Lớp 9 · Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

🚀 Khởi động

📦 Bài toán Cái Thùng Gỗ

Người ta làm một chiếc thùng gỗ có dạng Hình lập phương (các cạnh bằng nhau). Sau khi hoàn thành, họ đổ nước vào và đo được sức chứa mấp mé của thùng là đúng $64 \text{ m}^3$ (thể tích). Hỏi cạnh của chiếc thùng lập phương đó dài bao nhiêu mét? Gọi $v$ (mét) là độ dài cạnh. Ta biết công thức thể tích: $V = v \cdot v \cdot v = v^3 = 64$

Như vậy, ta phải tìm một con số $v$ mà khi nhân ba chính nó lại ra 64. Không giống như bậc 2 (Diện tích hình vuông), bậc ba liên quan đến Toán Không gian. Công cụ giải quyết chúng là Căn bậc ba.

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm căn bậc ba

Căn bậc ba của một số $a$ là số $x$ sao cho $x^3 = a$ . Kí hiệu là: $\sqrt[3]{a}$ .

Khác biệt rất lớn giữa Căn bậc ba và Căn bậc hai ở chỗ: Mỗi số thực a bất kì (dương, âm, hay bằng không) đều có CHÍNH XÁC MỘT căn bậc ba.

Căn bậc ba của một số dương là một số dương.
Căn bậc ba của một số âm là một số âm.
Căn bậc ba của số 0 là chính số 0.

Ví dụ:

Căn bậc ba của 8 là 2, vì $2^3 = 8$ . ( $\sqrt[3]{8} = 2$ )
Căn bậc ba của $-27$ là $-3$ , vì $(-3)^3 = -27$ . ( $\sqrt[3]{-27} = -3$ )

Hằng đẳng thức thần thánh: $\sqrt[3]{a^3} = b \Leftrightarrow a = b^3$ . Và đặc biệt là $\sqrt[3]{A^3} = A$ (KHÔNG có trị tuyệt đối giống như căn bậc 2).

📖 2. Tính chất của căn bậc ba

Căn bậc ba có các tính chất cực kỳ “dễ chịu” và giống hệt như căn bậc hai, nhưng ưu việt hơn là chúng không thèm đoái hoài gì đến Điều Kiện Tồn Tại.

1. Tính chất so sánh: $a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$

2. Tính chất Tích - Thương:

$\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$
$\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ (Trường hợp $b \neq 0$ )

Ví dụ:

Khai phương một tích: $\sqrt[3]{8 \cdot 125} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{125} = 2 \cdot 5 = 10$ .
So sánh: $2\sqrt[3]{3}$ và $\sqrt[3]{25}$ . Ta đưa thừa số 2 vào trong: $2 = \sqrt[3]{8}$ , nên $2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24}$ . Vì $24 < 25 \Rightarrow \sqrt[3]{24} < \sqrt[3]{25} \Rightarrow 2\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{25}$ .

📖 3. Giải phương trình $x^3 = a$

Vì căn bậc ba là giá trị duy nhất nên phương trình $x^3 = a$ luôn có môt nghiệm duy nhất là $x = \sqrt[3]{a}$ . Bất chấp mọi con số a!

Ví dụ: Giải phương trình: $2x^3 + 16 = 0$ $2x^3 = -16$ $x^3 = -8$ $x = \sqrt[3]{-8} \Rightarrow x = -2$ .

⭐ Ghi nhớ

Bảng Cửu Chương Hình Lập Phương: Nên ghi nhớ các số hữu tỉ thường gặp để khai căn cho lẹ: $1^3=1; 2^3=8; 3^3=27; 4^3=64; 5^3=125; 10^3=1000$ . Âm thì sao? $\rightarrow$ Thêm dấu trừ vào kêt quả thôi! $(-2)^3=-8 \rightarrow \sqrt[3]{-8}=-2$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Căn bậc ba của số -8 là bao nhiêu?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức:

a) $\sqrt[3]{64} + \sqrt[3]{-27}$

b) $\sqrt[3]{\frac{8}{125}} - \sqrt{0.25}$ (Chú ý đây là căn bậc hai)

c) $\sqrt[3]{-1000} \cdot \sqrt[3]{0.001}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $x^3 = -125$

b) $5x^3 - 40 = 0$

c) $(x + 2)^3 = 8$

d) $x^3/2 - 4 = 0$

Bài 3: Rút gọn biểu thức chứa biến:

a) $\sqrt[3]{8a^3}$

b) $\sqrt[3]{-27x^3y^6}$

c) Khi $x<0$ , hãy rút gọn $\sqrt[3]{x^3}$ và cho nhận xét với $\sqrt{x^2}$ .

Bài 4: So sánh sự khác nhau (Vận dụng định lí đưa thừa số vào trong dấu căn bậc ba):

a) $3$ và $\sqrt[3]{26}$

b) $2\sqrt[3]{5}$ và $\sqrt[3]{38}$

c) $-2\sqrt[3]{4}$ và $-\sqrt[3]{35}$

Bài 5 (Thực tế): Bể chứa nước mắm Một xưởng sản xuất thiết kế 2 loại bể chứa mắm:

Bể A: Dạng hình lập phương thể tích $1000 \text{ lít} = 1 \text{ m}^3$ .
Bể B: Dạng hình lập phương thể tích $8000 \text{ lít} = 8 \text{ m}^3$ . a) Tìm cạnh của Bể A và Bể B.

b) Tuy thể tích của bể B gấp 8 lần thể tích bể A, nhưng người kĩ sư dùng gạch xây bể cho rằng: Chi phí vật liệu xây gạch (Diện tích toàn phần 6 mặt xung quanh) không hề tốn gấp 8 lần. Hãy tính Diện tích toàn phần 2 bể và tính xem vật liệu của bể lớn gấp bao nhiêu bể nhỏ?

c) Kết luận gì về ứng dụng toán học khi thiết kế các bình chứa trong công nghiệp để tiết kiệm chi phí?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $4 + (-3) = 1$ .

b) $2/5 - 0.5 = 0.4 - 0.5 = -0.1$ .

c) $(-10) \cdot 0.1 = -1$ .

Bài 2:

a) $x = \sqrt[3]{-125} = -5$ .

b) $5x^3 = 40 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$ .

c) $x+2 = \sqrt[3]{8} = 2 \Rightarrow x = 0$ .

d) $x^3/2 = 4 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$ .

Bài 3:

a) $\sqrt[3]{(2a)^3} = 2a$ .

b) $\sqrt[3]{(-3xy^2)^3} = -3xy^2$ .

c) Khi $x<0$ , $\sqrt[3]{x^3} = x$ (giữ nguyên dấu, không thay đổi). Còn căn bậc hai $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ (đảo dấu đi).

Bài 4:

a) $3 = \sqrt[3]{27}$ . Vì $27 > 26 \Rightarrow 3 > \sqrt[3]{26}$ .

b) $2 = \sqrt[3]{8} \Rightarrow 2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$ . Vì $40 > 38 \Rightarrow 2\sqrt[3]{5} > \sqrt[3]{38}$ .

c) $-2\sqrt[3]{4} = -\sqrt[3]{8 \cdot 4} = -\sqrt[3]{32}$ . Vì $32 < 35 \Rightarrow -32 > -35 \Rightarrow -\sqrt[3]{32} > -\sqrt[3]{35}$ .

Bài 5:

a) Cạnh bể A: $a = \sqrt[3]{1} = 1\text{m}$ . Cạnh bể B: $b = \sqrt[3]{8} = 2\text{m}$ .

b) Diện tích TP bể A = $6 \cdot 1^2 = 6 \text{ m}^2$ . Diện tích TP bể B = $6 \cdot 2^2 = 24 \text{ m}^2$ . Tỉ lệ: $24 / 6 = 4$ . Vậy Tuy thể tích rộng gấp 8, nhưng gạch xây dựng xung quanh chỉ tốn bằng 4 lần mức ban đầu.