Lớp 9 · Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông

🚀 Khởi động

🗼 Khoảng cách qua khúc sông

Có một con sông rộng, người ta muốn thiết kế một cây cầu thẳng qua sông nhưng không thể trực tiếp băng qua dòng nước xiết để đo khoảng cách vuông góc. Người thợ trắc địa chỉ cần đứng trên 1 bờ, đi bộ vuông góc một đoạn 50m50\text{m} (ACAC), sau đó dùng máy ngắm (Theodolite) để đo góc nhìn sang điểm mốc phía bên kia bờ (ABAB). Giả sử góc ngắm được tính là 40∘40^\circ. Bằng cách nào chỉ với 50m50\text{m} và 40∘40^\circ mà người ta tính được chính xác chiều rộng của khúc sông, vốn là cạnh góc vuông ABAB? Cùng giải mã ở bài học này nhé.

🔍 Khám phá

📖 1. Định lý về cạnh và góc trong tam giác vuông

Ở bài trước, ta đã biết sin⁡=Đoˆˊi/Huyeˆˋn\sin = \text{Đối/Huyền}, cos⁡=Keˆˋ/Huyeˆˋn\cos = \text{Kề/Huyền}, v.v. Bằng cách nhân chéo mẫu số lên, chúng ta sẽ có ngay công cụ tính toán tiện lợi gọi là Hệ thức giữa cạnh và góc.

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

  • Cạnh huyền nhân với sin⁡\boldsymbol{\sin} góc đối hoặc nhân với cos⁡\boldsymbol{\cos} góc kề.
  • Cạnh góc vuông kia nhân với tan⁡\boldsymbol{\tan} góc đối hoặc nhân với cot⁡\boldsymbol{\cot} góc kề.

Nếu viết dưới dạng công thức cho tam giác vuông tại AA (có cạnh huyền aa, cạnh góc vuông b,cb, c đối diện với góc B,CB, C): b=a⋅sin⁡B=a⋅cos⁡Cb = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C c=a⋅sin⁡C=a⋅cos⁡Bc = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B b=c⋅tan⁡B=c⋅cot⁡Cb = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C c=b⋅tan⁡C=b⋅cot⁡Bc = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B

Nhờ định lý này, tam giác vuông giờ đây được kết nối một cách hoàn hảo: Chỉ cần biết độ dài một cạnh (bất kì) và số đo một góc (bất kì), bạn có thể suy ra tất cả những phần còn lại.

Ví dụ: Trở lại bài cầu sông lúc nãy. Tam giác vuông tại AA. ACAC (Kề góc ngắm) =50m= 50\text{m}. Góc CC (Góc ngắm) =40∘= 40^\circ. Cần tính chiều rộng sông ABAB (Cạnh Đối góc ngắm). Sử dụng liên hệ Giữa 2 Cạnh góc vuông →\rightarrow Dùng Tan (Thôi Đừng Khóc - Tan=Đối/Kề). ⇒AB=AC⋅tan⁡C=50⋅tan⁡40∘≈50⋅0.839=41.95m\Rightarrow AB = AC \cdot \tan C = 50 \cdot \tan 40^\circ \approx 50 \cdot 0.839 = 41.95 \text{m}. Thật dễ dàng! Ngồi bên này bờ mà đo được con sông rộng 42m42\text{m} mà không cần bơi qua thử!

📖 2. Giải tam giác vuông

Thế nào là “Giải tam giác vuông”? Giải tam giác vuông là bài toán tìm tất cả các số đo của các cạnh và các góc nhọn của một tam giác vuông, khi biết trước 2 thông số trong đó phải có ít nhất môt độ dài cạnh.

Có hai trường hợp cốt lõi:

  1. Biết 2 cạnh (có thể 2 góc vuông, hoặc 1 huyền 1 vuông).
  2. Biết 1 cạnh và 1 góc nhọn.

📐 3. Máy Tính Giải Tam Giác Vuông

Để thành thục kĩ năng này, mời bạn thử tương tác với công cụ giải tam giác dưới đây. Dùng máy tính nhập giả định bất kỳ 2 thông số (ví dụ: b=3, c=4 hoặc b=5, góc B=30) để xem thuật toán giải ra các cạnh còn lại và góc ra sao nhé!

📐 Máy Tính Giải Tam Giác Vuông (Tại A)

Nhập ít nhất 2 kích thước (trong đó phải có 1 cạnh). Để trống các ô còn lại để máy tự tính.

ACBabc
⭐ Ghi nhớ

Quy tắc vàng:

  • Muốn tính Cạnh Huyền thì dùng Sin, Cos của các cạnh góc vuông.
  • Liên quan Giữa 2 Cạnh Góc Vuông thì luôn luôn nghĩ tới Tan và Cot.
  • Nếu máy tính góc ra số thập phân nhiều vô tận (VD 36.86987∘36.86987^\circ), bạn có thể ấn phím nút Độ/Phút/Giây (đổi ∘  ′  ′′{}^\circ \ \ ' \ \ '') trên Casio để biểu diễn Toán học đẹp hơn (như 36∘52′36^\circ 52').
✏️ Luyện tập trắc nghiệm
Câu 1 / 10
Dễ0 đã trả lời

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Giải tam giác vuông ABCABC vuông tại AA, biết các trường hợp sau (Góc làm tròn đến 1′1', Cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2):

a) b=10cm,∠C=30∘b = 10\text{cm}, \angle C = 30^\circ

b) c=10cm,∠C=45∘c = 10\text{cm}, \angle C = 45^\circ

c) a=20cm,∠B=35∘a = 20\text{cm}, \angle B = 35^\circ

d) c=21cm,b=18cmc = 21\text{cm}, b = 18\text{cm}

Bài 2: Bóng của một tháp hải đăng trên mặt biển nằm ngang dài 40m40\text{m}. Tia sáng mặt trời lúc đó chiếu tạo với mặt phẳng nằm ngang một góc 42∘42^\circ. Tính chiều cao của tháp.

Bài 3: Một máy bay cất cánh bay lên theo một đường thẳng tạo với mặt đất một góc nghiêng 28∘28^\circ. Sau 2 phút ở vận tốc 250km/h250\text{km/h}, máy bay đạt được độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Bài 4: Khúc côn cầu trên băng. Cầu thủ A đứng xa gôn một đoạn 15m15\text{m} (đường vuông góc lên đường ngang mép gôn). Từ vị trí điểm ngắm đó đến lưới phải cách 5m5\text{m}. Hỏi góc sút (từ quả bóng nhắm vào lưới, tạo với đường biên) tạo ra độ mở góc bao nhiêu độ?

Bài 5 (Nâng cao): Tính tỉ số lượng giác không dùng thiết bị qua tam giác kép. Cho tam giác ABCABC có cạnh BC=14,AB=13BC=14, AB=13 và đường cao AH=12AH=12 (kẻ xuống BCBC, HH nằm trong đoạn BCBC).

a) Xét tam giác ABHABH vuông tại HH, tính sin⁡B,cos⁡B\sin B, \cos B và cạnh BHBH.

b) Tính cạnh HCHC của tam giác ACHACH.

c) Tính cạnh ACAC và các góc C,AC, A.

d) Không phải tam giác vuông thì cạnh huyền nhân có được không? Trong Tam giác thường có một định lý được mở rộng từ đây là Định lý Sin: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. Thử đối chiếu hệ số 13/sin⁡C13/\sin C xem có bằng AC/sin⁡BAC/\sin B hay không?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) Góc B=60∘B = 60^\circ. c=b⋅tan⁡C=10⋅tan⁡30∘=1033≈5.77cmc = b \cdot \tan C = 10 \cdot \tan 30^\circ = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5.77\text{cm}. a=b/cos⁡C=10/(3/2)=2033≈11.55cma = b / \cos C = 10 / (\sqrt{3}/2) = \frac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11.55\text{cm}.

b) Tam giác vuông cân. b=c=10cmb = c = 10\text{cm}. Góc B=45∘B = 45^\circ. a=102≈14.14cma = 10\sqrt{2} \approx 14.14\text{cm}.

c) Góc C=55∘C = 55^\circ. b=a⋅sin⁡B=20⋅sin⁡35∘≈11.47cmb = a \cdot \sin B = 20 \cdot \sin 35^\circ \approx 11.47\text{cm}. c=a⋅cos⁡B≈16.38cmc = a \cdot \cos B \approx 16.38\text{cm}.

d) Huyền a=212+182=765≈27.66cma = \sqrt{21^2 + 18^2} = \sqrt{765} \approx 27.66\text{cm}. tan⁡B=b/c=18/21≈0.857⇒B≈40∘36′\tan B = b/c = 18/21 \approx 0.857 \Rightarrow B \approx 40^\circ 36'. C≈49∘24′C \approx 49^\circ 24'.

Bài 2: Chiều cao hh là cạnh đối của khúc bóng. Kề = 40m40\text{m}. Tính kề cho đối ⇒\Rightarrow Dùng Tan. h=40⋅tan⁡42∘≈40⋅0.9=36.02mh = 40 \cdot \tan 42^\circ \approx 40 \cdot 0.9 = 36.02\text{m}.

Bài 3: Quãng đường bay chéo (Cạnh huyền): s=v⋅t=250km/h⋅(2/60)h=250/30=25/3km≈8.33km=8333ms = v \cdot t = 250\text{km/h} \cdot (2/60)\text{h} = 250 / 30 = 25/3\text{km} \approx 8.33\text{km} = 8333\text{m}. Độ cao hh là góc đối 28∘28^\circ. h=Huyeˆˋn⋅sin⁡28∘=8333⋅sin⁡28∘≈8333⋅0.4695≈3912mh = \text{Huyền} \cdot \sin 28^\circ = 8333 \cdot \sin 28^\circ \approx 8333 \cdot 0.4695 \approx 3912\text{m}.

Bài 4: Kề = 1515. Đối = 55. tan⁡α=5/15=1/3≈0.333\tan \alpha = 5/15 = 1/3 \approx 0.333. Góc mở sút là arcsin⁡\arcsin (Shift Tan) (1/3)≈18∘26′(1/3) \approx 18^\circ 26'.

Bài 5:

a) ABHABH vuông tại HH: Dùng Pytago BH=132−122=25=5BH = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5. sin⁡B=AH/AB=12/13\sin B = AH/AB = 12/13; cos⁡B=5/13\cos B = 5/13.

b) HH nằm trong đoạn BC⇒HC=BC−BH=14−5=9BC \Rightarrow HC = BC - BH = 14 - 5 = 9.

c) AC=AH2+HC2=122+92=225=15AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{225} = 15. sin⁡C=AH/AC=12/15=0.8⇒C≈53∘8′\sin C = AH/AC = 12/15 = 0.8 \Rightarrow C \approx 53^\circ 8'. Do B≈67∘23′B \approx 67^\circ 23'. Góc A=180∘−(B+C)A = 180^\circ - (B+C) hoặc tách ra làm 2 góc nhỏ.

d) AB/sin⁡C=13/0.8=16.25AB / \sin C = 13 / 0.8 = 16.25.
AC/sin⁡B=15/(12/13)=15⋅13/12=5⋅13/4=65/4=16.25AC / \sin B = 15 / (12/13) = 15 \cdot 13 / 12 = 5 \cdot 13 / 4 = 65 / 4 = 16.25. Hai vế bằng nhau chính xác tuyệt đối!