Lớp 9 · Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba

Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

🚀 Khởi động

🧱 Bài toán Lát gạch

Bác thợ xây cần lát gạch cho một căn phòng hình vuông có diện tích là $36 \text{ m}^2$ . Hỏi cạnh của căn phòng dài bao nhiêu mét? Gọi $x$ (mét) là độ dài cạnh của căn phòng ( $x > 0$ ), ta có diện tích: $x^2 = 36$

Phép toán để tìm ra $x$ ngược lại với phép bình phương. Quá trình đó được gọi là tìm căn bậc hai. Cùng khám phá sâu hơn về phép toán thú vị này nhé!

🔍 Khám phá

📖 1. Căn bậc hai và Căn bậc hai số học

Căn bậc hai của một số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2 = a$ .
Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$ .
Số $0$ có đúng một căn bậc hai là chính số $0$ .
Số âm KHÔNG có căn bậc hai. (Vì bình phương của mọi số thực đều không âm).

Với số dương $a$ , số $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của $a$ .

Ví dụ:

Căn bậc hai của 25 là 5 và -5.
Căn bậc hai số học của 25 là $\sqrt{25} = 5$ .

📖 2. Căn thức bậc hai

Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của $A$ . $\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi $A$ lấy giá trị không âm, tức là $A \ge 0$ .

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

$\sqrt{2x - 4}$ . Giải: Xác định khi $2x - 4 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 4 \Rightarrow x \ge 2$ .
$\sqrt{-3x}$ . Giải: Xác định khi $-3x \ge 0 \Rightarrow x \le 0$ (chia hai vế cho -3, nhớ đổi chiều).

📖 3. Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$

Với mọi biểu thức $A$ , ta luôn có: $\sqrt{A^2} = |A| = \begin{cases} A \text{ nếu } A \ge 0 \\ -A \text{ nếu } A < 0 \end{cases}$

Ví dụ rút gọn:

$\sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$ (Vì $\sqrt{2} > 1$ ).
$\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1$ (Vì $1 < \sqrt{3}$ ).

⭐ Ghi nhớ

Nhầm lẫn cực phổ biến: Học sinh thường ghi nhanh $\sqrt{x^2} = x$ . Điều này LÀ SAI nếu bạn chưa biết gía trị $x$ âm hay dương! Bắt buộc phải có dấu giá trị tuyệt đối là $\sqrt{x^2} = |x|$ để đảm bảo kết quả an toàn trước khi phá ngoặc.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Số 9 có bao nhiêu căn bậc hai?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tính giá trị căn bậc hai số học:

a) $\sqrt{81}$

b) $\sqrt{0.04}$

c) $\sqrt{\frac{16}{25}}$

d) $\sqrt{2.25}$

Bài 2: Tìm điều kiện xác định của các căn thức:

a) $\sqrt{5x + 10}$

b) $\sqrt{7 - 2x}$

c) $\sqrt{\frac{1}{x+2}}$

d) $\sqrt{x^2 + 4}$

Bài 3: Rút gọn biểu thức chứa căn:

a) $\sqrt{(3 - \sqrt{5})^2}$

b) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$

c) $\sqrt{a^2}$ với $a \ge 0$

d) $2\sqrt{b^2}$ với $b < 0$

Bài 4: Giải các phương trình tìm $x$ :

a) $\sqrt{x} = 4$

b) $\sqrt{2x - 1} = 3$

c) $x^2 = 100$

d) $\sqrt{x} = -2$

Bài 5 (Thực tế): Quãng đường rơi và trọng lực Một vật rơi tự do, quãng đường $S$ (mét) rơi được trong t (giây) tính theo công thức $S = \frac{1}{2}gt^2$ (lấy gia tốc $g \approx 10 \text{m/s}^2$ ). Vậy $S = 5t^2$ .

a) Tính quãng đường vật rơi được sau 2 giây.

b) Chóp tòa tháp cao 45m. Tính thời gian để viên sỏi rơi từ chóp tháp xuống chạm đất. (Trình bày phương trình bậc 2).

c) Khi viết $t = \sqrt{S/5}$ , ta đang dùng khái niệm gì? Tại sao t không nhận giá trị âm?

d) Ở hành tinh khác có $g=2$ , vật rơi 10 giây được bao xa?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) 9

b) 0.2

c) $4/5$

d) 1.5

Bài 2:

a) $x \ge -2$

b) $x \le 3.5$

c) Mẫu phải dương: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$

d) $x \in \mathbb{R}$ (Vì $x^2 + 4 > 0$ với mọi $x$ ).

Bài 3:

a) $|3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5}$

b) $|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$

c) $|a| = a$ (Vì $a \ge 0$ )

d) $2|b| = -2b$ (Vì $b < 0$ )

Bài 4:

a) $x = 16$

b) Điều kiện: $x \ge 0.5$ . Bình phương: $2x - 1 = 9 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$ (TM)

c) $x = 10$ hoặc $x = -10$

d) Vô nghiệm (Căn bậc hai số học không thể âm).

Bài 5:

a) $S = 5(2^2) = 20\text{m}$ .

b) $5t^2 = 45 \Rightarrow t^2 = 9 \Rightarrow t = 3$ (Vì thời gian $t > 0$ ).

c) Khái niệm Căn bậc hai số học. Thời gian không âm.