Bài 13: Mở đầu về đường tròn

Bài 1:

a) $R = 3\text{cm}$.

b) Đường kính $D = 8 \Rightarrow R = 4\text{cm}$. Đường tròn (b) to hơn.

Bài 2: Bán kính chuẩn $R=4$.

• $OA < R \Rightarrow A$ nằm trong đường tròn.
• $OB = R \Rightarrow B$ nằm trên vỏ (thuộc) đường tròn.
• $OC > R \Rightarrow C$ nằm ngoài đường tròn.

Bài 3:

a) $BC = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13\text{cm}$.

b) Tam giác vuông thì tâm nằm ở trung điểm cạnh huyền $BC$. Do đó đường kính chính là nẹp cạnh huyền $D = 13\text{cm}$. Bán kính $R = 13/2 = 6.5\text{cm}$.

c) Vị trí tâm $O$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$.

Bài 4: Giả sử có 3 điểm thẳng hàng A, B, C (B nằm giữa). Để đường tròn đi qua A và B $\Rightarrow$ tâm O phải thuộc trung trực d1 của đoạn AB. Tương tự đường tròn đi qua B và C $\Rightarrow$ tâm O phải thuộc trung trực d2 của đoạn BC. Nhưng A, B, C thẳng hàng nên 2 trung trực cùng vuông góc với đường phân chia sẽ SONG SONG với nhau. d1 // d2 nên không bao giờ cắt nhau điểm chung để tạo thành Tâm O được. Do đó vô lý, không tồn tại.

Bài 5 (Nâng cao cho học sinh Giỏi): Gọi tam giác là $ABC$ cân tại $A$ ($AB=AC=10, BC=16$). Kẻ đường cao $AH$ xuống $BC \Rightarrow H$ là trung điểm $BC \Rightarrow BH = HC = 8$. Trong tam giác vuông $ABH$, $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\text{cm}$. Tâm đường tròn ngoại tiếp O nằm trên đường cao $AH$. Bán kính $R = OA = OB = OC$. Ta có đoạn thẳng $AH$. Gọi khoảng cách từ $O$ đến mốc $H$ là $x$ ($OH = x$). Có 2 trường hợp: O nằm giữa AH hay ngoài. Nhưng do góc đỉnh lớn, tâm $O$ nằm ở ngoài, nôm na ta biểu diễn đại số: $R = 6 + x$ (tâm nằm dưới H) hoặc $R = 6 - x$. Rất may ta có tam giác vuông nhỏ $OBH$: $OB^2 = OH^2 + BH^2 \Rightarrow R^2 = x^2 + 8^2 = x^2 + 64$. Thay $x = R - 6$ (H nằm giữa). $R^2 = (R-6)^2 + 64 \Rightarrow R^2 = R^2 - 12R + 36 + 64 \Rightarrow 12R = 100 \Rightarrow R = 100/12 = 25/3 \approx 8.33\text{cm}$. Vậy bác công nhân cần mở compa $\approx 8.33\text{cm}$.