Lớp 9 · Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

🚀 Khởi động

🧐 Hai con đường đi đến La Mã

Một bài tập tính toán xuất hiện: Tính giá trị của $S = \sqrt{16 \times 25}$ .

Học sinh A làm như sau: Toán trong căn trước $\Rightarrow S = \sqrt{400} = 20$ .
Học sinh B làm như sau: Chia rẽ căn ra $\Rightarrow S = \sqrt{16} \times \sqrt{25} = 4 \times 5 = 20$ . Cả hai học sinh đều ra kết quả đúng! Liệu đây là sự trùng hợp ngẫu nhiên? Không, đó là bài toán có sự hậu thuẫn bởi “Quy tắc khai phương một tích”. Vây với phép cộng thì sao? Phép chia thì sao?

🔍 Khám phá

📖 1. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Định lí: Với hai biểu thức không âm $A \ge 0$ và $B \ge 0$ , ta có: $\sqrt{A \cdot B} = \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$

Từ định lí trên, chúng ta sử dụng linh hoạt dưới 2 trạng thái:

Trạng thái Khai Phương (Tách từ trái qua phải): Để khai phương môt tích, ta khai phương từng nhân tử rồi nhân chúng lại. Dấu hiệu Dùng: Khi các nhân tử bên trong là một số viết được thành một số chính phương. Ví dụ: $\sqrt{49 \cdot 100} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{100} = 7 \cdot 10 = 70$ .
Trạng thái Nhân Hai Căn Thức (Gộp từ phải qua trái): Muốn nhân các căn bậc hai, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương tổng thể. Dấu hiệu Dùng: Khi từng căn thức bên ngoài lẻ, không thể khai phương, nhưng khi nhân gộp vào lại ra số đẹp. Ví dụ: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$ .

Ví dụ ứng dụng Rút Gọn Đại Số: Rút gọn $\sqrt{9a^2}$ với $a \ge 0$ . Giải: $\sqrt{9a^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} = 3 \cdot |a|$ . Vì $a \ge 0 \Rightarrow 3a$ .

📖 2. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Định lí: Với số $A \ge 0$ và số $B > 0$ (Mẫu phải khác 0), ta có: $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Hai luật ngược xuôi tương tự phép nhân:

Khai phương một thương: $\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$ .
Chia hai căn: $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$ . (Từng cái độc lập thì lẻ, gộp lại thì chẵn).

Ví dụ ứng dụng: (Gộp mạnh với hằng đẳng thức) Tính $\sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}}$ . Giải: Dùng HĐT $(A^2 - B^2)$ ở tử: Mẫu số trong căn: $165^2 - 124^2 = (165 - 124)(165 + 124) = 41 \cdot 289$ . Phân thức: $\sqrt{\frac{41 \cdot 289}{164}} = \sqrt{\frac{41 \cdot 289}{41 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{289}{4}}$ . Tiến hành chia căn: $\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8.5$ . Quá ảo ma nếu phải bình phương 165 từ đầu phải không!

⭐ Ghi nhớ

Luật cấm chỉ: KHÔNG có quy tắc khai phương cho PHÉP CỘNG và PHÉP TRỪ. $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ Đừng vì quá “sung” mà bạn tách tung cả dấu cộng ra bạn nhé!

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Áp dụng quy tắc nhân, $\sqrt{A} \cdot \sqrt{B}$ bằng biểu thức nào (với $A \ge 0, B \ge 0$ )?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tính (Bằng cách phân tách căn, không dùng máy tính):

a) $\sqrt{1.44 \cdot 100}$

b) $\sqrt{2.25 \cdot 4}$

c) $\sqrt{250 \cdot 0.1}$

d) $\sqrt{0.36 \cdot 0.09}$

Bài 2: Tính (Bằng cách gộp căn):

a) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}$

b) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$

c) $\frac{\sqrt{162}}{\sqrt{2}}$

d) $\frac{\sqrt{2700}}{\sqrt{3}}$

Bài 3: Rút gọn biểu thức dạng tích phân đại số:

a) $\sqrt{2x} \cdot \sqrt{8x}$ (với $x \ge 0$ )

b) $\frac{\sqrt{12x^5}}{\sqrt{3x}}$ (với $x > 0$ )

c) $\sqrt{\frac{2a^2b^4}{50}}$

d) Rút gọn biểu thức kết hợp HĐT $\sqrt{(x-2)^2 \cdot 16} \dots$ (với $x<2$ ).

Bài 4: Tính nhanh biểu thức với Hằng đẳng thức:

a) $\sqrt{13^2 - 12^2}$

b) $\sqrt{17^2 - 8^2}$

c) $\sqrt{\frac{117^2 - 108^2}{49}}$

d) So sánh 2 số: $\sqrt{26} + \sqrt{6}$ và $\sqrt{26 + 6}$ .

Bài 5 (Học sinh Khá Giỏi): Đóng gói sản phẩm. Một nhà máy sản xuất thùng giấy hình lập phương. Biết thể tích thùng là $V = a^3$ , nhưng để tiết kiệm bìa carton, người ta nghiên cứu độ dài đường chéo của mặt thùng $d = \sqrt{2a^2}$ .

a) Hãy rút gọn $d$ với $a>0$ .

b) Biết diện tích toàn phần thùng là $S_{tp} = 6a^2$ . Biểu diễn $d$ theo $S_{tp}$ .

c) Nếu $S_{tp} = 150 \text{ cm}^2$ , tính $d$ . Giới hạn sai số dùng khai căn $\sqrt{2} \approx 1.4$ . Lấy nguyên.

d) Có thể làm một thùng chữ nhật $a \times a \times 2a$ tốn $S_{tp}$ là $150$ không? $d$ mặt đáy lớn nhất lúc đó là?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $1.2 \cdot 10 = 12$

b) $1.5 \cdot 2 = 3$

c) $\sqrt{25} = 5$

d) $0.6 \cdot 0.3 = 0.18$

Bài 2:

a) $\sqrt{16} = 4$

b) $\sqrt{100} = 10$

c) $\sqrt{81} = 9$

d) $\sqrt{900} = 30$

Bài 3:

a) $\sqrt{16x^2} = 4|x| = 4x$

b) $\sqrt{4x^4} = 2x^2$

c) $\sqrt{\frac{1}{25}a^2b^4} = 1/5 \cdot |a|b^2$ . (Lưu ý b^4 luôn dương nhưng a phải để TTĐ).

d) $4 \cdot |x-2| = 4(2-x) = 8-4x$ .

Bài 4:

a) $\sqrt{(13-12)(13+12)} = \sqrt{25} = 5$ .

b) $\sqrt{9 \cdot 25} = 3 \cdot 5 = 15$ .

c) $\sqrt{\frac{9 \cdot 225}{49}} = \frac{3 \cdot 15}{7} = \frac{45}{7}$ .

d) $\sqrt{26+6} = \sqrt{32}$ . Mà $\sqrt{26} > \sqrt{25} = 5$ rồi. Nên $\sqrt{26} + \sqrt{6} > \sqrt{32}$ .

Bài 5:

a) $d = a\sqrt{2}$ .

b) $a^2 = S_{tp}/6 \Rightarrow a = \sqrt{S_{tp}/6}$ . Thay vào $\Rightarrow d = \sqrt{\frac{S_{tp}}{6}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{S_{tp}}{3}}$ .

c) $\sqrt{150/3} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \approx 5 \times 1.41 = 7.05 \text{ cm}$ . Lấy 7cm.

d) Diện tích thùng HCN: $2 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot 2a = 10a^2$ . Vậy $10a^2 = 150 \Rightarrow a^2 = 15 \Rightarrow a = \sqrt{15}$ . Mặt đáy dài $2a$ , rộng $a$ . Đường chéo đáy $D = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ .