Ôn tập chương 6 - Toán 9

Lời giải:

a) Bảng giá trị:

Trên trăng tọa độ, vẽ các điểm $(-4;8),(-2;2),(0;0),(2;2),(4;8)$ rồi vẽ một đường cong parabol đi qua các điểm này, ta sẽ được đồ thị $(P)$. Đồ thị là parabol bề lõm quay lên trên, nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.

b) Thay tọa độ các điểm vào hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$:

• Điểm $A(2;2)$: $y=\frac{1}{2}(2{)}^2=2\Rightarrow A\in (P)$.
• Điểm $B(-4;8)$: $y=\frac{1}{2}(-4{)}^2=8\Rightarrow B\in (P)$.
• Điểm $C(3;5)$: $y=\frac{1}{2}(3{)}^2=4,5\ne 5\Rightarrow C\notin (P)$.

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$: $-x^2=x-2\iff x^2+x-2=0$. Nhẩm nghiệm $a+b+c=1+1-2=0$. Vậy phương trình có 2 nghiệm: $x_1=1,x_2=-2$. Với $x_1=1$, $y_1=-1^2=-1\Rightarrow$ Giao điểm thứ nhất $(1;-1)$. Với $x_2=-2$, $y_2=-(-2{)}^2=-4\Rightarrow$ Giao điểm thứ hai $(-2;-4)$.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d^{\prime })$: $-x^2=-2x+m\iff x^2-2x+m=0(1)$. Để $(d^{\prime })$ tiếp xúc với $(P)$ thì phương trình $(1)$ phải có nghiệm kép: ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-1\cdot m=0\iff 1-m=0\iff m=1$. Khi $m=1$, nghiệm kép của phương trình là $x=-\frac{b^{\prime }}{a}=1$. Thay $x=1$ vào phương trình $(P)$ ta có $y=-1$. Tọa độ tiếp điểm là $(1;-1)$.

Lời giải:

a) Có $\Delta =(-7{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25>0$. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{7+\sqrt{25}}{6}=\frac{12}{6}=2$; $x_2=\frac{7-5}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

b) Mất bớt dấu âm cho dễ nhìn: $2x^2-4x+2=0\iff x^2-2x+1=0\iff (x-1{)}^2=0$. Phương trình có nghiệm kép $x=1$.

c) Có $\Delta =(-1{)}^2-4\cdot 5\cdot 2=1-40=-39<0$. Phương trình vô nghiệm.

d) $4x^2-9=0\iff x^2=\frac{9}{4}\iff x=\pm \frac{3}{2}$. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.

Lời giải:

a) Đặt $t=x^2(t\ge 0)$, biến đổi phương trình thành: $t^2-8t-9=0$. Nhẩm nghiệm có $a-b+c=1-(-8)+(-9)=0$, nên $t_1=-1$ (loại), $t_2=9$ (nhận). Với $t=9\iff x^2=9\iff x=\pm 3$. Tập nghiệm $S=\{-3;3\}$.

b) ĐKXĐ: $x\ne 0$ và $x\ne 2$. Quy đồng mẫu số là $2x(x-2)$: $2x\cdot x+2(x+2)(x-2)=5x(x-2)$ $\iff 2x^2+2(x^2-4)=5x^2-10x$ $\iff 4x^2-8=5x^2-10x\iff x^2-10x+8=0$. ${\Delta }^{\prime }=(-5{)}^2-1\cdot 8=25-8=17>0$. Phương trình có 2 nghiệm là $x=5\pm \sqrt{17}$ (đều thỏa mãn ĐKXĐ).

Lời giải:

a) Hai số $u,v$ là nghiệm của phương trình biến X: $X^2-SX+P=0$ $\iff X^2-15X+36=0$. $\Delta =(-15{)}^2-4\cdot 1\cdot 36=225-144=81>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=9$. $X_1=\frac{15+9}{2}=12$; $X_2=\frac{15-9}{2}=3$. Vậy hai số cần tìm là 12 và 3.

b) Gọi $x,y$ lần lượt là chiều rộng và chiều cao của tivi ($x,y>0$). Ta có: $x^2+y^2=81^2=6561$. Diện tích màn hình $xy=3150$. Hệ có $(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy=6561+2(3150)=12861\Rightarrow x+y=\sqrt{12861}\approx 113,4$. Tổng $S=113,4$, Tích $P=3150$. Hai số $x,y$ là nghiệm phương trình $X^2-113,4X+3150=0$. $\Delta \approx 12861-12600=261\Rightarrow \sqrt{\Delta }\approx 16,155$. $x\approx \frac{113,4+16,155}{2}\approx 64,8$ cm. $y\approx \frac{113,4-16,155}{2}\approx 48,6$ cm. (Tivi có kích thước khoảng 65cm x 49cm).

Lời giải:

a) ${\Delta }^{\prime }=(-(m-1){)}^2-1(2m-4)=m^2-2m+1-2m+4=m^2-4m+5$. ${\Delta }^{\prime }=(m-2{)}^2+1$. Vì $(m-2{)}^2\ge 0$ với mọi m nên $(m-2{)}^2+1\ge 1>0$ với mọi m. Vậy ${\Delta }^{\prime }>0$ với mọi m, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Thay $x=3$ vào phương trình: $3^2-2(m-1)\cdot 3+2m-4=0$ $\iff 9-6m+6+2m-4=0\iff -4m+11=0\iff 4m=11\iff m=\frac{11}{4}=2,75$. Theo Viète, $x_1+x_2=2(m-1)\Rightarrow 3+x_2=2(2,75-1)=3,5\Rightarrow x_2=0,5$. Vậy nghiệm còn lại là $x=0,5$.

Lời giải:

Có $\Delta =(-6{)}^2-4\cdot 7=36-28=8>0$. Phương trình chắc chắn có 2 nghiệm. Theo Viète: $S=x_1+x_2=6$; $P=x_1{x}_2=7$.

a) $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=6^2-2(7)=36-14=22$.

b) $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2)=(x_1+x_2)[(x_1+x_2{)}^2-3x_1{x}_2]$ $=6\cdot (6^2-3\cdot 7)=6\cdot (36-21)=6\cdot 15=90$.

c) Xét $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=6^2-4(7)=36-28=8$. Vì vậy $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Lời giải:

Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt: $\Delta >0\iff (m+2{)}^2-4(2m)>0\iff m^2+4m+4-8m>0\iff m^2-4m+4>0\iff (m-2{)}^2>0\iff m\ne 2$.

Theo hệ thức Viète, ta có: $x_1+x_2=m+2$ $x_1{x}_2=2m$

Hệ thức đề bài: $x_1^2+x_2^2=20\iff (x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=20$. Thay biểu thức Viète vào: $(m+2{)}^2-2(2m)=20$ $\iff m^2+4m+4-4m=20$ $\iff m^2+4=20\iff m^2=16\iff m=4$ hay $m=-4$. Cả hai giá trị $m=4$ và $m=-4$ đều khác 2 (thỏa mãn điều kiện). Vậy $m\in \{4;-4\}$.

Lời giải:

Đổi 4 giờ 48 phút = $4+\frac{48}{60}=\frac{24}{5}$ giờ. Gọi năng suất của vòi I và vòi II trong 1 giờ làm được lần lượt là $x$ và $y$ (bể/giờ) ($x>0,y>0$). Mỗi giờ cả hai vòi chảy được: $x+y=\frac{1}{\frac{24}{5}}=\frac{5}{24}$ (1)

Mở vòi I trong 3 giờ ta được: $3x$. Mở vòi II chảy thêm 4 giờ nữa (nghĩa là vòi I và II cùng mở thêm 4 giờ, tức là lượng phần bể đầy = $3x+\dots$). Khoan, đề ghi “mở vòi I 3 giờ, SAU ĐÓ mở TIẾP vòi II chảy thêm 4 giờ nữa” (cả hai vòi chảy cùng lúc trong 4 giờ sau). Hoặc diễn giải là Vòi I chảy tổng cộng $3+4=7$ giờ, vòi II chảy 4 giờ. Lượng nước: $7x+4y=\frac{3}{4}$ (2).

Giải hệ (1) & (2): $x+y=\frac{5}{24}\Rightarrow 4x+4y=\frac{20}{24}=\frac{5}{6}$. Lấy (2) trừ cho pt mới: $3x=\frac{3}{4}-\frac{5}{6}=\frac{9}{12}-\frac{10}{12}=-\frac{1}{12}$ (âm, vô lý). Như vậy đề có thể hiểu: Vòi I chảy 3 giờ, sau đó chỉ vòi II chảy tiếp 4 giờ? $\Rightarrow 3x+4y=\frac{3}{4}$. Thử lại: $y=\frac{5}{24}-x$. $3x+4(\frac{5}{24}-x)=\frac{3}{4}\Rightarrow -x+\frac{5}{6}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=\frac{5}{6}-\frac{3}{4}=\frac{1}{12}$. $y=\frac{5}{24}-\frac{2}{24}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$. Lượng nước 1 giờ vòi I chảy là $1/12$ bể $\Rightarrow$ Vòi I chảy một mình mất 12 giờ. Lượng nước 1 giờ vòi II chảy là $1/8$ bể $\Rightarrow$ Vòi II chảy một mình mất 8 giờ.

Lời giải:

Đổi 30 phút = $\frac{1}{2}$ giờ. Gọi vận tốc lúc đi của ô tô là $x$ (km/h) Điều kiện: $x>0$. Thời gian lúc đi là: $\frac{150}{x}$ (giờ). Vận tốc lúc về là: $x+15$ (km/h). Thời gian lúc về là: $\frac{150}{x+15}$ (giờ).

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút, ta có phương trình: $\frac{150}{x}-\frac{150}{x+15}=\frac{1}{2}$ $\iff 150\cdot 2\cdot (x+15)-150\cdot 2\cdot x=x(x+15)$ $\iff 300(x+15)-300x=x^2+15x$ $\iff 300x+4500-300x=x^2+15x$ $\iff x^2+15x-4500=0$.

$\Delta =15^2-4(-4500)=225+18000=18225=135^2$. Nghiệm của phương trình: $x_1=\frac{-15+135}{2}=\frac{120}{2}=60$ (thỏa mãn). $x_2=\frac{-15-135}{2}=\frac{-150}{2}=-75$ (loại).

Vậy vận tốc lúc đi của xe ô tô là 60 km/h.