Lớp 9 · Chương II: Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

🚀 Khởi động

⚖️ Chiếc bấp bênh

Em đã bao giờ thấy trò chơi bấp bênh ở công viên chưa? Chiếc bấp bênh sẽ nghiêng về phía người nào nặng hơn.

Nếu bạn A nặng hơn bạn B, ta viết A > B.
Nếu bạn A có thêm một chiếc cặp 5kg, và bạn B cũng cầm một vật nặng 5kg, bấp bênh sẽ nghiêng về bên nào?

Thực ra, trong toán học, dấu >, <, ≥, ≤ được dùng để chỉ sự chênh lệch này, tạo thành Bất đẳng thức. Bất đẳng thức có những tính chất đặc biệt nào mà chúng ta có thể áp dụng giống như trò chơi bấp bênh đó?

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm bất đẳng thức

Hệ thức có dạng $a < b$ (hoặc $a > b, a \le b, a \ge b$ ) được gọi là một bất đẳng thức. Trong đó:

$a$ là vế trái
$b$ là vế phải

Ví dụ:

$3 < 5$ là bất đẳng thức đúng.
$x + 2 \ge y$ là bất đẳng thức.
$a^2 \ge 0$ là bất đẳng thức luôn đúng với mọi số thực $a$ .

📖 2. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một lượng vào hai bên bấp bênh, trạng thái của bấp bênh có thay đổi không? Không!

Tính chất: Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$

Ví dụ 1: Ta có $-2 < 5$ . Nếu cộng 3 vào hai vế, ta được $-2 + 3 < 5 + 3$ , tức là $1 < 8$ (đúng).

Ví dụ 2: Đặt dấu thích hợp. Nếu $m \ge n$ thì $m - 5$ và $n - 5$ quan hệ thế nào? Giải: Trừ 5 ở cả hai vế (tương đương cộng với $-5$ ). Chiều bất đẳng thức giữ nguyên. $m - 5 \ge n - 5$ .

📖 3. Tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Phép nhân phức tạp hơn một chút vì có dấu âm tham gia sẽ làm “rối loạn” mọi bề mặt gương phản chiếu!

Tính chất 1 (Nhân số dương): Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với nó. Nếu $a < b$ và $c > 0$ thì $a \cdot c < b \cdot c$ .

Tính chất 2 (Nhân số âm 🚨): Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với nó. Nếu $a < b$ và $c < 0$ thì $a \cdot c > b \cdot c$ .

Ví dụ 3: $3 < 5$ . Nhân cả hai vế với 2 (số dương). $\Rightarrow 3 \times 2 < 5 \times 2 \Leftrightarrow 6 < 10$ (Giữ nguyên chiều).

Ví dụ 4: $3 < 5$ . Nhân cả hai vế với $-2$ (số âm). $\Rightarrow 3 \times (-2)$ so sánh như thế nào với $5 \times (-2)$ ? $-6 > -10$ . Ta thấy dấu đã bị đảo ngược từ < thành >.

Ví dụ 5: Cho $a \ge b$ . So sánh $-3a - 2$ và $-3b - 2$ . Giải:

Bước 1 (Nhân với $-3$ ): Vì $-3$ là số âm nên bị ĐẢO CHIỀU $\Rightarrow -3a \le -3b$ .
Bước 2 (Cộng với $-2$ ): Cộng thì KHÔNG ĐỔI CHIỀU $\Rightarrow -3a - 2 \le -3b - 2$ . Kết luận: $-3a - 2 \le -3b - 2$ .

📖 4. Tính chất bắc cầu

Nếu bạn A cao hơn bạn B, và bạn B cao hơn bạn C. Thì suy ra bạn A chắc chắn cao hơn bạn C. Tính chất đối với các con số cũng vậy: $undefined$

⭐ Ghi nhớ

Văn chú để nhớ:

Cộng / Trừ: Vô tư, luôn GIỮ NGUYÊN CHIỀU bất đẳng thức.
Nhân / Chia:
- Với số dương (+): Vẫn GIỮ NGUYÊN CHIỀU.
- Với số âm (-): ⚠️ BẮT BUỘC ĐẢO CHIỀU ⚠️.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Hệ thức nào sau đây là một bất đẳng thức?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Dùng dấu $<, >, \le, \ge$ để biểu diễn các phát biểu:

a) $x$ là số âm.

b) $y$ lớn hơn hoặc bằng 5.

c) Cân nặng $w$ của túi xách không quá 7kg.

d) Tốc độ $v$ tối thiểu phải đạt 40km/h.

Bài 2: Cho $a < b$ , hãy so sánh:

a) $a + 7$ và $b + 7$

b) $a - 12$ và $b - 12$

c) $3a$ và $3b$

d) $-5a$ và $-5b$

Bài 3: Cho $x > y$ . Hãy đặt dấu thích hợp vào chỗ trống và giải thích qua từng bước biến đổi:

a) $2x - 3 \dots 2y - 3$

b) $-x + 4 \dots -y + 4$

c) $\frac{x}{5} + 2 \dots \frac{y}{5} + 2$

d) $10 - 2x \dots 10 - 2y$

Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức (Dựa vào luỹ thừa bình phương lớn hơn hoặc bằng 0):

a) $a^2 + 1 > 0$ với mọi $a$ .

b) $(b - 1)^2 \ge 0$ với mọi $b$ .

c) $x^2 + 2x + 2 > 0$ với mọi $x$ . (Gợi ý đưa về bình phương)

d) Tỉ số của số lớn chia cho số bé luôn lớn hơn 1 (nếu cả hai số đều dương mảnh). Dịch bằng công thức toán $a>b>0 \Rightarrow a/b > 1$ .

Bài 5 (Thực tế): Quán tạp hóa A bán sữa hộp với mức giá niêm yết $50k$ /hộp. Quán tạp hóa B bán giá $55k$ /hộp. Do lễ kỷ niệm, giám đốc quyết định:

a) Nếu cả hai quán đều giảm $5k$ /hộp. So sánh giá bán hai quán.

b) Nếu cả hai quán đều giảm giá 20% (tức là giá hộp chỉ bằng $80\%$ giá ban đầu). So sánh giá bán 2 quán. Chiều có đổi không?

c) Cửa hàng C xuất hiện có giá rẻ nhất từ ngày khai trương. Chứng minh Giá cả hàng C nhỏ hơn Giá cửa hàng B bằng tính chất của BĐT.

d) Tùy vào giá bán, nếu nhập 100 hộp ở C và 100 hộp ở A thì tốn kém so sánh thế nào?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $x < 0$

b) $y \ge 5$

c) $w \le 7$

d) $v \ge 40$

Bài 2:

a) $a + 7 < b + 7$

b) $a - 12 < b - 12$

c) $3a < 3b$

d) $-5a > -5b$ (Nhân số âm đảo chiều)

Bài 3:

a) $2x - 3 > 2y - 3$ ( $cx>cy$ , trừ không đổi chiều)

b) $-x + 4 < -y + 4$ (Nhân -1 đảo chiều thành $-x<-y$ )

c) $\frac{x}{5} + 2 > \frac{y}{5} + 2$ (Nhân $1/5$ số dương giữ nguyên)

d) $10 - 2x < 10 - 2y$ (Nhân -2 đảo chiều thành $-2x<-2y$ , cộng 10 giữ nguyên dấu)

Bài 4:

a) Vì $a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 + 1 \ge 1 > 0$ .

b) Bình phương của một số luôn $\ge 0$ .

c) $x^2+2x+2 = x^2+2x+1 + 1 = (x+1)^2 + 1$ . Vì $(x+1)^2 \ge 0 \Rightarrow (x+1)^2 + 1 \ge 1 > 0$ .

d) Vì $a>b>0$ , nhân cả hai vế với số dương $\frac{1}{b}$ ta được $a \cdot \frac{1}{b} > b \cdot \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{a}{b} > 1$ .

Bài 5:

a) $50k < 55k$ , trừ 5 ở 2 vế: $45k < 50k$ . Giá quán A vẫn nhỏ hơn quán B.

b) Giảm 20% tức là nhân 2 vế với $0.8$ (số dương). Bất đẳng thức giữ nguyên chiều.

c) Áp dụng tính chất bắc cầu: $P_B > P_A$ và $P_A > P_C \Rightarrow P_B > P_C$ .

d) $P_C < P_A$ . Nhân 2 vế với 100 (số dương) $\Rightarrow 100 \times P_C < 100 \times P_A$ . Nhập ở C tốn ít tiền hơn ở A.