Lớp 9 · Chương VI: Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 18: Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

🚀 Khởi động

Vòi rồng nước và Tháp Eiffel

Bạn có bao giờ để ý những tia nước phụt lên từ vòi phun nước tại các đài phun công viên? Bỏ qua sức cản của gió, quỹ đạo của từng giọt nước bay lên bầu trời, đạt đỉnh điểm rồi cong vút phi xuống mặt hồ không phải là một nửa đường tròn, mà nó tuân theo một dáng hình học mượt mà được gọi là Parabol.

Những kiến trúc sư tài ba của Tháp Eiffel cũng đã áp dụng vô vàn các dầm chịu lực theo các đường viền uốn lượn có phương trình định nghĩa hình dạng Hàm số bậc hai $y = ax^2$ này. Vậy Hàm số bậc hai khác gì Bậc Nhất (đường thẳng tắp) mà làm thế giới ta rung động đến thế?

🔍 I. Lý thuyết trọng tâm

📖 1. Khái niệm Hàm Số Bậc Hai

Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức đơn giản nhất là:

$y = a x^2 \quad (a \neq 0)$

Trong đó $a$ là một hằng số đã biết và $x$ là biến số nằm ở số mũ bậc 2.

Tính chất biến thiên (Đồng biến - Nghịch biến): Vì $x^2$ luôn $\ge 0$ nên dấu của giá trị hàm số chỉ phụ thuộc hoàn toàn vào hệ số thủ lĩnh $a$ :

Nếu $a > 0$ : Giá trị $y$ luôn không âm ( $y \ge 0$ ). Hàm số đi xuống (Nghịch biến) cho mảng $x < 0$ và đi lên dốc (Đồng biến) cho mảng $x > 0$ . Điểm thấp nhất là O(0,0).
Nếu $a < 0$ : Giá trị $y$ luôn không dương ( $y \le 0$ ). Hàm số bò lên (Đồng biến) từ đáy vực ở mảng $x < 0$ và lao xuống dốc (Nghịch biến) ở mảng $x > 0$ . Điểm cao nhất là Tóp mỡ O(0,0).

📖 2. Đồ thị của Parabol

Khác với đường thẳng tắp thẳng tưng của bậc 1. Đồ thị hàm số lượng bậc hai không bẻ gãy, là một đường cong trơn tru âu yếm góc tọa độ gọi là đường Parabol (với mốc O là Đỉnh Parabol).

Đặc điểm hình dáng:

Hình chóp luôn Mở Rộng như một cái tô chén bát.
Nhận Trục Tung (Oy) làm Trục đối xứng. Nó chia bát thành 2 nửa trái phải in hệt nhau qua gương.
Nếu $a > 0$ : Cái chén lật ngửa lên trời nhận lộc (nằm TRÊN trục tung ngang Ox).
Nếu $a < 0$ : Cái chén lật úp xuống che đầu (nằm DƯỚI trục ngang Ox).

🌍 II. Các dạng toán và Phương pháp giải

Dạng 1: Kiểm tra Điểm thuộc Đồ thị Hàm số Phương pháp:

Cho hàm số $y = ax^2$ và môt Điểm M( $x_0; y_0$ ).
Thay Hoành độ x ( $x_0$ ) vào phương trình xem giá trị Vế Phải tính ra có CÚP ĐÚNG BẰNG tung độ y ( $y_0$ ) kia không? Bằng thì dính vào đồ thị, không bằng thì Rụng.

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = \frac{-1}{2}x^2$ . Các điểm A(2; -2) và B(-4; 8) có thuộc đồ thị không? Hướng dẫn:

Thay điểm A: Tại $x = 2 \Rightarrow y = \frac{-1}{2} \cdot 2^2 = \frac{-4}{2} = -2$ . Khớp với tung độ của A! $\Rightarrow$ A thuộc đồ thị.
Thay điểm B: Tại $x = -4 \Rightarrow y = \frac{-1}{2} \cdot (-4)^2 = \frac{-16}{2} = -8 \neq 8$ . Không khớp tung độ của B! $\Rightarrow$ B KHÔNG thuộc đồ thị.

Dạng 2: Tìm hệ số “a” Đứng mũi chịu sào Phương pháp:

Bài toán sẽ cho biết Parabol (P) đi qua MỘT ĐIỂM neo đậu tọa độ $A(x_1; y_1)$ .
Bạn Bốc cái Tọa độ đó quăng thẳng vào $y = ax^2$ tạo thành: $y_1 = a \cdot x_1^2$ .
Rút ra tham số Giải Mã: $a = \frac{y_1}{x_1^2}$ .

Ví dụ 2: Tìm a để đồ thị Parabol $y = a x^2$ đi trúng đỉnh phễu M(-3; 18). Hướng dẫn: Vì P đi xuyên qua M(-3; 18), ta lợp số vào phương trình: $18 = a \cdot (-3)^2 \\Rightarrow 18 = a \cdot 9 \\Rightarrow a = \frac{18}{9} = 2$ . Vậy hàm số đó có mặt thật là $y = 2x^2$ .

Dạng 3: Vẽ Đồ thị Parabol Phương pháp:

Lập Bảng giá trị Lõi: Luôn lấy 5 điểm (bao gồm điểm giữa O(0;0)).
Lấy 2 số bên Cánh Trái (thường là $x = -1, x = -2$ ) và 2 số dội Cánh Phải mang dấu Dương ( $x = 1, 2$ ). Do tính ĐỐI XỨNG, bạn chỉ cần Tính 2 con số cánh Phải, cánh Trái lập tức copy y hệt kết cục $y$ đó!! Cực nhàn.

Ví dụ 3: Cùng lập Nháp để vẽ đồ thị hàm số $y = -x^2$ . Hướng dẫn: Bảng giá trị thần tốc:

$x$	-2	-1	0	1	2
$y = -x^2$	-4	-1	0	-1	-4

Hàm có $a = -1 < 0$ bề lõm hướng xuống dưới. Tất thảy 5 điểm đều chấm ngoặt dốc dần trên nháp rồi nối lượn bút chì là Xong!

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Đâu là hàm số có dạng $y = ax^2 (a \neq 0)$ ?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Củng cố tư duy Hàm số cơ bản:

a) Khảo sát tính đồng biến, nghịch biến của hàm $y = 7x^2$ .

b) Khảo sát tính biến thiên của hàm $y = -0.5x^2$ .

c) Trong hai Hàm số trên, đồ thị nào ngửa lên cao, đồ thị nào cụp xuống?

Bài 2: Cho hàm số $y = (2m - 1) x^2$ . Tìm giá trị của $m$ để:

a) Hàm số đồng biến khi $x > 0$ .

b) Hàm số là hàm số bậc hai có bề lõm bị Úp Ngược?

Bài 3: Vẽ và Đối xứng. Cho (P): $y = \frac{1}{4}x^2$ .

a) Vẽ đồ thị Hàm số Bậc Hai này qua 5 Lỗ tọa độ x ( $x = -4, -2, 0, 2, 4$ ).

b) Tìm điểm K nằm trên Parabol biết hoành độ rãnh ngang $x = 6$ .

c) Tìm tất cả những mút M nằm trên (P) có tung độ neo cao đúng bằng 9 ( $y = 9$ ).

Bài 4: Ứng dụng Quãng đường Rơi Tự do Vật Lý học: Theo phương trình Rơi tự do của Galileo, quảng đường chạm đất (m) tỉ lệ với bình phương thời gian (s) là $S = \frac{1}{2} g t^2$ . Lấy $g = 9.8\text{m/s}^2$ . Ta định dạng Hàm Mẫu $S = 4.9 t^2$ .

a) Hãy tính Quãng đường rơi của Quả táo từ đỉnh toà nhà sau $3\text{ giây}$ .

b) Nếu toà Tháp chuông cao $44.1\text{m}$ . Mất bao lâu cho Hòn ngói Rơi xuống đập đất?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $a = 7 > 0$ . Nghịch biến khi $x < 0$ và Đồng biến khi $x > 0$ . b) $a = -0.5 < 0$ . Đồng biến khi $x < 0$ và Nghịch biến kéo thả khi $x > 0$ . c) Hàm $y = 7x^2$ sẽ Ngửa mặt lên. Hàm âm $y = -0.5x^2$ sẽ cụp đầu xuống.

Bài 2: a) Đồng biến khi $x>0$ nghĩa là hàm có hệ số Hướng Lên ( $a > 0$ ). Vậy $2m - 1 > 0 \Rightarrow 2m > 1 \Rightarrow m > 0.5$ . b) Bề lõm Úp ngược là $a < 0$ . $2m - 1 < 0 \Rightarrow m < 0.5$ . (Nếu m = 0.5 nó thành hàm hằng Bậc 0).

Bài 3: a) Lập bảng x = [-4, -2, 0, 2, 4] sẽ ra y = [4, 1, 0, 1, 4]. (Tự lấy thước vẽ nhé cưng!). b) $x = 6 \Rightarrow y = \frac{1}{4} \cdot (6)^2 = 36 / 4 = 9$ . Vậy $K(6; 9)$ . c) Cho $y = 9 \Rightarrow 9 = \frac{1}{4} x^2 \Rightarrow x^2 = 36$ . Lấy Tẩy Căn Bậc 2 Nhận Kép $\Rightarrow x = 6$ HOẶC $x = -6$ . Vậy có TẬN 2 điểm cao bằng 9 đối xứng nhau là $M_1(6; 9)$ và $M_2(-6; 9)$ . Đừng bị xót nghiệm nhé!

Bài 4: a) Rơi Quãng đường dập thời gian t=3. Thay Hàm số $S = 4.9 t^2 = 4.9 \cdot 3^2 = 4.9 \cdot 9 = 44.1\text{m}$ . b) Rơi dốc dập đất có Vị trí $S = 44.1$ . Vậy $44.1 = 4.9 \cdot t^2$ . $\Rightarrow t^2 = 44.1 / 4.9 = 9$ . Do thời gian Phải Dương $\Rightarrow t = \sqrt{9} = 3\text{s}$ . Mất 3 giây rơi trúng đầu!