Lớp 9 · Chương V: Đường tròn

Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn

🚀 Khởi động

⚙️ Hệ thống bánh răng ăn khớp

Bạn đã bao giờ tháo tung vỏ môt chiếc đồng hồ đeo tay cơ học hay hộp số xe đạp chưa? Bạn sẽ thấy một kiệt tác truyền động gồm nhiều Bánh răng hình tròn ghép sát vào nhau. Răng của bánh nhỏ cắn rập khuôn vào răng bánh lớn. Chúng không bao giờ bị trượt ra ngoài, cũng không bao giờ nuốt chửng vào lõi đè lên nhau. Theo ngôn ngữ Toán học, các bánh răng này đang ở trạng thái “Tiếp xúc ngoài” với nhau. Và khoảng cách giữa con trục xoay cốt lõi (Tâm) của 2 bánh răng được xưởng tính toán sao cho NHẤT ĐỊNH chiều dài nối tâm phải BẰNG TỔNG 2 BÁN KÍNH của 2 bánh (Cỡ răng). Chỉ chệch đi 1 milimet, cỗ máy sẽ lập tức kẹt cứng hoặc rỗng gai.

Đó là lý do ta phải học cách xác định vị trí tương đối giữa hai “Chiếc bánh” hình tròn.

R (50)r (30)O ────── O’Khoảng cách OO’ = 80
🔍 Khám phá

📖 1. Ba vị trí tương đối và Công thức so sánh

Cho hai đường tròn riêng biệt (O;R)(O; R) và (O′;r)(O'; r) (Quy ước luôn viết và tính vòng to trước, vẽ R≥rR \ge r). Phụ thuộc vào Khoảng cách nối tâm d=OO′d = OO', ta chia ra làm 3 gia tộc sau:

1. Hai đường tròn Ở ngoài nhau / Đựng nhau (0 điểm chung):

  • Ngoài nhau: Hai vòng tách rời hoàn toàn. OO′>R+rOO' > R + r.
  • Đựng nhau (Nút lọt thỏm): Vòng nhỏ chui rọt bên trong vỏ vòng to. OO′<R−rOO' < R - r. (Đặc biệt: Nếu OO rơi trúng nếp đỉnh O′O' thì OO′=0OO' = 0. Hai đường tròn Đồng Tâm).

2. Hai đường tròn Tiếp xúc nhau (Có ĐÚNG 1 điểm chung):

  • Tiếp xúc ngoài: Cọ sát bờ tường. OO′=R+rOO' = R + r.
  • Tiếp xúc trong: Úp bát úp nhau (Đứa lớn bao bọc nhưng cọ viền màng ở 1 bên mấu chốt). OO′=R−rOO' = R - r. 🔥 Điểm chung vinh dự đó gọi là Tiếp điểm, và nó bắt buộc phải nằm trên đường ngấm rãnh OO′OO'.

3. Hai đường tròn Cắt nhau (Có ĐÚNG 2 điểm chung): Hai vòng móc ngoặc xoắn xuýt vào nhau như nhẫn luồn thẻ.

  • Điều kiện bồng lai: R−r<OO′<R+rR - r < OO' < R + r. (Đây chính là hình hài của Bất đẳng thức tam giác). Hai điểm chung tạo thành môt đoạn thẳng gọi là Dây chung.

📖 2. Sức mạnh của Đường Nối Tâm

Trong 2 cái bánh đúc với nhau, đường thẳng phi từ đỉnh bánh 1 sang tâm bánh 2 có uy quyền tuyệt đối. Đường thẳng OO′OO' là Trục Đối Xứng của hình hài 2 cái bánh cộng lại. Điển hình nhất ở thế cờ CẮT NHAU:

Định lý Dây Chung: Nếu hai đường tròn cắt nhau tại AA và BB (Dây chung ABAB), thì: Đường nối hai tâm OO′OO' LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC của dây chung ABAB. ⇒OO′\Rightarrow OO' sẽ chia ABAB làm đôi và cắt chẻ xéo ở môt Góc Vuông Hoàn Hảo 90∘90^\circ.

Bẫy ngược đời? Bạn có thể hỏi lại: ABAB liệu có là trung trực của OO′OO' không vậy? Trả lời là KHÔNG. Trừ phi 2 vòng tròn bằng kích thước anh em sinh đôi (R=rR = r). Vòng to sẽ nuốt dây ABAB kéo dạt sang bờ của nhà bên nhỏ hơn. Nên OO′OO' mới là trung trực, ABAB chỉ là trung… tuyến cắt vuông nửa nạc nửa mỡ mà thôi.

📖 3. Tiếp tuyến chung

Khoảng không gian có thể tạo ra môt đường vạch phấn chải ép tiếp xúc và cọ vào thành của CẢ HAI hình tròn CÙNG MỘT LÚC:

  • Tiếp tuyến chung NGOÀI: Không bị kẹt ở phần cắt rãnh giữa 2 vòng (như sợi xích xe đạp bao bọc ngoài 2 đĩa líp).
  • Tiếp tuyến chung TRONG: Bị kẹp chéo ngang chữ X lấn vào khoảng không gữa đường viền 2 vòng (Giống hình chạc ná cao su kẹp ngang).

(Số lượng tiếp tuyến chung hoàn toàn phụ thuộc vào việc 2 đứa nó có xít gần lại với nhau hay lồng bao nhiêu cái vào nhau! Bạn có thể tự tập kéo nháp và đếm thử).

⭐ Ghi nhớ

Hệ thống phân định 3 chốt: Bài tập mà bắt tìm Khoảng cách mấu hh (Ví dụ bắt tìm độ dài Dây Chung AB của 2 hình Cắt nhau) thì bí kíp ở đây là Kẻ tam giác Tứ diện từ O và O’ cắm chung vào Dây. Dùng Py-ta-go 2 lần (hoặc Công thức đường cao R⋅rOO′\frac{R \cdot r}{OO'} nếu Tam giác 2 tâm là Tam giác vuông tại góc tiếp điểm) để chọc thẳng ra đoạn giao cắt nhỏ, rồi X2 Mức đáp án!

✏️ Luyện tập trắc nghiệm
Câu 1 / 10
Dễ0 đã trả lời

Hai đường tròn lồng vào nhau và giao nhau thì có tối đa bao nhiêu điểm chung?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho 2 đường tròn (O;R)(O; R) và (O′;r)(O'; r) biết R=8cm,r=3cmR = 8\text{cm}, r = 3\text{cm}. Lần lượt khảo sạt các tình huống sau, tính khoảng cách 2 gốc tâm OO′OO' và nêu số điểm tương đồng?

a) Hai vòng tiếp xúc ngoài nhau.

b) Hai vòng tiếp xúc vè mép sườn trong nhau.

c) Hai vòng cắt nhau tạo Dây và tạo thành 1 Tam Giác Đều ở khoảng khuyên kẹp góc? (Tìm môt giá trị bất kỳ của OO’).

Bài 2: Biết (A) và (B) là 2 đường tròn Cắt nhau tại 2 đỉnh C và D. Dây chung vạch góc CD=10cmCD = 10\text{cm}. Khoảng dốc ABAB cắt rãnh CDCD tại H.

a) Chiều dài móc đoạn CHCH bằng bao nhiêu?

b) Nếu móc khoảng cách AH=4cmAH = 4\text{cm} và BH=2cmBH = 2\text{cm}. Bán kính của đường tròn gốc (B) bằng bao nhiêu cm?

Bài 3: Vẽ 2 tâm phân ly (O1;6cm)(O_1; 6\text{cm}) và (O2;4cm)(O_2; 4\text{cm}) sao cho O1O2=12cmO_1O_2 = 12\text{cm}. Chúng có cọ rọt giao nhau điểm nào không? Nêu rành rọt số Lượng Tiếp Tuyến Chung MÀ Kẻ đè chéo bên Ngoài và xọc Trong? Mấy Trục Tất Cả?

Bài 4: Khẩu súng bắn ná chạc Y. Bạn có môt rễ cây Cấu tạo là đường tròn 1 có R=5 tiếp xúc ngoài đường tròn R=5 kề bên. Cọng thun buộc quàng lướt từ viền lườn đỉnh Ngoài đường 1 luồn sang lườn viền Đỉnh Ngoại 2. Tính Chu Vi chiều dài mảng Thun co rãn đó nối ngang nối vắt ngang. Bao nhiêu vòng quấn và Dọc Ngang Bằng bao nhiêu cm?

Bài 5 (Nâng cao): Hai đường chéo lồng khuyên cắt nhau tại I. Từ O móc tới R=15cmR = 15\text{cm} và r=13cmr = 13\text{cm}. Tuyến Dây chung chéo chia góc D =24cm= 24\text{cm}. Dùng tính chất Dây kẹp Trung Trực, dốc ngầm độ dài OO′OO' là tổng của 2 nét chéo nào? Bạn cần Py-ta-go lấy khoảng dốc tới đài ngang bao nhiêu độ rồi bồi 2 đoạn lại ra được con số tuyệt mĩ?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) OO′=R+r=8+3=11cmOO' = R+r = 8+3=11\text{cm} (Có 1 điểm chung).

b) OO′=R−r=8−3=5cmOO' = R-r = 8-3=5\text{cm} (Có 1 điểm chung màng kẹp).

c) Điểm dốc R−r<x<R+r⇒5<OO′<11R-r < x < R+r \Rightarrow 5 < OO' < 11. Ví dụ lấy bừa OO′=9OO' = 9.

Bài 2:

a) ABAB cắt ngang chia CDCD ở giữa mông, H làm chốt ⇒CH=HD=10/2=5cm\Rightarrow CH = HD = 10 / 2 = 5\text{cm}. (Tính chất AB⊥CDAB \perp CD).

b) Tam giác BHC vuông ở H. Bắn kính r=BC=CH2+BH2=52+22=25+4=29r = BC = \sqrt{CH^2 + BH^2} = \sqrt{5^2+2^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29} (tầm 5.385cm5.385\text{cm}).

Bài 3: R1+R2=10R_1 + R_2 = 10. Khoảng d OO′=12>10⇒OO' = 12 > 10 \Rightarrow Chúng nằm Ngoại Vực Nhau (tách biệt xa nhau). Không có điểm cọ mút. Có môt định mức: 2 Vành ngoài nhau KHÔNG rập có tối đa 4 Tuyến kẹp chung vạch vẽ bút chì (2 Cọng Ngoại sượt viền dài nằm 2 lề Ngang, 2 Cọng Nội xẻ hình thoi X nẹt vào hốc lõm giữa 2 vành).

Bài 4: Do hai Vòng Cọ Xát Ngoại có đường đính R=5R=5 bằng nhau chằn chặn. Khoảng cách cháp OO′=10OO'=10. Hai vòng Thắt Cọng Cung Ngoại bằng nhau ⇒\Rightarrow Đường kẹp Thun sào Ngang sẽ tạo thành Trực Chéo của môt Hình Chữ Nhật mút thắt 5−5=105 - 5 = 10 sào dọc sào ngang ngang trục. Chiều Dài móc gác dây chính bằng Mảng Mốc nối đục đáy OO′OO'. Khút dây ngang chéo =10cm= 10\text{cm} trên mút rệ ngoài, 10cm10\text{cm} móc rệ kẹp dưới.. Chu kỳ luồn lườn bọc vòng tính cung vòng C−CconC - C_{con}.

Bài 5: Gọi H là giao viền OO′OO' với cọng dây CD. Do OO′OO' Trung Trực chẻ góc 90 độ CD⇒CH=12cmCD \Rightarrow CH = 12\text{cm}. Đoạn OO′=OH+HO′OO' = OH + HO'. Vuông trái: OH2=OC2−CH2=152−122=225−144=81⇒OH=9cmOH^2 = OC^2 - CH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81 \Rightarrow OH = 9\text{cm}. Vuông Phải: O′H2=O′C2−CH2=132−122=169−144=25⇒O′H=5cmO'H^2 = O'C^2 - CH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 \Rightarrow O'H = 5\text{cm}. ⇒\Rightarrow Toàn Tuyến Ốc OO′=9+5=14cmOO' = 9 + 5 = 14\text{cm}. Phép tính mầu nhiệm ghép của môn toán!