Ôn tập chương 9 - Toán 9

Lời giải:

a) Ta có góc $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AB$. Suy ra $\widehat{ACB} = 90^\circ$.

b) Xét tam giác vuông $ABC$ có $\widehat{CAB} = 30^\circ \Rightarrow \widehat{CBA} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Vì dây $CD \perp$ đường kính $AB$ tại $H$, nên đường kính $AB$ đi qua trung điểm của dây $CD$ và chia đôi cung bị trương. Do đó cung $AC =$ cung $AD$. Số đo góc nội tiếp $\widehat{CBA} = 60^\circ$ chắn cung $AC$, nên sđ(cung $AC$) $= 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$. Vậy sđ(cung $AD$) = sđ(cung $AC$) $= 120^\circ$.

Lời giải:

Vì $BD \perp AC$ tại $D$ nên $\widehat{ADH} = 90^\circ$. Vì $CE \perp AB$ tại $E$ nên $\widehat{AEH} = 90^\circ$. Xét tứ giác $ADHE$, ta có $\widehat{ADH} + \widehat{AEH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Mà hai góc này là hai góc đối diện nên tứ giác $ADHE$ nội tiếp được trong một đường tròn. Đường tròn ngoại tiếp $ADHE$ nhận đoạn $AH$ làm đường kính (vì tam giác $ADH$ và $AEH$ vuông chung cạnh huyền $AH$). Tâm đường tròn là trung điểm của $AH$.

Lời giải:

Xét tứ giác $BCDE$, ta có: $\widehat{BEC} = 90^\circ$ (do $CE \perp AB$). $\widehat{BDC} = 90^\circ$ (do $BD \perp AC$). Suy ra hai đỉnh kề nhau là $E$ và $D$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc vuông ($90^\circ$). Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác $BCDE$ nội tiếp trong một đường tròn. Đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCDE$ nhận $BC$ làm đường kính. Tâm là trung điểm của $BC$.

Lời giải:

Theo định lý Pytago, cạnh huyền $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}$. a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $BC$. Bán kính $R = \frac{BC}{2} = 5\text{ cm}$.

b) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông được tính bằng công thức: $r = \frac{AB + AC - BC}{2}$. Suy ra $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{ cm}$.

Lời giải:

Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Đường cao $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm $G$. a) $R = OA = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. b) $r = OH = \frac{1}{3}AH = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. (Luôn có $R = 2r$).

Khi $a = 2\sqrt{3}\text{ cm}$, $r = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{6}{6} = 1\text{ cm}$. Diện tích hình tròn nội tiếp: $S = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ ($\text{cm}^2$).

Lời giải:

a) Góc trong của đa giác đều $n$ cạnh là: $\frac{(n-2)180^\circ}{n}$.

• Ngũ giác đều ($n=5$): $\frac{(5-2)180^\circ}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$.
• Lục giác đều ($n=6$): $\frac{(6-2)180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

b) Góc ở tâm chắn một cạnh của đa giác đều $n$ cạnh là: $\frac{360^\circ}{n}$.

• Ngũ giác đều: $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.
• Lục giác đều: $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Lời giải:

Ta có:

• $MA$ là tiếp tuyến nên $\widehat{MAO} = 90^\circ \Rightarrow A$ thuộc đường tròn đường kính $MO$.
• $MB$ là tiếp tuyến nên $\widehat{MBO} = 90^\circ \Rightarrow B$ thuộc đường tròn đường kính $MO$.
• $OH \perp CD$ tại $H$ (theo giả thiết hoặc do $H$ là trung điểm dây cung) nên $\widehat{MHO} = 90^\circ \Rightarrow H$ thuộc đường tròn đường kính $MO$. Ba điểm $A, B, H$ cùng nhìn đoạn $MO$ dưới góc $90^\circ$. Vậy 5 điểm $M, A, B, O, H$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MO$.

Lời giải:

Vì $AE \parallel BC$, tứ giác $AEBC$ là hình thang nội tiếp đường tròn $(O)$. Hình thang nội tiếp đường tròn bắt buộc phải là hình thang cân. Nên suy ra $AB = CE$ hoặc cung $AB =$ cung $CE$. Ta xét dây // cung: $AE \parallel BC \Rightarrow$ cung $AB =$ cung $EC$. Lại có cung $BE =$ cung $AC$. Từ đó, $\widehat{BAE}$ chắn cung $BE$ và $\widehat{DAC}$ chắn cung $ED$ (Tùy vị trí điểm, bạn cần chỉ rõ). Chuẩn: Cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau $\Rightarrow$ cung $AB =$ cung $EC$. Mặt khác $\widehat{BCA} = \widehat{EAC}$ (so le trong vì $AE \parallel BC$). Mà $\widehat{BCA}$ chắn cung $AB$, $\widehat{EAC}$ chắn cung $EC \Rightarrow$ cung $AB =$ cung $EC$.

Lời giải:

Xét $\triangle MAC$ và $\triangle MDA$ có:

• Góc $\widehat{M}$ chung.
• Góc $\widehat{MAC}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, chắn cung $AC$.
• Góc $\widehat{MDA}$ là góc nội tiếp, cũng chắn cung $AC$. Suy ra $\widehat{MAC} = \widehat{MDA}$. Vậy $\triangle MAC \sim \triangle MDA$ (g.g). Từ đó suy ra tỉ số: $\frac{MA}{MD} = \frac{MC}{MA} \Rightarrow MA^2 = MC \cdot MD$.

Lời giải:

Vì $\widehat{AMB} = 60^\circ$ không đổi và luôn nhìn đoạn thẳng $AB$ cố định bằng góc $60^\circ$. Theo quỹ tích cung chứa góc, điểm $M$ sẽ trượt trên hai cung chứa góc $60^\circ$ dựng trên đoạn $AB$. Bán kính đường tròn chứa cung này: Trong đường tròn $(O; R)$, góc $\widehat{AMB} = 60^\circ$ nội tiếp chắn cung $AB \Rightarrow$ cung $AB = 120^\circ$. Góc ở tâm $\widehat{AOB} = 120^\circ$. Kẻ $OH \perp AB \Rightarrow AH = 5\text{ cm}$ và $\widehat{AOH} = 60^\circ$. Trong tam giác vuông $OAH$: $\sin 60^\circ = \frac{AH}{OA} \Rightarrow R = OA = \frac{AH}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5,77\text{ cm}$. Vậy $M$ vẽ nên 2 cung tròn thuộc đường tròn bán kính $R = \frac{10\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$.