Lớp 9 · Chương V: Đường tròn

Bài 15: Độ dài cung tròn. Diện tích hình quạt tròn

🚀 Khởi động

🍕 Chia bánh Pizza công bằng

Bố mua một chiếc Pizza khổng lồ (size XXL) đường kính 40cm40\text{cm} mang về. Bố bảo cắt cho bé Bo một “hình quạt” có góc mũi ở tâm là 45∘45^\circ, và cho anh Bin một nửa của góc đó nhưng lấy phần viền bánh dài gấp đôi. Khoan đã, Bo muốn biết liệu mình có bị chia ít hơn phần viền phô mai bọc quanh vỏ vỏ bánh không? Bo vội nhớ lại bài Toán 9 để tính xem “Độ dài sợi viền phô mai đó” (Độ dài cung tròn) và “Độ phình của nguyên phần topping” (Diện tích quạt tròn) là bao nhiêu để còn đi kiện bố!

Cùng học công thức ở bên dưới để cắt bánh khỏi bị lỗ nhé. 😁

Cung ln°R = 20
🔍 I. Lý thuyết trọng tâm

📖 1. Độ dài đường tròn và cung tròn

Nhắc lại kiến thức cũ, Chu vi đường tròn (chiều dài của toàn bộ vỏ viền 1 vòng) được tính bằng công thức: C=2πR=πdC = 2\pi R = \pi d (Trong đó R là bán kính, d là đường kính, π≈3.14\pi \approx 3.14)

Công thức tính Độ dài Cung Tròn ll: Một vòng hoàn chỉnh là 360∘360^\circ thì dài 2πR2\pi R. Do đó chỉ với n∘n^\circ, độ dài kéo theo tỷ lệ thuận sẽ nhỏ dần: l=πRn180l = \frac{\pi R n}{180}

📖 2. Diện tích hình tròn và hình quạt tròn

Diện tích Toàn bộ hình tròn (Bao gồm cả phần bị bao bọc bên trong): S=πR2S = \pi R^2

Hình quạt tròn là hình giới hạn bởi hai bán kính và môt cung tròn. Công thức tính Diện tích Hình Quạt Tròn SqS_q: Tương tự cung tròn, diện tích chiếm tỷ lệ thuận với độ loe góc n∘n^\circ so với chuẩn 360∘360^\circ: Sq=πR2n360S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} Hoặc tính nhánh theo sợi độ dài cung ll: Sq=l⋅R2S_q = \frac{l \cdot R}{2}

🖩 3. Máy Tính Siêu Tốc Bán Kính & Cung Tròn

Để làm quen với mọi phép biến đổi tính toán ngược, hãy thử dùng cỗ máy nhập liệu bên dưới nhé:

Máy Tính Bán Kính & Cung Tròn

Nhập 1 thông số khung (R, d, C, S) máy sẽ tự nội suy các cạnh còn lại. Nhập thêm \"Góc ở tâm n°\" nếu muốn tính Cung và Quạt.

R
🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Tính các đại lượng vòng tròn cơ bản Phương pháp:

  • Ghi nhớ 4 đại lượng thay đổi qua lại: Bán kính, Đường kính, Chu vi, Diện tích.
  • Chỉ cần biết môt đại lượng, áp dụng công thức để suy các đại lượng còn lại theo dây chuyền.

Ví dụ 1: Tính Chu vi và Diện tích của bánh xe tải có đường kính 80cm80\text{cm}. Lấy π≈3.14\pi \approx 3.14. Hướng dẫn: Bán kính xe R=80/2=40cmR = 80 / 2 = 40\text{cm}. Chu vi C=2⋅3.14⋅40=251.2cmC = 2 \cdot 3.14 \cdot 40 = 251.2\text{cm}. Diện tích S=3.14⋅402=3.14⋅1600=5024cm2S = 3.14 \cdot 40^2 = 3.14 \cdot 1600 = 5024\text{cm}^2.

Dạng 2: Tính Đoạn Cung Tròn & Quạt Khuyết Phương pháp:

  • Xác định R (Bán kính) và nn (số đo góc ở đỉnh tâm).
  • Dùng công thức l=πRn180l = \frac{\pi R n}{180} để tính vành viền. Dùng Sq=πR2n360S_q = \frac{\pi R^2 n}{360} để quy đài phần diện tích cạo ăn được.

Ví dụ 2: Miếng bánh Pizza của Bo có R=20cm,n=45∘R = 20\text{cm}, n = 45^\circ. Tính diện tích phần Topping và chiều dài Cung viền Phô mai. Hướng dẫn: Cung Phô mai dài: l=π⋅20⋅45180=5π≈15.7cml = \frac{\pi \cdot 20 \cdot 45}{180} = 5\pi \approx 15.7\text{cm}. Diện tích mặt nạ Topping: Sq=l⋅R2=5π⋅202=50π≈157cm2S_q = \frac{l \cdot R}{2} = \frac{5\pi \cdot 20}{2} = 50\pi \approx 157\text{cm}^2.

Ví dụ 3: (Bài toán lật ngược). Một cái quạt xếp Nhật Bản mở ra một góc 120∘120^\circ. Biết diện tích che giấy của nó là 30π cm230\pi\text{ cm}^2. Tính bán kính R của cây quạt gọng tre? Hướng dẫn: Áp dụng công thức lật: Sq=π⋅R2⋅n360S_q = \frac{\pi \cdot R^2 \cdot n}{360}. Ta có: 30π=π⋅R2⋅120360=π⋅R2330\pi = \frac{\pi \cdot R^2 \cdot 120}{360} = \frac{\pi \cdot R^2}{3}. ⇒R2=30⋅3=90⇒R=90=310cm≈9.48cm\Rightarrow R^2 = 30 \cdot 3 = 90 \Rightarrow R = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\text{cm} \approx 9.48\text{cm}.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm
Câu 1 / 10
Dễ0 đã trả lời

Công thức tính độ dài (chu vi) đường tròn bán kính R là:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Cơ bản): Tính các số đo (Áp dụng máy tính vòng):

a) Tính bán kính hình tròn biết chu vi là 25.12cm25.12\text{cm} (lấy π=3.14\pi = 3.14).

b) Tính chu vi của hình tròn biết diện tích là 314cm2314\text{cm}^2.

c) Một cung tròn 60∘60^\circ có độ dài viền π cm\pi\text{ cm}, hỏi Bán kính là bao nhiêu?

d) Phân biệt Đường Kính và Chu Vi, số liệu nào quan trọng hơn khi mua ống nước?

Bài 2 (Trung bình): (Vẽ hình). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng aa. Từ tâm góc A, vẽ cung tròn bên trong có bán kính R=aR=a cắt kéo xoáy từ D tới B quạt ra 1 khoảng trăng khuyết chẽn vào. Phần góc khuất đó được gọi là Hình Quạt BAB.

a) Diện tích của Hình quạt BAB bằng bao nhiêu?

b) Tính diện tích phần vát mỡ nằm NGOÀI miếng quạt nhưng TRONG hình vuông.

Bài 3 (Thực tế): Bánh răng Cơ khí Một kĩ sư đứng chế tạo dây băng tải cao su cuộn quấn quanh môt trục tuabin hình trụ. Trục tuabin có đường kính phi 50 (nghĩa là đường kính d=50mmd=50\text{mm}). Tuabin quay rẽ băng quấn kéo môt góc chệch xé đà 72∘72^\circ.

a) Hãy tính chiều dài mảnh dây băng cao su tiếp xúc nẹp vào bề lõi (chiều dài cung xoắn) trong vòng lõi xoắn 72∘72^\circ (theo mm).

b) Kĩ sư muốn thay một trục khổng lồ hơn để trong vòng xoay NHỎ HƠN là 36∘36^\circ mà vẫn cuộn được đoạn dây dẫu y hệt độ dài. Vậy đường kính trục mới phải là phi bao nhiêu?

Bài 4 (Tổng hợp): Trò chơi Bóng Ngựa Công viên Bàn xoay đu ngựa gỗ có bán kính rào an toàn vòng ngoài là 6m6\text{m}, vòng chốt bên trong có ngựa gỗ chạy là bán kính r=4m4\text{m}.

a) Tính diện tích Vành đầm nằm xen giữa vòng trong và vòng Ngoài (Diện tích Hình vành Khuyên).

b) Nếu trò chơi chạy được thời gian bằng 150∘150^\circ, em hãy tính Quãng Đường thực tế bé A đi được nếu bé ngồi trên ngựa mâm nằm chính giữa (4m4\text{m}).

📊 Đáp số

Bài 1:

a) C=2⋅3.14⋅R=25.12⇒R=25.12/6.28=4cmC = 2 \cdot 3.14 \cdot R = 25.12 \Rightarrow R = 25.12 / 6.28 = 4\text{cm}.

b) S=3.14⋅R2=314⇒R2=100⇒R=10cmS = 3.14 \cdot R^2 = 314 \Rightarrow R^2 = 100 \Rightarrow R = 10\text{cm}. Chu vi C=20⋅3.14=62.8cmC = 20 \cdot 3.14 = 62.8\text{cm}.

c) l=π=π⋅R⋅60/180=π⋅R/3⇒R=3cml = \pi = \pi \cdot R \cdot 60 / 180 = \pi \cdot R / 3 \Rightarrow R = 3\text{cm}.

d) Khi mua ống nước thường dùng hệ đo gọi tên quy cách “Đường kính” (Phi 21, phi 27). Nên D quan trọng nhất trong cơ khí khớp nối.

Bài 2:

a) Hình vuông có góc tâm A=90∘⇒A = 90^\circ \Rightarrow Cây quạt chia 90∘90^\circ chiếm 1/41/4 cái vòng tròn. Squạt=πa2⋅90360=πa24S_{\text{quạt}} = \frac{\pi a^2 \cdot 90}{360} = \frac{\pi a^2}{4}.

b) Nằm ngoài quạt: Dùng diện tích Tổng Hình Vuông trừ đi Miếng Nhát Cắt: Svaˊt=Svuoˆng−Squạt=a2−πa24=a2⋅(1−π/4)S_{\text{vát}} = S_{\text{vuông}} - S_{\text{quạt}} = a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = a^2 \cdot (1 - \pi/4).

Bài 3:

a) d=50⇒R=25mmd=50 \Rightarrow R=25\text{mm}. n=72∘n = 72^\circ. Đoạn cung l băng tải =π⋅25⋅72180=1800π180=10π mm= \frac{\pi \cdot 25 \cdot 72}{180} = \frac{1800\pi}{180} = 10\pi\text{ mm}.

b) Kĩ sư muốn góc bé đi chỉ còn 36∘36^\circ mà vẫn nuốt y nguyên được 10π10\pi đoạn dây. 10π=π⋅Rmới⋅36180=π⋅Rmới5⇒Rmới=50mm10\pi = \frac{\pi \cdot R_{mới} \cdot 36}{180} = \frac{\pi \cdot R_{mới}}{5} \Rightarrow R_{mới} = 50\text{mm}. ⇒\Rightarrow Đường kính vòm trục mới phải Mập Gấp Đôi →ϕ100\rightarrow \phi 100.

Bài 4:

a) Vành khuyên = S Vòng to - S Vòng bé =π⋅62−π⋅42=36π−16π=20π≈62.8m2= \pi \cdot 6^2 - \pi \cdot 4^2 = 36\pi - 16\pi = 20\pi \approx 62.8\text{m}^2.

b) Quãng đường chạy là 1 cung tròn vệt bánh xe của vòng bên trong R=4. l=π⋅4⋅150180=π⋅600180=10π3≈10.47ml = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 150}{180} = \frac{\pi \cdot 600}{180} = \frac{10\pi}{3} \approx 10.47\text{m}.