Lớp 9 · Chương VI: Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 19: Phương trình bậc hai một ẩn

🚀 Khởi động

🕵️ Truy tìm Kích thước Rạp phim

Một rạp chiếu phim muốn xây một màn hình hình chữ nhật siêu rộng. Yêu cầu diện tích màn phẳng là $48\text{m}^2$ . Và chiều dài bắt buộc phải dài hơn chiều rộng mặn mà $2\text{m}$ . Hỏi chiều rộng của màn chiếu đó bằng bao nhiêu?

Nếu gọi chiều rộng là $x$ , thì chiều dài ăn theo là $(x + 2)$ . Ta lập được biểu thức Diện Tích: $x \cdot (x + 2) = 48$ . Nhân ngầm tung lốc vào sẽ ra: $x^2 + 2x - 48 = 0$ . Làm cách nào để truy tìm lại số $x$ bị nhốt trong cái xích Bậc 2 kia? Người Ả Rập (Khwarizmi) đã tìm ra lời giải cho cái xích này từ 1000 năm trước: Khai sinh ra Phương trình bậc hai.

🔍 I. Lý thuyết trọng tâm

📖 1. Định nghĩa và hệ số

Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng: $a x^2 + b x + c = 0$ Trong đó hệ số gánh mũ hai $a \neq 0$ (Tùy b và c bằng 0 cũng được nhưng gã cầm quyền khuyết a thì sụp nguồn).

Ví dụ: $2x^2 + 5x - 3 = 0$ có các tướng cầm đầu: $a = 2, b = 5, c = -3$ . Phương trình khuyết: $-3x^2 + 12 = 0$ (Khuyết b=0).

📖 2. “Thần chú” Công thức Nghiệm Tổng quát

Để giải mã TẤT CẢ mọi kiểu phương trình chẵn lẻ khuyết đủ, toán học phát minh ra hòn đá vi diệu Delta ( $\\Delta$ ):

Chìa khoá 1 (Tính Delta): $\Delta = b^2 - 4ac$

Chìa khoá 2 (Bắt Cửa Tuỳ Mệnh Delta):

Sốc rủi ro ( $\\Delta < 0$ ): Phương trình Tắt Ngóm (VÔ NGHIỆM). Viết kết luận luôn và đi ngủ.
Tình duyên chập 1 ( $\\Delta = 0$ ): Phương trình Đậu Nghiệm Kép: $x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$
Vinh quang Bùng Nổ ( $\\Delta > 0$ ): Phương trình Chẻ 2 Nhánh Nghiệm Phân Biệt: $x_{1} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}; \quad x_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

🖩 3. Cỗ Máy Giải Phương Trình Ảo Diệu

Hãy thử điền hệ số bài toán màn chiếu rạp phim ở Khoảng Khởi Động (

1x^2 + 2x - 48 = 0

) vào máy này xem màn chiếu chốt bao nhiêu mét?

Máy Tính Phương Trình Bậc 2 & Định Lí Viète

Nhập các hệ số a, b, c của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

x² +

x +

= 0

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Phương trình Khuyết ( $b = 0$ hoặc $c = 0$ ) Phương pháp giải Cấp tốc (Không cần xài thần chú $\Delta$ chậm):

Khuyết $c$ : Dạng $ax^2 + bx = 0$ . Rút $x$ ra ngoài sân! $\Rightarrow x(ax + b) = 0$ . $\Rightarrow x=0$ hoặc $x = -b/a$ .
Khuyết $b$ : Dạng $ax^2 + c = 0$ . Kéo c qua Vế Phải! $\Rightarrow ax^2 = -c \Rightarrow x^2 = -c/a$ . (Giá trị Âm thì vứt rác, giá trị Dương thì lấy Căn Cộng Trừ).

Ví dụ 1: Giải phương trình $-2x^2 + 18 = 0$ . Hướng dẫn: Đây là khuyết $b$ . Ném số đi: $-2x^2 = -18$ . Chặt $\Rightarrow x^2 = 9$ . Lấy Căn hai chiều $\Rightarrow x = 3$ hoặc $x = -3$ . (Giải thế này nhanh như Gió, tội gì phải bấm nẹp Delta cho $b=0$ , mệt người đúng không!)

Dạng 2: Phương trình Đủ (Giải bằng Delta Phương Cương) Phương pháp:

Đem xác định ĐÚNG DẤU $(-, +)$ các hệ số a, b, c đè lên dốc.
Lắp công thức Delta (cẩn thận dấu âm chập âm nảy lửa ra Dương trong chỗ $-4ac$ ).
Tra bảng Mệnh 3 Cửa Delta $\rightarrow$ Bung Căn Thức $\rightarrow$ Ráp Công Thức Chẻ $2a$ (lưu ý CHIA CHO 2A CHỨ KHÔNG PHẢI CHIA MỖI A).

Ví dụ 2: Giải phương trình $2x^2 - 7x + 3 = 0$ . Hướng dẫn:

Hệ số $a = 2; b = -7; c = 3$ .
Xay sinh tố $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$ .
Vì $25 > 0$ , mở khoá nghiệm múc $\sqrt{25} = 5$ . $x_1 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$ . $x_2 = \frac{-(-7) - 5}{4} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Nghiệm siêu đẹp!

Dạng 3: Phương trình có Tham Số $m$ Phương pháp:

Đề túm tóc hỏi $m$ để Phương trình… (Có Nghiệm, Có Nghiệm Kép, Vô Nghiệm).
Tí tính $\Delta$ dựa vào biến m (Biểu thức m vướng chữ).
Ép biểu thức Delta đấy về Mốc So Sánh $=0$ , $<0$ hoặc $\ge 0$ tùy miệng đề bắt chẹt.

Ví dụ 3: Cấm nghiệm! Tìm $m$ để phương trình $x^2 - 4x - m = 0$ VÔ NGHIỆM. Hướng dẫn:

$a=1, b=-4, c=-m$ .
Lọc $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-m) = 16 + 4m$ .
Để cỗ máy Vô NGhiệm $\Rightarrow$ Yêu cầu $\Delta < 0 \Rightarrow 16 + 4m < 0 \Rightarrow 4m < -16 \Rightarrow m < -4$ .

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Cửu chương sấy Delta): Giải các phương trình sau cẩn thận theo bảng Delta:

a) $x^2 - 5x + 6 = 0$

b) $2x^2 + 2x + 1 = 0$

c) $9x^2 - 12x + 4 = 0$

d) $-3x^2 + 7x - 2 = 0$

Bài 2 (Đập hộp Khuyết m): Giải khôn khéo bắng phương pháp tút x thẳng tay:

a) $3x^2 - 15x = 0$

b) $-4x^2 + 64 = 0$

c) $(x - 5)^2 - 16 = 0$

Bài 3 (Mối nhân duyên Đặc Tính A-C Trái Dấu): Không cần giải con vít Delta nào ra giấy, em hãy giải thích tại sao hai phương trình sau lại “Luôn chắc nịch có 2 nghiệm phân biệt”? Ngầm quy luật gì ẩn chứa ở dấu hiệu $a$ và $c$ ?

a) $5x^2 - 76x - 12 = 0$

b) $-x^2 + 99x + 5 = 0$

Bài 4 (Truy quét biến M): Cho phương trình $mx^2 + 2x - 1 = 0$ (ẩn $x$ , tham số $m$ ).

a) Tìm điều kiện ban thuở m để dính tem “Bậc Hai”? (Đừng quên móc khoá lớn nhất).

b) Tìm m để phương trình trên có Nghiệm kép duy nhất? Đoạt mốc M, tìm xem Nghiệm M kép này là bằng mấy?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = 2$ . b) $\Delta = 4 - 8 = -4 < 0 \Rightarrow$ Vô nghiệm. c) (Chia $2$ hằng đẳng thức): $\Delta = 144 - 144 = 0 \Rightarrow$ Kép $x_1=x_2 = 12/18 = 2/3$ . d) Lọc $4ac = 4 \cdot (-3) \cdot (-2) = 24$ . $\Delta = 49 - 24 = 25 \Rightarrow x_1 = \frac{-7+5}{-6} = 1/3, x_2 = \frac{-7-5}{-6} = 2$ .

Bài 2: a) Rút $3x(x - 5) = 0 \Rightarrow x=0$ hoặc $x=5$ . b) Rút $4x^2 = 64 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4, x = -4$ . c) $(x-5)^2 = 16$ . Tung 2 cánh Căn $\Rightarrow x-5 = 4 \rightarrow x=9$ , nhánh nớ $x-5 = -4 \rightarrow x=1$ .

Bài 3: a) $a = 5 > 0$ và $c = -12 < 0$ . $a, c$ Trái dấu dẫn đến mảng trừ $-4ac = -4(+) \cdot (-) = +$ . Tức là Số trừ luôn thành số Cộng Dương Mốc khổng lồ! Với $\Delta = b^2 - 4ac$ . Mã Bình phương $b^2 \ge 0$ cộng thêm 1 đống $4ac$ Dương nữa $\Rightarrow$ Delta Luôn Tuyệt Đối LỚN HƠN 0! (Hai nghiệm phân biệt muôn đời).

Bài 4: a) Điều kiện Bậc hai cứng nhắc: Hệ số $m \neq 0$ . b) Delta tính bằng $\Delta = 4 - 4 \cdot m \cdot (-1) = 4 + 4m$ . Nghiệm khép nẹp $\Delta = 0 \Rightarrow 4 + 4m = 0 \Rightarrow m = -1$ . Thay $m=-1$ vào Nghiệm Kép $= -b/2a = -2 / -2 = 1$ . (Nghiệm gỡ điểm $x=1$ ).