Lớp 9 · Chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 27: Góc nội tiếp

🚀 Khởi động

📐 Góc nhìn bao quát từ nhiều vị trí sân khấu

Một rạp xiếc ngoài trời có thiết kế hình tròn. Sân khấu (biểu diễn cho khán giả) là một dải cung bằng thép căng ngang trên mép sàn (cung $AB$ ). Khán giả được sắp xếp ngồi dọc kín men theo bờ chu vi của rạp xiếc từ điểm cung lớn còn lại.

Họa viên xây dựng muốn kiểm tra xem: Liệu những khán giả ngồi ở hàng ghế khác nhau trên dọc viền vòng tròn (tại đỉnh $C_1, C_2, C_3\dots$ ) thì góc quan sát mở rộng từ mắt họ đến hết hai đầu khán đài sân khấu $A, B$ có bị thay đổi do đổi vị trí hay không?

Sử dụng định lý đo lường “Góc nội tiếp” trong toán hình học phẳng, chúng ta sẽ có ngay luận cứ để chứng minh một sự thật bất ngờ: Chừng nào khán giả còn ngồi trên viền của rạp tròn hình vòng cung ấy, thì góc nhìn sân khấu sẽ đảm bảo sự bằng nhau ở mọi tọa độ chỗ ngồi!

🔍 I. Lý thuyết trọng tâm

📖 1. Định nghĩa Góc nội tiếp

Trong phân tích trên đường tròn tâm $(O)$ :

Góc nội tiếp là góc thỏa mãn đồng thời hai yếu tố cốt lõi: 1) Đỉnh của góc phải nằm trên đường tròn. 2) Hai cạnh của góc phải chứa hai dây cung của đường tròn (kéo dài cắt đường tròn).
Phần cung tròn nằm bên trong khoang không gian giữa hai cạnh góc đó (kể cả có đi qua tâm hay không) được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ , lấy ba điểm $A, B, C$ phân biệt cùng nằm trên đường tròn. Khi đó góc tạo bởi ba đỉnh $\widehat{BAC}$ được gọi là một góc nội tiếp. Hai cạnh của góc là dây cung $AB$ và dây cung $AC$ . Cung nhỏ $BC$ (nằm lọt trong góc) chính là cung bị chắn.

📖 2. Định lí về số đo của góc nội tiếp

Sự liên kết chặt chẽ giữa góc đỉnh nằm ngoài hoặc trên biên và số đo vòng cung đo được trong đường tròn tuân theo định lý cơ sở:

Định lí: Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp luôn luôn bằng một nửa số đo của cung bị chắn bởi góc đó. $\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\text{sđ}\overparen{BC}$

(Nhắc lại: Trong bài Góc ở tâm, góc đỉnh trùng với tâm $O$ luôn trực tiếp bằng số đo cung bị chắn. Như vậy, góc nội tiếp có đỉnh xa lùi về lề chu vi sẽ bằng một nửa góc ở tâm cho trước).

📖 3. Hệ quả quan trọng từ Định lí góc nội tiếp

Từ định lý tỷ lệ một phần hai $\frac{1}{2}$ kể trên, ta có khả năng suy ra các tính chất (hệ quả) hình học hỗ trợ giải hệ phương trình chứng minh nhanh chóng:

Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau: Trong một đường tròn (hoặc hai đường tròn bằng nhau), hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai dây cung bị chắn của chúng cũng có số đo bằng nhau, và ngược lại.
Cùng chắn một cung: Các góc nội tiếp cùng chắn một cung (thậm chí là cùng chắn các cung bằng nhau) thì bằng nhau.
Mối quan hệ với góc ở tâm: Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^\circ$ ) có số đo bằng chính xác một nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn chung một cung đó. $\Rightarrow \widehat{BAC} = \frac{1}{2}\widehat{BOC}$ .
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn luôn là góc vuông ( $90^\circ$ ). Hệ quả kinh điển để chứng minh quan hệ tam giác vuông nội tiếp nhanh nhất.

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Tính số đo góc hoặc số đo cung bị chắn trên đường tròn Phương pháp:

Áp dụng hệ thức nền tảng của bài: Số đo góc nội tiếp $\widehat{AMB} = \frac{1}{2}\text{sđ}\overparen{AB}$ .
Do đó nếu đề bài đã cho thông số cung chắn $\Rightarrow$ Tính một nửa là ra góc. Nếu đề cho thông số góc nội tiếp $\Rightarrow$ Nhân đôi lên để tính độ mở của cung (số đo góc ở tâm đi kèm).
Có thể áp dụng kết hợp cùng góc ở tâm $\widehat{AOB}$ do liên kết đồng cung. $\widehat{AMB} = \frac{1}{2}\widehat{AOB}$ .

Ví dụ 1: Cho đường tròn điểm tâm $O$ . Gọi $M, N$ là hai điểm nằm trên đường tròn sao cho cung nhỏ $MN$ có số đo đạt $60^\circ$ . Điểm $P$ chạy trên vòng cung lớn $MN$ của thiết diện. Tính số đo của phần góc nội tiếp: $\widehat{MPN}$ và góc ở tâm $\widehat{MON}$ . Hướng dẫn:

Theo định lý góc nội tiếp bao bọc dây cung, vì $\widehat{MPN}$ chắn cung nhỏ $MN$ : $\widehat{MPN} = \frac{1}{2}\text{sđ}\overparen{MN} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$ .
Góc ở tâm tương ứng trùm chắn cung tròn nhỏ $MN$ luôn bằng đúng số đo cung đó: $\widehat{MON} = \text{sđ}\overparen{MN} = 60^\circ$ .

Dạng 2: Ứng dụng để chứng minh hai góc lượng bằng nhau, tam giác vuông Phương pháp:

Các điểm di chuyển trên một cung tròn cùng hướng tầm mắt nhìn dây cung còn lại dưới cùng một nấc góc đo (Các góc nội tiếp chung 1 cung hoặc chung đoạn chắn).
Để chứng minh đường vuông góc (hoặc một tam giác có hình thái vuông), ta nên mượn tính chất phụ thuộc là tìm ra góc góc nội tiếp tựa đỉnh trên đường tròn và chắn dải cung đường kính (cung $180^\circ$ ).

Ví dụ 2: Cho hệ đường tròn đường kính thẳng $BC$ . Một điểm $A$ nằm ngay trên phần biên của đường tròn ( $A$ khác tọa độ $B$ và $C$ ). Dựng $AD$ vuông góc với dây $BC$ (điểm $D$ trên dây $BC$ ). Biết góc nhọn $\widehat{B} = 30^\circ$ , khẳng định điểm số đo góc $\widehat{C}$ bằng bao nhiêu ở đơn vị độ? Hướng dẫn:

Vì $BC$ đóng vai trò là đường kính của tròn, góc nhọn nội tiếp $\widehat{BAC}$ tiến hành chắn sát nửa đường tròn giới hạn cung tròn biên dải. Suy ra tam giác đó phải vuông tại $A$ tương ứng $\widehat{BAC} = 90^\circ$ .
Xét theo phân bổ độ trong tam giác phân luồng $ABC$ vuông tại $A$ : $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{C} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 7

Dễ0 đã trả lời

Góc nội tiếp là góc có đặc điểm gì đối với một đường tròn?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tứ giác đa điểm $ABCD$ có tất cả 4 mút cùng nằm biên tại một đường tròn tâm $O$ . Gọi các góc và định hướng trên mặt phẳng cho biết $\widehat{ADB} = 45^\circ$ và đặc tính số đo cung nhỏ đoạt được của $\overparen{CD} = 80^\circ$ .

a) Phân tích số đo cung nhỏ $\overparen{AB}$ ? b) Tính thông số độ của phần góc nội tiếp $\widehat{CAD}$ ? c) Hai dải góc $\widehat{ACB}$ và $\widehat{ADB}$ chia sẻ cung nào? Do đó, chúng có mối hệ tương đương ra sao?

Bài 2: (Ứng dụng bài toán vẽ sơ đồ thực tiễn) Một sân chơi bóng nằm trên trục có cấu trúc là nửa đường tròn dải tâm $O$ đường kính bằng phẳng nằm ngang $MN$ . Từ một điểm $P$ tùy ý đứng trên hành lang cung tròn, em dựng một ống trụ $PH$ chiếu thẳng vuông góc với dải ngang vỉa phân cách của đường kính $MN$ ( $H$ là trục chân cao thuộc đường tròn). Đoán biết kích thước $MN = 10\text{ m}$ và $MH = 2\text{ m}$ . Hãy định thức số lý độ dựa trên hệ thức lượng giác tính bình phương cành đường cao tam giác vuông cho biến $PH$ ?

📊 Hướng dẫn giải

Bài 1: a) Với đỉnh D, ta thấy góc tạo lập $\widehat{ADB}$ chính là góc nội tiếp chắn phần cung nhỏ dây $\overparen{AB}$ . Theo định lý liên hệ cấu trúc: $\text{sđ}\overparen{AB} = 2 \cdot \widehat{ADB} = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$ . b) Dựa sát từ $\text{sđ}\overparen{CD} = 80^\circ$ , quan sát góc đa đỉnh $\widehat{CAD}$ cũng là góc nội tiếp chắn lấn đúng rào rợp phía cung $\overparen{CD}$ . Suy ra nhanh chóng: $\widehat{CAD} = \frac{1}{2}\text{sđ}\overparen{CD} = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ$ . c) Góc $\widehat{ACB}$ và góc $\widehat{ADB}$ là hai cung lồng nội tiếp cùng hội tụ và thu chắn một đối tượng duy trì là cung $\overparen{AB}$ . Dựa vào hệ quả góc nội tiếp, hai góc này phải giữ bằng nhau: $\widehat{ACB} = \widehat{ADB} = 45^\circ$ .

Bài 2: Vì tổ hợp 3 điểm $M, N, P$ chóp đỉnh cùng thuộc vào phân nhóm hệ đường tròn và có dải $MN$ thiết lập đường kính, áp dụng định lí góc chắn nửa đường tròn thì góc góc $\widehat{MPN}$ hiển nhiên là góc vuông ( $90^\circ$ ). Do đó, tam giác hợp mệnh $\triangle MPN$ đang trong trạng thái đồng dạng vuông tại $P$ . Sử dụng cung hình hệ thức lượng thiết lập trong tam giác vuông mở rộng với điểm chiếu $PH$ vuông dải $MN$ : $PH^2 = MH \cdot HN$ . Ta có tính toán sơ khởi: Đường kính dải $MN = 10$ , khoảng ngắn $MH = 2 \Rightarrow$ Chiều dài đoạn nối tiếp $HN = 10 - 2 = 8\text{ m}$ . Vậy có công thức: $PH^2 = 2 \cdot 8 = 16$ . Do đó rút bình phương ta khai đoạn thẳng độ dài $PH = 4\text{ m}$ .