Lớp 9 · Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

🚀 Khởi động

🗼 Kim tự tháp và bóng râm

Người Ai Cập cổ đại đã biết dùng bóng râm mặt trời để tính chiều cao của tháp. Khi mặt trời chiếu tạt một góc α\alpha so với mặt đất, bóng của cây sẽ kéo dài. Chiều dài thân cây chiếu xuống mặt đất tạo thành cạnh góc vuông, còn ánh nắng là cạnh huyền, thân cây là cạnh góc vuông còn lại.

Chìa khóa ở đây là: Chỉ cần biết góc nắng chiếu (α\alpha) và đo độ dài chiếc bóng là đủ để tính được chiều cao gốc cây, không cần trèo lên tận ngọn. Mối liên hệ toán học kì diệu này chính là Tỉ số lượng giác.

Cao?Bóng câyGóc α
🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa tỉ số lượng giác

Cho góc nhọn α\alpha, hãy dựng một tam giác vuông có một góc nhọn là α\alpha. Các cạnh liên quan đến góc α\alpha được gọi tên như sau:

  • Cạnh huyền: Cạnh đối diện góc 90∘90^\circ (Dài nhất).
  • Cạnh đối: Cạnh đối diện trực tiếp với góc α\alpha.
  • Cạnh kề: Cạnh gắn liền, tạo nên góc nhọn α\alpha (ngoài cạnh huyền).

Các Tỉ số lượng giác của góc α\alpha được định nghĩa bằng các tỉ số độ dài các cạnh:

  1. sin⁡α\sin \alpha = Cạnh Đối / Cạnh Huyền
  2. cos⁡α\cos \alpha = Cạnh Kề / Cạnh Huyền
  3. tan⁡α\tan \alpha = Cạnh Đối / Cạnh Kề
  4. cot⁡α\cot \alpha = Cạnh Kề / Cạnh Đối

Mẹo dân gian ghi nhớ: Chữ cái đầu mỗi từ.

  • **S**in **Đ**i **H**ọc (Sin = Đối/Huyền)
  • **C**ứ **K**hóc **H**oài (Cos = Kề/Huyền)
  • **T**hôi **Đ**ừng **K**hóc (Tan = Đối/Kề)
  • **C**ó **K**ẹo **Đ**ây! (Cot = Kề/Đối)

(Chú ý: cot⁡α\cot \alpha là phép lộn ngược Nghịch đảo của tan⁡α\tan \alpha).

📖 2. Tính chất của tỉ số lượng giác

Định lý Py-ta-go giúp gắn kết các Tỉ số lượng giác bằng các hệ thức đẹp như tranh vẽ sau:

Với góc nhọn α\alpha, luôn có các bản sắc sau:

  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\boldsymbol{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1} (Cực kì quan trọng)
  • tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
  • cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
  • tan⁡α⋅cot⁡α=1\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1

📖 3. Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau

Hai góc nhọn trong một tam giác vuông cộng lại đúng bằng 90∘90^\circ (Hai góc này gọi là 2 góc phụ nhau). Khi đó cạnh đối của góc bên này lại vô tình là cạnh kề của góc bên kia!

Nếu α+β=90∘\alpha + \beta = 90^\circ (phụ nhau), thì:

  • sin⁡α=cos⁡β\sin \alpha = \cos \beta
  • cos⁡α=sin⁡β\cos \alpha = \sin \beta
  • tan⁡α=cot⁡β\tan \alpha = \cot \beta
  • cot⁡α=tan⁡β\cot \alpha = \tan \beta

Ví dụ Áp dụng: Ta thấy 30∘30^\circ và 60∘60^\circ cộng lại bằng 90∘90^\circ. Do đó: sin⁡30∘\sin 30^\circ sẽ bằng đúng cos⁡60∘\cos 60^\circ. (Đều bằng 0.5) tan⁡40∘\tan 40^\circ sẽ bằng cot⁡50∘\cot 50^\circ.

  • Nếu bắt gặp bài toán: Tính sin⁡225∘+sin⁡265∘\sin^2 25^\circ + \sin^2 65^\circ. Vì 25+65=9025 + 65 = 90 ⇒\Rightarrow sin⁡65∘=cos⁡25∘\sin 65^\circ = \cos 25^\circ. Nên Biểu thức = sin⁡225∘+cos⁡225∘=1\sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ = 1. Lời giải chỉ mất 5 giây!
⭐ Ghi nhớ

Ghi chú khi bấm máy tính (Casio/Vinacal):

  • Đảm bảo máy tính của bạn đang để chế độ độ (D - Degree), không phải Radian (R).
  • Các góc thường gặp như 30∘,45∘,60∘30^\circ, 45^\circ, 60^\circ cho giá trị đặc biệt đẹp rất nên nhớ lòng để tiện giải toán:
    • sin⁡30∘=1/2\sin 30^\circ = 1/2; cos⁡30∘=3/2\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2
    • sin⁡45∘=2/2\sin 45^\circ = \sqrt{2}/2; cos⁡45∘=2/2\cos 45^\circ = \sqrt{2}/2
    • tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1
✏️ Luyện tập trắc nghiệm
Câu 1 / 10
Dễ0 đã trả lời

Tỉ số giữa 'cạnh đối' và 'cạnh huyền' của một góc nhọn được gọi là gì?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam giác ABCABC vuông tại AA có cạnh AB=3cmAB = 3\text{cm}, AC=4cmAC = 4\text{cm}.

a) Tính độ dài cạnh huyền BCBC.

b) Tính các tỉ số lượng giác sin⁡B\sin B, cos⁡B\cos B, tan⁡B\tan B.

c) Tính các tỉ số lượng giác của góc CC.

Bài 2: (Thực hành với hệ thức cơ bản) Cho một góc nhọn α\alpha, biết sin⁡α=0.8\sin \alpha = 0.8. Không tính góc α\alpha, hãy dùng hệ thức sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1 để tính:

a) cos⁡α\cos \alpha

b) tan⁡α\tan \alpha

c) cot⁡α\cot \alpha

Bài 3: Không dùng bảng lượng giác hay máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số sau từ nhỏ đến lớn: sin⁡20∘,cos⁡20∘,sin⁡40∘,sin⁡80∘\sin 20^\circ, \cos 20^\circ, \sin 40^\circ, \sin 80^\circ (Gợi ý: Cố gắng chuyển tất cả về hàm SIN, và nhớ rằng góc tăng thì Sin tăng).

Bài 4: Rút gọn các biểu thức chứa tỉ số lượng giác:

a) 1−sin⁡2α1 - \sin^2 \alpha

b) (1−cos⁡α)(1+cos⁡α)(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)

c) tan⁡α⋅cos⁡α\tan \alpha \cdot \cos \alpha

d) cos⁡2α+tan⁡2α⋅cos⁡2α\cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha

Bài 5 (Thực tế): Cầu tuột cho trẻ. Một tiêu chuẩn làm cầu tuột cho mầm non là góc mốc nối từ đỉnh ván trượt xuống mặt đất (góc α\alpha) không được vượt quá 35∘35^\circ để an toàn. Một kĩ sư thiết kế chiếc ván trượt dài 3.2m (cạnh huyền của ván). Chiều cao từ đỉnh ván thẳng xuống mặt đất là 2m.

a) Tính sin⁡α\sin \alpha của góc trượt.

b) Dùng nút Shift-Sin (Kí hiệu arcsin⁡\arcsin hoặc sin⁡−1\sin^{-1}) trên tivi máy tính thủ công bấm góc trượt.

c) Thiết kế này có an toàn theo tiêu chuẩn không? Tại sao?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) BC=32+42=5cmBC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{cm}.

b) sin⁡B=AC/BC=4/5=0.8\sin B = AC/BC = 4/5 = 0.8; cos⁡B=AB/BC=3/5=0.6\cos B = AB/BC = 3/5 = 0.6; tan⁡B=4/3\tan B = 4/3.

c) sin⁡C=cos⁡B=0.6\sin C = \cos B = 0.6; cos⁡C=sin⁡B=0.8\cos C = \sin B = 0.8; tan⁡C=3/4\tan C = 3/4.

Bài 2:

a) cos⁡2α=1−0.82=1−0.64=0.36⇒cos⁡α=0.6\cos^2 \alpha = 1 - 0.8^2 = 1 - 0.64 = 0.36 \Rightarrow \cos \alpha = 0.6.

b) tan⁡α=sin⁡α/cos⁡α=0.8/0.6=4/3\tan \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha = 0.8 / 0.6 = 4/3.

c) cot⁡α=1/tan⁡α=3/4=0.75\cot \alpha = 1 / \tan \alpha = 3/4 = 0.75.

Bài 3: Đổi cos⁡20∘=sin⁡70∘\cos 20^\circ = \sin 70^\circ. Dãy số sẽ là: sin⁡20∘,sin⁡40∘,sin⁡70∘,sin⁡80∘\sin 20^\circ, \sin 40^\circ, \sin 70^\circ, \sin 80^\circ. Trong góc nhọn, hàm Sin là hàm đồng biến (góc càng lớn, Sin càng lớn). Nên kết quả sếp từ nhỏ đến lớn: sin⁡20∘<sin⁡40∘<cos⁡20∘<sin⁡80∘\sin 20^\circ < \sin 40^\circ < \cos 20^\circ < \sin 80^\circ.

Bài 4:

a) 1−sin⁡2α=cos⁡2α1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha.

b) (1−cos⁡α)(1+cos⁡α)=1−cos⁡2α=sin⁡2α(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha.

c) tan⁡α⋅cos⁡α=(sin⁡α/cos⁡α)⋅cos⁡α=sin⁡α\tan \alpha \cdot \cos \alpha = (\sin \alpha / \cos \alpha) \cdot \cos \alpha = \sin \alpha.

d) Lấy cos⁡2α\cos^2 \alpha nhân tử chung: cos⁡2α(1+tan⁡2α)\cos^2 \alpha(1 + \tan^2 \alpha). Lại có tan⁡=sin⁡/cos⁡⇒1+tan⁡2α=1/cos⁡2α\tan = \sin/\cos \Rightarrow 1 + \tan^2 \alpha = 1/\cos^2 \alpha. Vậy: cos⁡2α⋅(1/cos⁡2α)=1\cos^2 \alpha \cdot (1 / \cos^2 \alpha) = 1. Hoặc có thể nhân tung vào: cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1.

Bài 5:

a) sin⁡α=Đoˆˊi/Huyeˆˋn=Cao/Vaˊn=2/3.2=0.625\sin \alpha = \text{Đối} / \text{Huyền} = \text{Cao} / \text{Ván} = 2 / 3.2 = 0.625.

b) Shift Sin (0.625) ⇒α≈38.68∘\Rightarrow \alpha \approx 38.68^\circ.

c) Góc trượt 38.68∘38.68^\circ lớn hơn mức tối đa an toàn 35∘35^\circ nên dốc hơn mức bình thường. Kĩ sư cần giảm độ cao hoặc kéo dài ván trượt hơn nữa để nó an toàn cho bé mầm non.