Lớp 9 · Chương II: Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

🚀 Khởi động

🧐 Phương trình phức tạp

Trong thực tế hoặc khi giải toán, chúng ta thường xuyên gặp những phương trình không phải ở dạng “bậc nhất một ẩn” chuẩn mực $ax + b = 0$ . Ví dụ như:

$(x - 2)(3x + 1) = 0$
$\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x+2} = 3$

Tuy hình dáng phức tạp hơn, nhưng chúng ta hoàn toàn có thể “biến hóa” chúng để đưa về dạng quen thuộc: Phương trình bậc nhất một ẩn để giải. Sự biến hóa đó thực hiện như thế nào? Cùng tìm hiểu trong bài học này.

🔍 Khám phá

📖 1. Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình có dạng: $A(x) \cdot B(x) = 0$ (trong đó $A(x), B(x)$ là các biểu thức của cùng một ẩn $x$ ).

Cách giải: Ta biết rằng: Một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong các nhân tử của nó bằng 0. Do đó: $A(x) \cdot B(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A(x) = 0 \\ B(x) = 0 \end{array} \right.$

Ví dụ 1: Giải phương trình $(x - 3)(2x + 4) = 0$ Giải: $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 3 = 0 \\ 2x + 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 \\ x = -2 \end{array} \right.$ Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{3; -2\}$ .

Ví dụ 2: Giải pt: $x^2 - 5x = 0$ Giải: Ta đưa về PT tích bằng cách đặt $x$ làm nhân tử chung. $x(x - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x - 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = 5 \end{array} \right.$

Ví dụ 3: Giải pt: $(2x - 1)^2 - (x + 3)^2 = 0$ Giải: Phân tích hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ : $(2x - 1 - x - 3)(2x - 1 + x + 3) = 0$ $\Leftrightarrow (x - 4)(3x + 2) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 4 = 0 \\ 3x + 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4 \\ x = -2/3 \end{array} \right.$

📖 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Khi ẩn số xuất hiện ở dưới mẫu thức, ta không thể quy đồng khử mẫu một cách vô tư, vì biểu thức ở mẫu có nguy cơ bằng 0 (làm phân thức vô nghĩa).

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. (Cho tất cả các mẫu số $\neq 0$ ).
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4 (Cực kì quan trọng): So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với ĐKXĐ. Nghiệm nào thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì phải LOẠI BỎ. Kết luận tập nghiệm.

Ví dụ 4: Giải pt $\frac{x+2}{x} = \frac{2x+3}{2x-2}$ Giải:

Bước 1 (ĐKXĐ): $x \neq 0$ và $2x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ . Vậy ĐKXĐ: $x \neq 0, x \neq 1$ . Mẫu thức chung: $x(2x-2)$ .
Bước 2 (Quy đồng & khử mẫu): $\frac{(x+2)(2x-2)}{x(2x-2)} = \frac{x(2x+3)}{x(2x-2)}$ Khử mẫu: $(x+2)(2x-2) = x(2x+3)$
Bước 3 (Giải PT): $2x^2 - 2x + 4x - 4 = 2x^2 + 3x$ $2x - 4 = 3x$ $-x = 4 \Rightarrow x = -4$ .
Bước 4 (Đối chiếu): $x = -4$ thỏa mãn ĐKXĐ ( $x \neq 0, x \neq 1$ ). $\Rightarrow$ KL: Tập nghiệm $S = \{-4\}$ .

Ví dụ 5: Giải pt $\frac{x}{x-1} = \frac{1}{x-1} + 2$ Giải:

ĐKXĐ: $x \neq 1$ . MTC: $x-1$ .
PT $\Rightarrow \frac{x}{x-1} = \frac{1 + 2(x-1)}{x-1}$
Khử mẫu: $x = 1 + 2x - 2$
$x = 2x - 1 \Rightarrow x = 1$ .
Đối chiếu: $x=1$ KHÔNG thỏa mãn ĐKXĐ ( $x \neq 1$ ). Do đó loại.
Chốt: PT vô nghiệm.

⭐ Ghi nhớ

Điểm mấu chốt khi giải phương trình:

Đối với phương trình bậc 2 hoặc bậc cao hơn, ta có thể dùng kỹ thuật nhân tử chung, hằng đẳng thức để tách biểu thức thành phương trình Tích.
Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu $\rightarrow$ Đừng bao giờ quên bước đặt ĐKXĐ và bước ĐỐI CHIẾU NGHIỆM. Nếu không vội vàng khử mẫu bạn sẽ có thể kết luận thừa nghiệm đấy nhé.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Phương trình tích có dạng nào sau đây?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Giải các phương trình tích cơ bản:

a) $(x + 5)(3x - 1) = 0$

b) $(4 - x)(2x + 6) = 0$

c) $2x(x + 7)(x - 2) = 0$

d) $(2x + 5)(3x - 1) = (2x + 5)(x + 4)$

Bài 2: Biến đổi đưa về phương trình tích:

a) $x^2 - 6x = 0$

b) $4x^2 - 9 = 0$

c) $x^2 - 5x + 6 = 0$ (Gợi ý: Tách $-5x = -2x - 3x$ )

d) $(x-2)^2 - (2x+1)^2 = 0$

Bài 3: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu cấp độ 1:

a) $\frac{2x+1}{x-2} = 3$

b) $\frac{x}{x-1} + \frac{2}{x} = \frac{x^2+1}{x(x-1)}$

c) $\frac{x+2}{x-2} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x(x-2)}$

d) $\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{3x}{x^2-1}$

Bài 4: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Nâng cao:

a) $\frac{x}{x-3} - \frac{x}{x+3} = \frac{18}{x^2-9}$

b) $\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-3}$

c) $\frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x} + \frac{x-3}{x} = 3$

d) $\frac{2x}{x-1} + \frac{x-1}{x} = 3$

Bài 5 (Ứng dụng giải toán):

a) Tổng 2 số là 15, tích hai số là 56. Lập phương trình biểu diễn mối liên hệ của số bé ( $x$ ).

b) Rút ra phương trình $x(15 - x) = 56 \Rightarrow 15x - x^2 = 56 \Rightarrow x^2 - 15x + 56 = 0$ . Hãy biến đổi nó về phương trình tích.

c) Từ PT trên, hai công nhân cùng làm 1 công việc. Công nhân A làm một mình xong nhanh hơn B là 2h. Cả 2 cùng làm thì 2h24m xong. Biết 2h24m = $12/5$ h. Gọi thời gian B là $x$ , thì pt là: $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{12}$ . Hãy giải nó.

d) Tóm lại B làm hết bao lâu và A làm hết bao lâu?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $x = -5, x = 1/3$

b) $x = 4, x = -3$

c) $x = 0, x = -7, x = 2$

d) Chuyển vế: $(2x+5)(3x-1 - x - 4) = 0 \Leftrightarrow (2x+5)(2x-5) = 0 \Rightarrow x=\pm 2.5$ .

Bài 2:

a) $x(x-6) = 0 \Rightarrow x=0; x=6$

b) $(2x-3)(2x+3) = 0 \Rightarrow x=\pm 1.5$

c) $x(x-2) - 3(x-2) = 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x=2; x=3$

d) $(x-2-2x-1)(x-2+2x+1) = 0 \Leftrightarrow (-x-3)(3x-1) = 0 \Rightarrow x=-3; x=1/3$

Bài 3:

a) ĐKXĐ: $x \neq 2$ . $2x+1 = 3(x-2) \Rightarrow 2x+1 = 3x-6 \Rightarrow x=7$ (TM).

b) ĐKXĐ: $x \neq 0, x \neq 1$ . $x^2 + 2(x-1) = x^2+1 \Rightarrow x^2+2x-2 = x^2+1 \Rightarrow 2x=3 \Rightarrow x=1.5$ (TM).

c) ĐKXĐ: $x \neq 0, x \neq 2$ . $x(x+2) - (x-2) = 2 \Rightarrow x^2+2x-x+2 = 2 \Rightarrow x^2+x=0 \Rightarrow x(x+1)=0 \Rightarrow x=0$ (Loại) hoặc $x=-1$ (TM). Mọi nghiệm chỉ là $x=-1$ .

d) ĐKXĐ: $x \neq \pm 1$ . $2(x-1) - (x+1) = 3x \Rightarrow 2x-2-x-1 = 3x \Rightarrow x-3 = 3x \Rightarrow -2x = 3 \Rightarrow x=-1.5$ (TM).

Bài 4:

a) ĐKXĐ: $x \neq \pm 3$ . $x(x+3) - x(x-3) = 18 \Rightarrow x^2+3x - x^2+3x = 18 \Rightarrow 6x = 18 \Rightarrow x=3$ . So với ĐKXĐ $\Rightarrow$ Loại. PT vô nghiệm!

b) ĐKXĐ: $x \neq 1,2,3$ . Quy đồng: $(x-2)(x-3) + 2(x-1)(x-3) = 3(x-1)(x-2) \dots \Rightarrow x^2-5x+6 + 2x^2-8x+6 = 3x^2-9x+6 \Rightarrow -13x + 12 = -9x + 6 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x=1.5$ .

c) ĐKXĐ: $x \neq 0$ . $(x-1+x-2+x-3) = 3x \Rightarrow 3x - 6 = 3x \Rightarrow -6 = 0$ (Vô lí, PT vô nghiệm).

d) ĐKXĐ: $x \neq 0, x \neq 1$ . Có dạng $2X + 1/X = 3$ . Đặt ẩn phụ hoặc nhân lên $2x^2 + (x-1)^2 = 3x(x-1) \Rightarrow 2x^2 + x^2-2x+1 = 3x^2-3x \Rightarrow x = -1$ .

Bài 5:

a) Tổng 2 số là 15, 1 số là x, số kia là 15-x. Tích $x(15-x) = 56$ .

b) $x^2 - 15x + 56 = x^2 - 7x - 8x + 56 = x(x-7) - 8(x-7) = (x-7)(x-8) = 0 \Rightarrow x=7; x=8$ .

c) ĐKXĐ: $x>2$ . $\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{12} \Rightarrow 12x + 12(x-2) = 5x(x-2) \Rightarrow 24x - 24 = 5x^2 - 10x \Rightarrow 5x^2 - 34x + 24 = 0 \Leftrightarrow (x-6)(5x-4) = 0$ . $x=6$ (thỏa mãn), $x=4/5 = 0.8 < 2$ (loại).

d) A làm hết 4h, B làm hết 6h.