Ôn tập chương 6 - Toán 9

Lời giải:

a) Bảng giá trị:

Trên trăng tọa độ, vẽ các điểm $(-4; 8), (-2; 2), (0; 0), (2; 2), (4; 8)$ rồi vẽ một đường cong parabol đi qua các điểm này, ta sẽ được đồ thị $(P)$. Đồ thị là parabol bề lõm quay lên trên, nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.

b) Thay tọa độ các điểm vào hàm số $y = \frac{1}{2}x^2$:

• Điểm $A(2; 2)$: $y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2 \Rightarrow A \in (P)$.
• Điểm $B(-4; 8)$: $y = \frac{1}{2}(-4)^2 = 8 \Rightarrow B \in (P)$.
• Điểm $C(3; 5)$: $y = \frac{1}{2}(3)^2 = 4,5 \neq 5 \Rightarrow C \notin (P)$.

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$: $-x^2 = x - 2 \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0$. Nhẩm nghiệm $a + b + c = 1 + 1 - 2 = 0$. Vậy phương trình có 2 nghiệm: $x_1 = 1, x_2 = -2$. Với $x_1 = 1$, $y_1 = -1^2 = -1 \Rightarrow$ Giao điểm thứ nhất $(1; -1)$. Với $x_2 = -2$, $y_2 = -(-2)^2 = -4 \Rightarrow$ Giao điểm thứ hai $(-2; -4)$.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d')$: $-x^2 = -2x + m \Leftrightarrow x^2 - 2x + m = 0 \quad (1)$. Để $(d')$ tiếp xúc với $(P)$ thì phương trình $(1)$ phải có nghiệm kép: $\Delta' = (-1)^2 - 1 \cdot m = 0 \Leftrightarrow 1 - m = 0 \Leftrightarrow m = 1$. Khi $m = 1$, nghiệm kép của phương trình là $x = -\frac{b'}{a} = 1$. Thay $x = 1$ vào phương trình $(P)$ ta có $y = -1$. Tọa độ tiếp điểm là $(1; -1)$.

Lời giải:

a) Có $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0$. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{6} = \frac{12}{6} = 2$; $x_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

b) Mất bớt dấu âm cho dễ nhìn: $2x^2 - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^2 = 0$. Phương trình có nghiệm kép $x = 1$.

c) Có $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 1 - 40 = -39 < 0$. Phương trình vô nghiệm.

d) $4x^2 - 9 = 0 \Leftrightarrow x^2 = \frac{9}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{3}{2}$. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = -\frac{3}{2}$.

Lời giải:

a) Đặt $t = x^2 \ (t \geq 0)$, biến đổi phương trình thành: $t^2 - 8t - 9 = 0$. Nhẩm nghiệm có $a - b + c = 1 - (-8) + (-9) = 0$, nên $t_1 = -1$ (loại), $t_2 = 9$ (nhận). Với $t = 9 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$. Tập nghiệm $S = \{-3; 3\}$.

b) ĐKXĐ: $x \neq 0$ và $x \neq 2$. Quy đồng mẫu số là $2x(x-2)$: $2x \cdot x + 2(x+2)(x-2) = 5x(x-2)$ $\Leftrightarrow 2x^2 + 2(x^2 - 4) = 5x^2 - 10x$ $\Leftrightarrow 4x^2 - 8 = 5x^2 - 10x \Leftrightarrow x^2 - 10x + 8 = 0$. $\Delta' = (-5)^2 - 1 \cdot 8 = 25 - 8 = 17 > 0$. Phương trình có 2 nghiệm là $x = 5 \pm \sqrt{17}$ (đều thỏa mãn ĐKXĐ).

Lời giải:

a) Hai số $u, v$ là nghiệm của phương trình biến X: $X^2 - SX + P = 0$ $\Leftrightarrow X^2 - 15X + 36 = 0$. $\Delta = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81 > 0 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 9$. $X_1 = \frac{15 + 9}{2} = 12$; $X_2 = \frac{15 - 9}{2} = 3$. Vậy hai số cần tìm là 12 và 3.

b) Gọi $x, y$ lần lượt là chiều rộng và chiều cao của tivi ($x, y > 0$). Ta có: $x^2 + y^2 = 81^2 = 6561$. Diện tích màn hình $xy = 3150$. Hệ có $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 6561 + 2(3150) = 12861 \Rightarrow x + y = \sqrt{12861} \approx 113,4$. Tổng $S = 113,4$, Tích $P = 3150$. Hai số $x, y$ là nghiệm phương trình $X^2 - 113,4 X + 3150 = 0$. $\Delta \approx 12861 - 12600 = 261 \Rightarrow \sqrt{\Delta} \approx 16,155$. $x \approx \frac{113,4 + 16,155}{2} \approx 64,8$ cm. $y \approx \frac{113,4 - 16,155}{2} \approx 48,6$ cm. (Tivi có kích thước khoảng 65cm x 49cm).

Lời giải:

a) $\Delta' = (-(m-1))^2 - 1(2m - 4) = m^2 - 2m + 1 - 2m + 4 = m^2 - 4m + 5$. $\Delta' = (m - 2)^2 + 1$. Vì $(m - 2)^2 \geq 0$ với mọi m nên $(m - 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ với mọi m. Vậy $\Delta' > 0$ với mọi m, phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Thay $x = 3$ vào phương trình: $3^2 - 2(m-1)\cdot 3 + 2m - 4 = 0$ $\Leftrightarrow 9 - 6m + 6 + 2m - 4 = 0 \Leftrightarrow -4m + 11 = 0 \Leftrightarrow 4m = 11 \Leftrightarrow m = \frac{11}{4} = 2,75$. Theo Viète, $x_1 + x_2 = 2(m-1) \Rightarrow 3 + x_2 = 2(2,75 - 1) = 3,5 \Rightarrow x_2 = 0,5$. Vậy nghiệm còn lại là $x = 0,5$.

Lời giải:

Có $\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 7 = 36 - 28 = 8 > 0$. Phương trình chắc chắn có 2 nghiệm. Theo Viète: $S = x_1 + x_2 = 6$; $P = x_1 x_2 = 7$.

a) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 6^2 - 2(7) = 36 - 14 = 22$.

b) $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)[(x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2]$ $= 6 \cdot (6^2 - 3 \cdot 7) = 6 \cdot (36 - 21) = 6 \cdot 15 = 90$.

c) Xét $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 6^2 - 4(7) = 36 - 28 = 8$. Vì vậy $|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Lời giải:

Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt: $\Delta > 0 \Leftrightarrow (m+2)^2 - 4(2m) > 0 \Leftrightarrow m^2 + 4m + 4 - 8m > 0 \Leftrightarrow m^2 - 4m + 4 > 0 \Leftrightarrow (m-2)^2 > 0 \Leftrightarrow m \neq 2$.

Theo hệ thức Viète, ta có: $x_1 + x_2 = m + 2$ $x_1 x_2 = 2m$

Hệ thức đề bài: $x_1^2 + x_2^2 = 20 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 20$. Thay biểu thức Viète vào: $(m+2)^2 - 2(2m) = 20$ $\Leftrightarrow m^2 + 4m + 4 - 4m = 20$ $\Leftrightarrow m^2 + 4 = 20 \Leftrightarrow m^2 = 16 \Leftrightarrow m = 4$ hay $m = -4$. Cả hai giá trị $m = 4$ và $m = -4$ đều khác 2 (thỏa mãn điều kiện). Vậy $m \in \{4; -4\}$.

Lời giải:

Đổi 4 giờ 48 phút = $4 + \frac{48}{60} = \frac{24}{5}$ giờ. Gọi năng suất của vòi I và vòi II trong 1 giờ làm được lần lượt là $x$ và $y$ (bể/giờ) ($x>0, y>0$). Mỗi giờ cả hai vòi chảy được: $x + y = \frac{1}{\frac{24}{5}} = \frac{5}{24}$ (1)

Mở vòi I trong 3 giờ ta được: $3x$. Mở vòi II chảy thêm 4 giờ nữa (nghĩa là vòi I và II cùng mở thêm 4 giờ, tức là lượng phần bể đầy = $3x + \dots$). Khoan, đề ghi “mở vòi I 3 giờ, SAU ĐÓ mở TIẾP vòi II chảy thêm 4 giờ nữa” (cả hai vòi chảy cùng lúc trong 4 giờ sau). Hoặc diễn giải là Vòi I chảy tổng cộng $3 + 4 = 7$ giờ, vòi II chảy 4 giờ. Lượng nước: $7x + 4y = \frac{3}{4}$ (2).

Giải hệ (1) & (2): $x + y = \frac{5}{24} \Rightarrow 4x + 4y = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$. Lấy (2) trừ cho pt mới: $3x = \frac{3}{4} - \frac{5}{6} = \frac{9}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{1}{12}$ (âm, vô lý). Như vậy đề có thể hiểu: Vòi I chảy 3 giờ, sau đó chỉ vòi II chảy tiếp 4 giờ? $\Rightarrow 3x + 4y = \frac{3}{4}$. Thử lại: $y = \frac{5}{24} - x$. $3x + 4(\frac{5}{24} - x) = \frac{3}{4} \Rightarrow -x + \frac{5}{6} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{1}{12}$. $y = \frac{5}{24} - \frac{2}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$. Lượng nước 1 giờ vòi I chảy là $1/12$ bể $\Rightarrow$ Vòi I chảy một mình mất 12 giờ. Lượng nước 1 giờ vòi II chảy là $1/8$ bể $\Rightarrow$ Vòi II chảy một mình mất 8 giờ.

Lời giải:

Đổi 30 phút = $\frac{1}{2}$ giờ. Gọi vận tốc lúc đi của ô tô là $x$ (km/h) Điều kiện: $x > 0$. Thời gian lúc đi là: $\frac{150}{x}$ (giờ). Vận tốc lúc về là: $x + 15$ (km/h). Thời gian lúc về là: $\frac{150}{x + 15}$ (giờ).

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút, ta có phương trình: $\frac{150}{x} - \frac{150}{x + 15} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 150 \cdot 2 \cdot (x + 15) - 150 \cdot 2 \cdot x = x(x + 15)$ $\Leftrightarrow 300(x + 15) - 300x = x^2 + 15x$ $\Leftrightarrow 300x + 4500 - 300x = x^2 + 15x$ $\Leftrightarrow x^2 + 15x - 4500 = 0$.

$\Delta = 15^2 - 4(-4500) = 225 + 18000 = 18225 = 135^2$. Nghiệm của phương trình: $x_1 = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$ (thỏa mãn). $x_2 = \frac{-15 - 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75$ (loại).

Vậy vận tốc lúc đi của xe ô tô là 60 km/h.