Ôn tập chương 10 - Toán 9

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xq} = 2\pi R h = 2 \cdot 3,14 \cdot 5 \cdot 10 = 314\text{ cm}^2$.

b) Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích 2 đáy: Diện tích một mặt đáy: $S_d = \pi R^2 = 3,14 \cdot 5^2 = 3,14 \cdot 25 = 78,5\text{ cm}^2$. Diện tích toàn phần: $S_{tp} = S_{xq} + 2S_d = 314 + 2 \cdot 78,5 = 314 + 157 = 471\text{ cm}^2$.

c) Thể tích hình trụ: $V = \pi R^2 h = S_d \cdot h = 78,5 \cdot 10 = 785\text{ cm}^3$.

Lời giải:

Bán kính đáy bồn: $R = 1,2 : 2 = 0,6\text{ m}$. a) Thể tích của bồn nước: $V = \pi R^2 h \approx 3,14 \cdot 0,6^2 \cdot 2,5 = 3,14 \cdot 0,36 \cdot 2,5 = 2,826\text{ m}^3$. Đổi ra lít: $2,826 \cdot 1000 = 2826\text{ lít}$. Vậy bồn chứa tối đa $2826$ lít nước.

b) Diện tích toàn phần (mặt ngoài) của bồn: $S_{tp} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2 \cdot 3,14 \cdot 0,6 \cdot 2,5 + 2 \cdot 3,14 \cdot 0,6^2$ $= 9,42 + 2,2608 = 11,6808\text{ m}^2$. Chi phí sơn bồn: $11,6808 \cdot 80\,000 \approx 934\,464$ (đồng).

Lời giải:

a) Trong hình nón, bán kính $R$, chiều cao $h$, và đường sinh $l$ tạo thành tam giác vuông. Theo định lý Pytago: $l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.

b) Diện tích xung quanh hình nón: $S_{xq} = \pi R l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\text{ (cm}^2\text{)}$.

c) Thể tích hình nón: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \cdot 8 \cdot \pi = 96\pi\text{ (cm}^3\text{)}$.

Lời giải:

Bán kính vành nón: $R = 40 : 2 = 20\text{ cm}$. Đường sinh $l = 30\text{ cm}$. a) Diện tích lá cọ lợp nón chính là diện tích xung quanh hình nón: $S_{xq} = \pi R l \approx 3,14 \cdot 20 \cdot 30 = 1884\text{ cm}^2$.

b) Chiều cao của nón: Áp dụng định lý Pytago $h^2 = l^2 - R^2 = 30^2 - 20^2 = 900 - 400 = 500$. $\Rightarrow h = \sqrt{500} = 10\sqrt{5} \approx 22,4\text{ cm}$.

Lời giải:

Bán kính quả địa cầu: $R = 30 : 2 = 15\text{ cm}$. a) Diện tích bề mặt của quả địa cầu (mặt cầu): $S = 4\pi R^2 \approx 4 \cdot 3,14 \cdot 15^2 = 4 \cdot 3,14 \cdot 225 = 2826\text{ cm}^2$.

b) Thể tích bên trong quả địa cầu (khối cầu): $V = \frac{4}{3}\pi R^3 \approx \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 15^3 = \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 3375 = 14130\text{ cm}^3$.

Lời giải:

Gọi thể tích cốc 1 là $V_1 = \pi R_1^2 h_1$. Thể tích cốc 2 là $V_2 = \pi R_2^2 h_2$. Thay $R_2 = 2 R_1$ và $h_2 = \frac{1}{2} h_1$ vào $V_2$: $V_2 = \pi \cdot (2 R_1)^2 \cdot (\frac{1}{2} h_1) = \pi \cdot 4 R_1^2 \cdot \frac{1}{2} h_1 = 2 \cdot (\pi R_1^2 h_1) = 2 V_1$. Vậy thể tích cốc thứ hai gấp 2 lần thể tích cốc thứ nhất. (Giải thích: Bán kính đóng vai trò bình phương trong công thức nên tăng gấp đôi khiến thể tích tăng gấp 4, chiều cao giảm một nửa khiến thể tích giảm một nửa, tổng cộng là 4/2 = 2 lần).

Lời giải:

Từ công thức thể tích hình trụ $V = \pi R^2 h$, ta tìm được bán kính $R$: $314 = 3,14 \cdot R^2 \cdot 10 \Rightarrow 314 = 31,4 \cdot R^2 \Rightarrow R^2 = \frac{314}{31,4} = 10$. $\Rightarrow R = \sqrt{10} \approx 3,16\text{ cm}$.

Diện tích nhãn giấy vòng quanh hộp chính là diện tích xung quanh hộp: $S_{xq} = 2\pi R h \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 3,16 \cdot 10 = 6,28 \cdot 31,6 \approx 198,45\text{ cm}^2$. Vậy diện tích nhãn giấy khoảng $198,45\text{ cm}^2$.

Lời giải:

Bán kính phần thân trụ cũng chính là bán kính hai khối nửa cầu ở hai đầu: $R = 6 : 2 = 3\text{ mm}$. Hai nửa hình cầu ghép lại tạo thành một hình cầu hoàn chỉnh bán kính $R = 3\text{ mm}$.

• Thể tích phần hình trụ: $V_{tru} = \pi R^2 h_{tru} = \pi \cdot 3^2 \cdot 8 = 72\pi \approx 226,08\text{ mm}^3$.
• Thể tích 2 nửa hình cầu (hoặc 1 khối cầu): $V_{cau} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = 36\pi \approx 113,04\text{ mm}^3$.
• Tổng thể tích viên thuốc: $V = V_{tru} + V_{cau} = 72\pi + 36\pi = 108\pi \approx 339,12\text{ mm}^3$. Vậy thể tích viên thuốc là khoảng $339,12\text{ mm}^3$.

Lời giải:

Bán kính quả cầu thủy tinh: $R = 10 : 2 = 5\text{ cm}$. Bán kính mặt cắt: $r = 4\text{ cm}$. Gọi khoảng cách từ tâm mặt cầu $O$ đến mặt cắt là $d$. Theo mối liên hệ giữa giao tuyến của mặt cầu và một mặt phẳng với tâm mặt cầu, ta có tam giác vuông được tạo bởi $d, r,$ và $R$, trong đó $R$ là cạnh huyền. Áp dụng định lý Pytago: $R^2 = d^2 + r^2$ $\Rightarrow 5^2 = d^2 + 4^2 \Rightarrow 25 = d^2 + 16$ $\Rightarrow d^2 = 9 \Rightarrow d = 3\text{ cm}$. Vậy khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng cắt là $3\text{ cm}$.

Lời giải:

Thể tích khối lập phương ban đầu: $V_{lp} = a^3 = 10^3 = 1000\text{ cm}^3$.

a) Khối cầu lớn nhất nội tiếp lập phương có đường kính chính bằng cạnh lập phương. Đường kính $D = 10\text{ cm} \Rightarrow R = 5\text{ cm}$. Thể tích quả cầu: $V_{cau} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi \approx 523,6\text{ cm}^3$. Thể tích gỗ bỏ đi: $V_{bo1} = 1000 - 523,6 = 476,4\text{ cm}^3$. Phần trăm gỗ bị bỏ đi là: $\frac{476,4}{1000} \cdot 100\% = 47,64\%$. (Khoảng $47,64\%$ khối gỗ bị gọt đi).

b) Khối trụ lớn nhất có chiều cao $h = 10\text{ cm}$ và mặt đáy có đường kính $D = 10\text{ cm} \Rightarrow R = 5\text{ cm}$. Thể tích khối trụ: $V_{tru} = \pi R^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = 250\pi \approx 785,4\text{ cm}^3$. Thể tích gỗ bỏ đi: $V_{bo2} = 1000 - 785,4 = 214,6\text{ cm}^3$. Phần trăm gỗ bị bỏ đi là: $\frac{214,6}{1000} \cdot 100\% = 21,46\%$. (Khoảng $21,46\%$ khối lập phương bị vứt bỏ).