Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó là 12. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số mới lớn hơn số ban đầu là 18.

• Gọi $x, y$ là hàng chục, hàng đơn vị. Tổng chữ số: $x + y = 12$.
• Số mới biểu diễn là: $10y+x$. Số cũ là $10x+y$. $10y+x - (10x+y) = 18 \Rightarrow 9y - 9x = 18 \Rightarrow -x+y=2$.
• Hpt: $\begin{cases}x+y=12 \\ -x+y=2 \end{cases} \Rightarrow x=5, y=7$.
• Kết luận: Số cần tìm là 57.

Ví dụ 2: Tìm 2 số tự nhiên biết tổng của chúng là 50, và nếu lấy số lớn chia số bé thì được thương là 3, dư 2.

• Gọi số lớn là $x$, số bé là $y$. Hpt: $\begin{cases}x+y=50 \\ x=3y+2 \end{cases}$.
• Giải ra $4y+2=50 \Rightarrow 4y = 48 \Rightarrow y=12 \Rightarrow x=38$.

Ví dụ 3: Hiệu 2 số là 15. Gấp đôi số lớn lên 3 lần và gấp số bé lên 2 lần thì tổng của chúng bằng 180.

• Gọi số lớn $x$, số bé $y$. $\begin{cases}x-y=15 \\ 3x+2y=180 \end{cases}$.
• Giải ra $x=42, y=27$.

Ví dụ 1: Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 200km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Vận tốc xe đi từ A lớn hơn xe đi từ B là 10km/h. Tìm vận tốc mỗi xe.

• Gọi vận tốc xe A là $x$, xe B là $y$. Khi gặp nhau: $2x+2y = 200 \Rightarrow x+y=100$.
• Pt 2: $x-y=10$.
• Hệ: $\begin{cases}x+y=100 \\ x-y=10 \end{cases} \Rightarrow x=55, y=45$.

Ví dụ 2: Quãng đường AB dài 150km. Khởi hành cùng lúc, xe máy đi từ A đến B, ô tô đi từ B về A. Đi được 1.5 giờ chúng gặp nhau. Biết vận tốc ô tô gấp 1.5 lần vận tốc xe máy.

• Gọi vận tốc máy $x$, ô tô $y$. Hpt: $\begin{cases}1.5x+1.5y=150 \\ y=1.5x \end{cases} \Rightarrow x+1.5x=100 \Rightarrow x=40, y=60$.

Ví dụ 3: Một canô đi xuôi dòng 90km và ngược dòng 60km thì hết 6 giờ. Lần khác đi xuôi 60km, ngược 90km hết 7 giờ.

• Gọi vận tốc xuôi dòng $x$, ngược dòng $y$. Đặt hệ phương trình theo thời gian: $\begin{cases}\frac{90}{x} + \frac{60}{y} = 6 \\ \frac{60}{x} + \frac{90}{y} = 7 \end{cases}$.
• Đổi biến $u=\frac{1}{x}, v=\frac{1}{y} \Rightarrow x=30, y=15$. (vận tốc xuôi là 30km/h, ngược là 15km/h).