Tần số tương đối (%)	$85$	$m$	$3$	100%

a) Dựa trên định lý tổng tần số tương đối, tìm giá trị cơ cấu % tái chế $m$ ?. b) Dây chuyền phế phẩm (loại C) mang lại cho doanh nghiệp thua lỗ trong dây chuyền. Hãy tính được tần số lỗi hiện thái (Số lượng phế phẩm lỗi)?

📊 Hướng dẫn giải

Bài 1: a) Cỡ mẫu $N = 50$ . Lập tỉ số Tần số / Cỡ mẫu theo tỉ lệ phần trăm:

0 tivi: $\frac{2}{50} \cdot 100\% = 4\%$ .
1 tivi: $\frac{15}{50} \cdot 100\% = 30\%$ .
2 tivi: $\frac{28}{50} \cdot 100\% = 56\%$ .
$\ge 3$ tivi: $\frac{5}{50} \cdot 100\% = 10\%$ .

Bảng thể hiện tần số tương đối:

Số lượng Tivi	0 cái	1 cái	2 cái	$\ge 3$ cái
Tỉ lệ (%)	4	30	56	10

b) Theo dữ liệu từ bảng tần số tương đối, tỉ trọng của chùm gia đình lắp 2 truyền hình chiếm con số đông lên tới $56\%$ . Có thể nhận định phần lớn hộ dân quy tụ tại phân mức 2 sản phẩm điện máy.

Bài 2: a) Tổng tỉ lệ phần trăm của sản phẩm trong lô hàng hoàn thiện là 100%. Do đó thành phần lô hàng loại B chứa: $m = 100\% - (85\% + 3\%) = 12\%$ .

b) Số sản phẩm phế phẩm loại C với $f_C = 3\%$ , mẫu $N = 1000$ là: $n_C = \frac{3 \cdot 1000}{100} = 30$ (Sản phẩm). Dây chuyền thải loại khoảng 30 phế phẩm.