Lớp 9 · Chương VI: Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 20: Định lí Viète và ứng dụng

🚀 Khởi động

🕵️ Chuyện nhà toán học tài ba François Viète

Làm sao để đoán tính cách một người mà không cần mở miệng hỏi môt câu nào? Trong toán học, việc đi giải cặn kẽ hệ số Delta rồi thay hằng đẳng thức để tìm Chính xác Từng nghiệm Môt là rất tốn công. Nhà toán học vĩ đại người Pháp François Viète đã phát minh ra “Sợi Dây Liên Kết Tâm Linh”.

Ông chứng minh rằng, Tổng khối lượng của 2 nghiệm ( $x_1 + x_2$ ) và Tích đo ván ( $x_1 \cdot x_2$ ) của chúng đã bị phơi bày hoàn toàn NGAY TỪ LÚC NHÌN DÁNG MẶT CỦA CÁC HỆ SỐ $a, b, c$ ! Nghĩa là Chưa giải, nhưng Viète đã đọc vị được 2 nghiệm cộng lại nặng bao nhiêu ki-lô! Cùng tiếp thu pháp bảo Toán Học kinh điển nhất của khối THCS bên dưới nhé!

“François Viète (1540 - 1603) là cha đẻ của ngành Đại số Ký Hiệu. Ông tiên phong dùng CHỮ CÁI để thay cho SỐ trong toán học đấy!”

🔍 I. Lý thuyết trọng tâm

📖 1. Định lí Viète

Nếu phương trình bậc hai CÓ NGHIỆM ( $\\Delta \ge 0$ ), thì giữa hai nghiệm mộc $x_1, x_2$ sẽ tự động bị ràng buộc bởi luật Vi-ét:

TỔNG hai nghiệm: $S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$
TÍCH hai nghiệm: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

(Dễ nhớ: Trừ Bê trên A / Xê trên A. Cứ TỔNG là ĐỔI DẤU b, TÍCH là GIỮ NGUYÊN dấu c). Lưu ý Tử Huyệt: Pháp bảo này KHÔNG hoặt động (không có ý nghĩa) nếu $\Delta < 0$ vì lúc đó lấy đâu ra 2 nghiệm tàng hình để mà cộng với nhân!

📖 2. Ứng dụng Bắt Nghiệm Nhẩm Siêu Tốc

Nhờ định lý nà, ta có Thâm Công Nhẩm nghiệm (Nhìn lướt giải 1 giây ăn trọn điểm):

Khắc Hệ Cùng Dấu: Bốc cả ba hệ số cắn răng cộng chay với nhau nếu $a + b + c = 0$ $\Rightarrow$ Phương trình dập tắt có 1 nghiệm đẹp như mơ $x_1 = 1$ . $\Rightarrow$ Áp dụng rút Viét Tích, móc nốt nghiệm 2 nhanh gấp: $x_2 = \frac{c}{a}$ .
Khắc Hệ Đan Dấu: Lấy Chẵn cộng lẻ đan xen: $a - b + c = 0$ $\Rightarrow$ Nhắm mắt điền ngay nghiệm 1 là gạch ranh giới: $x_1 = -1$ . $\Rightarrow$ Nghiệm 2 là phần bù bị lộn ngược: $x_2 = -\frac{c}{a}$ .

📖 3. Định lý Viète ĐẢO (Lắp ghép từ Tổng và Tích)

Nếu ai đố bạn: Tìm hai số biết Tổng của chúng bằng S và Tích bằng P. Bạn không cần dò mò đoán số. Hai số đó CHẮC CHẮN LÀ HAI NGHIỆM của phương trình Lập chéo: $X^2 - S X + P = 0$ (Điều kiện tôn sinh: $S^2 - 4P \ge 0$ mới tồn tại hai chữ số đó ngoài đời thực).

🖩 4. Máy Tính Phân Tích Tổng & Tích

Hãy thử điền 3 hệ số a,b,c ngẫu nhiên, để xem chức năng “Định Lí Viète” của Tàu ngầm nhả ra bao nhiêu?

Máy Tính Phương Trình Bậc 2 & Định Lí Viète

Nhập các hệ số a, b, c của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

x² +

x +

= 0

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Không giải $\Delta$ , nhẩm nghiệm siêu nhanh Phương pháp:

Đưa mũi ngửi xem mảng $a+b+c = 0$ có khớp không? (Mốc $x_1=1, x_2 = c/a$ ).
Nếu sai, mảng $a-b+c = 0$ có khớp không? (Mốc $x_1=-1, x_2 = -c/a$ ).
Ghi trọn điểm vào tờ giấy thi!

Ví dụ 1: Giải phương trình $2024x^2 - 2025x + 1 = 0$ . Hướng dẫn:

Rõ ràng mà đi bấm $\Delta$ của 2025 bình phương thì sập nguồn!!
Ta thấy $a = 2024, b = -2025, c = 1$ .
Thuộc rập: $a + b + c = 2024 + (-2025) + 1 = 0$ .
Đóng ngoặc $\Rightarrow$ Phương trình khăng khăng có 2 nghiệm: $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{1}{2024}$ .

Dạng 2: Tính Biểu Thức Đối Xứng Qua Nghiệm Phương pháp: Khi đề mòn ra môt biểu thức rối nùi giữa $x_1, x_2$ (ví dụ tồng bình phương), bạn ĐỪNG giả $\Delta$ để tìm lẻ. Chìa Khoá Vạn Năng: Hãy độ chế Mọi Biểu thức về cái vỏ $(x_1 + x_2)$ và ruột $(x_1 x_2)$ để ép số $S$ và $P$ vào! Học thuộc 2 biến đổi “Tử Kim” này:

Kiểu 1 (Tổng Bình): $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = S^2 - 2P$
Kiểu 2 (Tổng Nghịch Đảo): $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{S}{P}$

Ví dụ 2: Cho $x^2 - 5x + 3 = 0$ . Hãy tính $A = x_1^2 + x_2^2$ . Hướng dẫn:

Delta $\Delta = 25 - 12 = 13 > 0$ (Phương trình có nghiệm).
Vi-ét nhả: $S = x_1+x_2 = 5$ . $P = x_1 x_2 = 3$ .
Chế biểu thức $A = S^2 - 2P = 5^2 - 2 \cdot 3 = 25 - 6 = 19$ . Xong! Nhanh gấp ngàn lần ôm căn vả vào Hằng đẳng thức!

Dạng 3: Tìm 2 kích thước chữ nhật biết Chu vi & Diện tích Phương pháp:

Chu vi vả ra Tổng nửa 2 cạnh: S = Dài + Rộng.
Diện tích xì ra Tích 2 cạnh: P = Dài × Rộng.
Gom S và P lập phương trình Vi-ét Đảo $X^2 - SX + P = 0$ . Rối ra nghiệm $\rightarrow$ Nó chính là kích thước!

Ví dụ 3: Khu vườn có chu vi $28\text{m}$ , diện tích $48\text{m}^2$ . Tìm 2 cạnh? Hướng dẫn:

Tổng 2 cạnh $S = 28 / 2 = 14\text{m}$ .
Tích 2 cạnh $P = 48\text{m}^2$ .
Dài và Rộng là 2 con nghiệm của Lò $X^2 - 14X + 48 = 0$ .
Kẻ Delta cho luồn khuyết: Giải lanh lẹ $X = 8$ hoặc $X = 6$ . Vậy Dài $8\text{m}$ Rộng $6\text{m}$ (Vì dài $>$ rộng).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Định lí Viète cho phép ta tính được gì MÀ KHÔNG CẦN GIẢI phương trình?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1 (Nhẩm hệ số cạn kiệt): Không dùng tay vào nháp Delta, hãy đọc lóm nhẩm miệng các nghiệm của dàn phương trình sau đây:

a) $8x^2 - 5x - 3 = 0$

b) $\sqrt{2} x^2 - (\sqrt{2} - 1) x - 1 = 0$ (Coi chừng cái mảng $a, b, c$ ).

c) $3x^2 + 10x + 7 = 0$

Bài 2 (Ráp công thức Thượng Đỉnh Biến Đổi): Cho phương trình sạch đẹp: $x^2 - 7x + 10 = 0$ . Rút 2 nghiệm ngầm $x_1, x_2$ . KHÔNG ĐƯỢC GIẢI RA CHI TIẾT NGHIỆM! Hãy xướng tính lén bằng Viète các biểu thức tàng hình sau:

a) Mảng độ nghịch $A = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

b) Mảng Bình phương Kép $B = x_1^2 + x_2^2$

c) Mảng Mũ Ba Chết Người $C = x_1^3 + x_2^3$ (Gợi ý mảng C: Dùng hằng đẳng thức mở: $(A+B)^3 - 3AB(A+B)$ tức là $S^3 - 3 \cdot P \cdot S$ ).

Bài 3 (Mũi Kích Parameter M): Tìm kẽ hở $m$ để chèn vào phương trình $x^2 - 6x + m - 2 = 0$ .

a) Yêu cầu nó phải có 2 nghiệm. (Chặn Delta).

b) Đòi hỏi cắc cớ: 2 nghiệm đó có móc xích thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 20$ . Tìm đúng chốt giá trị $m$ ?

Bài 4 (Chiến đấu thực tế): Hai bà nông dân đang rào chung vách ngăn đất. Thửa ruộng nẹp vách có tổng nửa chu vi là $25\text{m}$ . Diện tích gieo hạt là $150\text{m}^2$ . Hỏi cạnh dài mọc lên mét bao nhiêu?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $a+b+c = 8 - 5 - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = c/a = -3/8$ . b) Gỡ dây Hệ số: $a = \sqrt{2}, b = -\sqrt{2} + 1, c = -1$ . Lấy $a+b+c = \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1/\sqrt{2}$ . (Trùm cuối cũng bó tay vì quá dễ). c) Mảng Đan Dấu: $a-b+c = 3 - 10 + 7 = 0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = -c/a = -7/3$ .

Bài 2: Tất cả đều múc từ 1 lu: $S = x_1+x_2 = 7$ , $P = 10$ . (Do $\Delta = 49 - 40 = 9 > 0$ ). a) $A = S/P = 7/10 = 0.7$ . b) $B = S^2 - 2P = 7^2 - 2(10) = 49 - 20 = 29$ . c) $C = S^3 - 3PS = 7^3 - 3 \cdot 10 \cdot 7 = 343 - 210 = 133$ . (Làm mệt mỏi nhưng cực Cool!).

Bài 3: a) Chặn Delta phải $>0$ hoặc $\ge 0$ . Đề bảo “Có 2 nghiệm” chung chung $\Rightarrow \Delta' = 9 - 1 \cdot (m-2) \ge 0 \Rightarrow 11 - m \ge 0 \Rightarrow m \le 11$ . b) Ráp súng Viète: $S = 6; P = m - 2$ . Cắm Viết vào yêu cầu: $x_1^2 + x_2^2 = 20 \Rightarrow S^2 - 2P = 20 \Rightarrow 6^2 - 2(m-2) = 20 \Rightarrow 36 - 2m + 4 = 20 \Rightarrow 40 - 2m = 20 \Rightarrow 2m = 20 \Rightarrow m = 10$ . (Xong Check điều kiện $10 \le 11$ - Trúng Tuyển Hoàn Hảo!).

Bài 4: Nửa Chu vi lộ mặt Tổng: $S = 25$ . Diện tích lộ Tích: $P = 150$ . Lập vỏ ốc Đảo: $X^2 - 25X + 150 = 0$ . Bấm Delta $= (-25)^2 - 4(150) = 625 - 600 = 25 > 0$ . Búng ngón Tay $\Rightarrow X = \frac{25+5}{2} = 15$ hoặc $X = \frac{25-5}{2} = 10$ . Vậy lườn Dài ruộng rộng là $15\text{m}$ (Rộng $10\text{m}$ ).