Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\begin{cases} x - 3y = 2 \quad (1)\\ -2x + 5y = 1 \quad (2) \end{cases}$ Giải: Từ (1), ta biểu diễn $x = 3y + 2$. Thế vào (2): $-2(3y + 2) + 5y = 1 \Leftrightarrow -y - 4 = 1 \Leftrightarrow y = -5$. Thay $y = -5$ vào $x = 3y + 2$, ta được: $x = -13$. Vậy hệ có nghiệm: $(-13; -5)$.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình $\begin{cases} y - x = 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$ Giải: Từ (1), ta rút $y = x + 2$. Thế vào (2): $2x + (x + 2) = 8 \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow x = 2$. Thế $x=2$ ngược lại được $y=4$. Nghiệm là $(2; 4)$.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x + y = -1 \\ x - 2y = 7 \end{cases}$ Giải: Từ (1), rút $y = -2x - 1$. Thế vào (2): $x - 2(-2x - 1) = 7 \Leftrightarrow x + 4x + 2 = 7 \Leftrightarrow 5x = 5 \Leftrightarrow x = 1$. Thay $x=1$ vào được $y = -3$. Vậy hệ có nghiệm $(1; -3)$.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ x - y = 6 \end{cases}$ Giải: Nhận thấy hệ số của ẩn $y$ trong hai phương trình đối xứng nhau ($1$ và $-1$). Cộng vế theo vế ta được: $2x + x = 3 + 6 \Leftrightarrow 3x = 9 \Leftrightarrow x = 3$. Thay $x = 3$ vào pt (2): $3 - y = 6 \Leftrightarrow y = -3$. Nghiệm của hệ là $(3; -3)$.

Ví dụ 2: Giải hệ $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases}$ Giải: Nhân pt(1) với 2 và pt(2) với 3, có hệ số của x là $6$: $\begin{cases} 6x + 4y = 14 \\ 6x + 9y = 24 \end{cases}$ Lấy pt dưới trừ pt trên: $5y = 10 \Leftrightarrow y = 2$. Thay $y=2$ vào $3x + 2(2) = 7 \Leftrightarrow 3x = 3 \Leftrightarrow x = 1$. Nghiệm $(1; 2)$.

Ví dụ 3: Giải hệ $\begin{cases} 5x - 4y = 3 \\ 10x - 8y = 6 \end{cases}$ Giải: Nhân pt trên với 2 ta được $10x - 8y = 6$, giống hệt pt dưới. Hệ phương trình có dạng rút gọn là $0x + 0y = 0$ (luôn đúng). Vậy hệ này có vô số nghiệm. Mọi điểm thuộc đường thẳng $5x - 4y = 3$ đều là nghiệm.