Lớp 9 · Chương II: Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 6: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

🚀 Khởi động

🚥 Cảnh báo tốc độ

Trên một tuyến đường sắt nội đô, người ta gắn biển báo tốc độ xe tối đa cho phép là $40\text{ km/h}$ . Nếu gọi $v$ là vận tốc thực tế của một chiếc xe máy đi qua đoạn đường này, xe máy sẽ không vi phạm luật giao thông nếu thỏa mãn điều kiện: $v \le 40$

Hệ thức $v \le 40$ chính là một bất phương trình. Vậy bất phương trình bậc nhất một ẩn được định nghĩa và có cách giải như thế nào?

🔍 Khám phá

📖 1. Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình một ẩn $x$ có dạng: $A(x) > B(x)$ (hoặc $A(x) < B(x)$ , $A(x) \ge B(x)$ , $A(x) \le B(x)$ ) Trong đó, $A(x)$ và $B(x)$ là hai biểu thức của cùng một biến $x$ .

Nghiệm của bất phương trình: Số $x_0$ gọi là nghiệm nếu khi thay $x = x_0$ vào bpt ta được một bất đẳng thức đúng.

Giải bất phương trình: là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. Hai bpt có cùng tập nghiệm thì gọi là 2 bpt tương đương (ký hiệu $\Leftrightarrow$ ).

📖 2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa: Bất phương trình dạng $ax + b > 0$ (hoặc $< 0, \ge 0, \le 0$ ), trong đó $a, b$ là hai số đã cho và $a \neq 0$ , được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

📖 3. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

Để giải bpt, ta dùng hai quy tắc biến đổi tương đương sau:

a) Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bpt từ vế này sang vế kia, ta phải đổi dấu hạng tử đó.

Ví dụ: Giải bpt $x - 5 < 0$ $\Leftrightarrow x < 5$ . (Chuyển $-5$ sang vế phải thành $+5$ ).

b) Quy tắc nhân với một số: Khi nhân (hoặc chia) cả hai vế của bpt với cùng một số khác 0, ta phải:

Giữ nguyên chiều bpt nếu số đó dương.
Đổi chiều bpt nếu số đó âm.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình $2x > 6$ . Giải: Chia cả 2 vế cho 2 (số dương $\Rightarrow$ giữ nguyên chiều). $\Rightarrow x > 3$ .

Ví dụ 2: Giải bất phương trình $-3x \ge 12$ . Giải: Chia cả 2 vế cho $-3$ (số âm $\Rightarrow$ ĐẢO CHIỀU từ $\ge$ thành $\le$ ). $\Rightarrow x \le -4$ .

Ví dụ 3: Giải bất phương trình $3x - 5 \le x + 1$ Giải:

Chuyển vế để gom $x$ về 1 bên: $3x - x \le 1 + 5$
Thu gọn: $2x \le 6$
Chia cho 2: $x \le 3$ . Kết luận: Tập nghiệm là $\{ x \mid x \le 3 \}$ .

⚖️ Luyện tập giải Bất phương trình ax + b > c

x +

⭐ Ghi nhớ

Cẩn thận Cạm Bẫy Đảo Chiều: Lỗi sai phổ biến nhất của học sinh là quên ĐẢO CHIỀU bất phương trình khi chia hai vế cho hệ số âm. Luôn chú ý: Nếu hệ số trước ẩn $x$ là số âm, MẮT phải ngay lập tức cảnh giác và TAY phải ĐẢO CHIỀU DẤU ở bước cuối cùng!

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Dạng tổng quát của bất phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số (tự vẽ):

a) $x - 3 > 2$

b) $x + 5 \le 1$

c) $4x < 12$

d) $-2x \ge 8$

Bài 2: Giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn (Cơ bản):

a) $3x + 4 < 13$

b) $5 - 2x \ge 11$

c) $4x - 1 \le 3x + 5$

d) $-3x + 7 > 2x - 8$

Bài 3: Giải các bất phương trình có chứa ngoặc và phân thức số:

a) $2(x - 1) < 3(x + 2)$

b) $4(2x - 1) - x \ge 3(x - 2)$

c) $\frac{x - 1}{2} > \frac{x + 2}{3}$

d) $\frac{2x + 1}{4} - \frac{x - 3}{3} \le 1$

Bài 4: Tìm các giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện đề bài:

a) Giá trị biểu thức $2x - 5$ lớn hơn 3.

b) Giá trị biểu thức $3 - 4x$ không nhỏ hơn $2x + 9$ .

c) Giá trị của biểu thức $x^2 + 2x + 1$ luôn dương với $x$ như thế nào?

d) Biểu thị $x$ thỏa mãn để chu vi một hình vuông cạnh $2x - 1$ không vượt quá $20\text{cm}$ .

Bài 5 (Thực tế): Lợi nhuận kinh doanh Một công ty viễn thông cung cấp 2 gói cước Internet:

Gói A: Phí cố định 100 ngàn, cộng thêm 20 ngàn mỗi GB sử dụng.
Gói B: Không phí cố định, nhưng tính 35 ngàn mỗi GB sử dụng. a) Viết biểu thức tính chi phí khi dùng $x$ GB của gói A và gói B.

b) Lập bất phương trình để tìm xem dùng bao nhiêu GB thì Gói A rẻ hơn Gói B.

c) Giải bất phương trình vừa lập và đưa ra kết luận thực tế. (Người dùng nên chọn thế nào?)

d) Nếu ngân sách hàng tháng tối đa là 200 ngàn, dùng Gói B thì tối đa được bao nhiêu GB?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $x > 5$

b) $x \le -4$

c) $x < 3$

d) Chia $-2$ đổi chiều: $x \le -4$ .

Bài 2:

a) $3x < 9 \Rightarrow x < 3$

b) $-2x \ge 6 \Rightarrow x \le -3$

c) $4x - 3x \le 5 + 1 \Rightarrow x \le 6$

d) $-3x - 2x > -8 - 7 \Rightarrow -5x > -15 \Rightarrow x < 3$

Bài 3:

a) $2x - 2 < 3x + 6 \Rightarrow -x < 8 \Rightarrow x > -8$

b) $8x - 4 - x \ge 3x - 6 \Rightarrow 7x - 4 \ge 3x - 6 \Rightarrow 4x \ge -2 \Rightarrow x \ge -0.5$

c) Quy đồng 6: $3(x - 1) > 2(x + 2) \Rightarrow 3x - 3 > 2x + 4 \Rightarrow x > 7$

d) Quy đồng 12: $3(2x + 1) - 4(x - 3) \le 12 \Rightarrow 6x + 3 - 4x + 12 \le 12 \Rightarrow 2x + 15 \le 12 \Rightarrow 2x \le -3 \Rightarrow x \le -1.5$

Bài 4:

a) $2x - 5 > 3 \Rightarrow x > 4$

b) $3 - 4x \ge 2x + 9 \Rightarrow -6x \ge 6 \Rightarrow x \le -1$

c) $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ . $(x+1)^2 > 0$ khi $(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$ .

d) Lập bpt: Chu vi là $4(2x - 1) \le 20$ . Giải: $2x - 1 \le 5 \Rightarrow 2x \le 6 \Rightarrow x \le 3$ . (Tuy nhiên cạnh $2x-1 > 0 \Rightarrow x > 0.5$ . Vậy $0.5 < x \le 3$ ).

Bài 5:

a) Chi phí A: $C_A = 100 + 20x$ . Chi phí B: $C_B = 35x$ .

b) Gói A rẻ hơn B: $C_A < C_B \Leftrightarrow 100 + 20x < 35x$ .

c) $100 < 15x \Rightarrow x > 100/15 = 6.67$ . Kết luận: Nếu dùng nhiều hơn 6.67 GB/tháng thì mua Gói A sẽ tiết kiệm hơn.

d) Gói B ngân sách 200k: $35x \le 200 \Rightarrow x \le 200/35 \approx 5.71$ . Tối đa mua được khoảng 5.7 GB.