Lớp 9 · Chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 29: Tứ giác nội tiếp

🚀 Khởi động

🌠 Dấu ấn bảo chứng cho một khối đồng viên

Năm xưa, khi lên bản đồ chia lô đất, có một thửa ruộng hình chéo bốn cạnh ngẫu nhiên, tạo thành một khung rào tứ giác khép kín. Quan hệ giữa các góc ở thửa ruộng này rất đặc biệt: tổng hai góc đối diện nhau luôn đong đúng 180180 độ (Bù nhau). Vài năm sau, kĩ sư đo đạc báo lại rằng, nhờ cấu trúc tổng góc bằng nhau kì diệu đó, cả bốn góc của thửa ruộng này có thể được nối thông đồng loạt bằng duy nhất một vòng xoay con đường cái dạng tròn, hoàn hảo ôm khít qua các góc.

Trong hình học Euclid phẳng, việc một đa giác có nhiều đỉnh (từ 4 trở lên) cùng hội tụ chia sẻ duy nhất một quỹ đạo đường tròn không phải là điều ngẫu nhiên luôn xuất hiện. Các dạng hình học mang tính chất khép kín này tạo ra một chuyên đề trọng tâm thuộc kiến thức lớp 9: Tứ giác nội tiếp. Cùng tìm hiểu xem những quy luật khắt khe nào đưa 4 điểm tùy ý vào chung một đường tròn.

🔍 I. Lý thuyết trọng tâm

📖 1. Khái niệm Tứ giác nội tiếp

  • Định nghĩa: Một tứ giác có cả bốn đỉnh nằm rải rác trên cùng một đường cong đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hoặc một tứ giác nội tiếp).
  • Đường tròn đi qua bốn đỉnh đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác, tứ giác gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.

Ví dụ: Nếu vẽ một đường tròn tâm OO, ta lần lượt chấm ngẫu nhiên 4 điểm A,B,C,DA, B, C, D trên biên của đường tròn đó. Dùng thước nối khép kín AB,BC,CDAB, BC, CD và DADA. Tứ giác ABCDABCD vừa tạo ra chính là một tứ giác nội tiếp.

📖 2. Tính chất cơ bản của Góc đối diện

Vì cả 4 đỉnh đều chễm chệ trên đường tròn, các góc tại đỉnh của tứ giác bản chất chính là các góc nội tiếp. Xét sự tương quan giữa các góc nội tiếp này, định lý nền tảng nhất được phát biểu như sau:

Định lí (Thuận): Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối diện nhau luôn luôn bằng 180∘180^\circ (hai góc bù nhau).

  • Cho tứ giác nội tiếp ABCDABCD, ta có được hệ thức: A^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ B^+D^=180∘\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ

(Chứng minh: A^\widehat{A} chắn cung BCDBCD, C^\widehat{C} chắn cung DABDAB. Tổng số đo hai cung chắn trải tròn bằng một vòng tròn 360∘360^\circ. Vì góc nội tiếp có bằng nửa số đo cung chắn ⇒12⋅360∘=180∘\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ).

📖 3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp (Định lí Đảo)

Đây là phần mang tính ứng dụng cao nhất khi giải bài tập chứng minh. Làm sao để khẳng định một tứ giác bình thường thực chất là tứ giác nội tiếp?

  1. Dấu hiệu 1 (Tổng 2 góc đối bù nhau): Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180∘180^\circ thì chắc chắn tứ giác đó là nội tiếp.
  2. Dấu hiệu 2 (Các đỉnh cách đều tâm): Tứ giác mang 4 đỉnh cách đều một điểm OO cố định (OA=OB=OC=ODOA=OB=OC=OD).
  3. Dấu hiệu 3 (Góc ngoài bằng góc trong): Tứ giác có góc mở bên ngoài tại một đỉnh (tạo bởi cạnh và phần kéo dài của cạnh kề) bằng với góc trong tại góc đỉnh đối diện.
  4. Dấu hiệu 4 (Cung chứa góc đồng dạng): Tứ giác có hai đỉnh sát kề nhau (như AA và BB) đứng cùng nhìn vị trí cạnh ranh chứa hai đỉnh còn lại (đoạn CDCD) dưới các chùm tia góc bằng nhau (DAC^=DBC^\widehat{DAC} = \widehat{DBC}).
ABCDA+C=180

DH1: Tổng hai góc đối

MNPQ

DH4: Cùng nhìn một cạnh

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Tính số đo các góc của Tứ giác nội tiếp Phương pháp:

  • Đưa trực tiếp định lí trọng tâm góc đối diện: A^+C^=180∘\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ và B^+D^=180∘\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ.
  • Kết hợp với tổng 4 góc của đa giác 4 cạnh bằng 360∘360^\circ nếu bài toán phức tạp hơn.
  • Trong trường hợp đường chéo nội tiếp, truy vết góc nới tiếp bằng nhau chắn các cung nội tiếp tương tự (vận dụng góc kề).

Ví dụ 1: Cho tứ giác hình khép ABCDABCD bảo đảm tính chất nội tiếp một đường tròn. Giả sử ta đo lường được góc A^=75∘\widehat{A} = 75^\circ và góc B^=105∘\widehat{B} = 105^\circ. Tính kích thước cụ thể của hai góc đỉnh còn sót lại C^\widehat{C} và D^\widehat{D}? Hướng dẫn:

  • Vì kết tủa tứ giác ABCDABCD rơi đúng vào nội tiếp đường tròn. Ta khai triển hai hệ lập cơ bản: A^+C^=180∘⇒75∘+C^=180∘⇒C^=180∘−75∘=105∘\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ \Rightarrow 75^\circ + \widehat{C} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{C} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ. B^+D^=180∘⇒105∘+D^=180∘⇒D^=180∘−105∘=75∘\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ \Rightarrow 105^\circ + \widehat{D} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{D} = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ.

Dạng 2: Phân tích Chứng minh Tứ giác nội tiếp Phương pháp:

  • Sử dụng góc vuông (vuông góc): Nếu nhìn thấy có 2 góc A^=90∘\widehat{A} = 90^\circ và C^=90∘\widehat{C} = 90^\circ đối nhau, ta tổng lại =180∘= 180^\circ cực nhanh.
  • Dò tìm góc chéo đường cao: Khi có 2 đường cao cắt nhau, các góc vuông D^=90∘\widehat{D} = 90^\circ và E^=90∘\widehat{E} = 90^\circ cùng nhìn một cạnh đáy, lập tức kết luận theo cung chứa góc.

Ví dụ 2: Quan sát một tam giác nhọn △ABC\triangle ABC. Tiến hành dựng hai đường cao BDBD và CECE đi xuống vuông góc với mặt vách ACAC và ABAB (giao điểm hai chiều tạo điểm HH). Chứng minh rằng có một cụm tứ giác tên là BEDCBEDC đủ đặc tính nội tiếp đường tròn? Hướng dẫn:

  • Xét trong cấu tạo tứ giác BEDCBEDC, hai cạnh BEBE và CDCD có góc được tạo hình là BEC^=90∘\widehat{BEC} = 90^\circ (bởi vì đường cao CE thả xuống mốc sàn AB) và góc BDC^=90∘\widehat{BDC} = 90^\circ (vì dải định BD rớt xuống mốc AC).
  • Chú ý đỉnh EE và DD là hai đỉnh kề sát của tứ giác, cùng đang hướng góc mắt theo dõi cạnh BCBC dưới một khoảng giới hạn góc đạt 90∘90^\circ.
  • Dựa theo dấu hiệu đánh giá tính chất quỹ tích (cùng nhìn 1 góc chung), tứ giác BEDCBEDC hoàn toàn nội tiếp trong một đường tròn. Tâm của đường tròn này là trung điểm của trục nối cạnh chung nhìn BCBC.
✏️ Luyện tập trắc nghiệm
Câu 1 / 8
Dễ0 đã trả lời

Thế nào là một tứ giác nội tiếp đường tròn?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cấu tạo tứ giác MNPQMNPQ được đăng kí danh mục nội tiếp đường tròn (O)(O). Cho thông số biểu thức tỉ luật M^=3⋅P^\widehat{M} = 3 \cdot \widehat{P}. a) Hãy tính định mức số đo hai dải góc M^\widehat{M} và góc P^\widehat{P}? b) Phụ lục nếu cho phép góc Q^\widehat{Q} nhỉnh hơn góc N^\widehat{N} là 30∘30^\circ, hãy rà soát tính các góc còn lại để hoàn thành đa giác?

Bài 2: Khảo sát một tứ giác có tên gọi ABCDABCD. Biết cấu trúc số liệu bao gồm A^=50∘\widehat{A} = 50^\circ, B^=110∘\widehat{B} = 110^\circ và C^=130∘\widehat{C} = 130^\circ. a) Tham số góc thứ tư D^\widehat{D} bằng bao nhiêu độ? b) Tứ giác này có đạt đủ điều kiện để có được một đường tròn ngoại tiếp thông qua 4 đỉnh của nó không? Giải thích rõ mệnh đề để hoàn tất bài toán.

📊 Hướng dẫn giải

Bài 1: a) Với giả thuyết MNPQMNPQ là nhóm tứ giác chìm sâu nội tiếp trong màng hình tròn, định lý cân bằng bù đưa ra: M^+P^=180∘\widehat{M} + \widehat{P} = 180^\circ. Lắp rập với điều kiện tỉ lệ biểu thức M^=3P^\widehat{M} = 3 \widehat{P}, ta thế vào phương trình dội hệ: 3P^+P^=180∘⇒4P^=180∘⇒P^=45∘3\widehat{P} + \widehat{P} = 180^\circ \Rightarrow 4\widehat{P} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{P} = 45^\circ. Từ đó rút nốt góc khối kết đọng: M^=3⋅45∘=135∘\widehat{M} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ. b) Dựa tiếp vào phương trình bù đối xứng trục dọc góc N^+Q^=180∘\widehat{N} + \widehat{Q} = 180^\circ. Cùng với rào thông số thứ cấp Q^−N^=30∘\widehat{Q} - \widehat{N} = 30^\circ. Thiết lập cộng vế song song hai phương trình trên: 2Q^=210∘⇒Q^=105∘2\widehat{Q} = 210^\circ \Rightarrow \widehat{Q} = 105^\circ. Suy ra hệ quả chót góc N^=105∘−30∘=75∘\widehat{N} = 105^\circ - 30^\circ = 75^\circ.

Bài 2: a) Việc tính góc nội tại dựa theo tổng 4 góc phẳng: D^=360∘−(50∘+110∘+130∘)=360∘−290∘=70∘\widehat{D} = 360^\circ - (50^\circ + 110^\circ + 130^\circ) = 360^\circ - 290^\circ = 70^\circ. b) Gặp trường hợp chứng minh đa phím, xét các cặp góc đối diện của khối ABCDABCD:

  • Tần đối A^+C^=50∘+130∘=180∘\widehat{A} + \widehat{C} = 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ.
  • Tần đối B^+D^=110∘+70∘=180∘\widehat{B} + \widehat{D} = 110^\circ + 70^\circ = 180^\circ. Vì đạt chuẩn tính chất có tổng hai phần góc đối bù bằng 180∘180^\circ, căn cứ vào bổ đề nhận biết tứ giác, có biểu quyết khẳng định: Tứ giác ABCDABCD thỏa mãn là tứ giác nội tiếp (có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm mốc).