Lớp 9 · Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

🚀 Khởi động

🗼 Kim tự tháp và bóng râm

Người Ai Cập cổ đại đã biết dùng bóng râm mặt trời để tính chiều cao của tháp. Khi mặt trời chiếu tạt một góc $α$ so với mặt đất, bóng của cây sẽ kéo dài. Chiều dài thân cây chiếu xuống mặt đất tạo thành cạnh góc vuông, còn ánh nắng là cạnh huyền, thân cây là cạnh góc vuông còn lại.

Chìa khóa ở đây là: Chỉ cần biết góc nắng chiếu ( $α$ ) và đo độ dài chiếc bóng là đủ để tính được chiều cao gốc cây, không cần trèo lên tận ngọn. Mối liên hệ toán học kì diệu này chính là Tỉ số lượng giác.

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa tỉ số lượng giác

Cho góc nhọn $α$ , hãy dựng một tam giác vuông có một góc nhọn là $α$ . Các cạnh liên quan đến góc $α$ được gọi tên như sau:

Cạnh huyền: Cạnh đối diện góc $9 0^{\circ}$ (Dài nhất).
Cạnh đối: Cạnh đối diện trực tiếp với góc $α$ .
Cạnh kề: Cạnh gắn liền, tạo nên góc nhọn $α$ (ngoài cạnh huyền).

Các Tỉ số lượng giác của góc $α$ được định nghĩa bằng các tỉ số độ dài các cạnh:

$sin α$ = Cạnh Đối / Cạnh Huyền
$cos α$ = Cạnh Kề / Cạnh Huyền
$tan α$ = Cạnh Đối / Cạnh Kề
$cot α$ = Cạnh Kề / Cạnh Đối

Mẹo dân gian ghi nhớ: Chữ cái đầu mỗi từ.

**S**in **Đ**i **H**ọc (Sin = Đối/Huyền)
**C**ứ **K**hóc **H**oài (Cos = Kề/Huyền)
**T**hôi **Đ**ừng **K**hóc (Tan = Đối/Kề)
**C**ó **K**ẹo **Đ**ây! (Cot = Kề/Đối)

(Chú ý: $cot α$ là phép lộn ngược Nghịch đảo của $tan α$ ).

📖 2. Tính chất của tỉ số lượng giác

Định lý Py-ta-go giúp gắn kết các Tỉ số lượng giác bằng các hệ thức đẹp như tranh vẽ sau:

Với góc nhọn $α$ , luôn có các bản sắc sau:

$s i n^{2} α + c o s^{2} α = 1$ (Cực kì quan trọng)
$tan α = \frac{s i n α}{c o s α}$
$cot α = \frac{c o s α}{s i n α}$
$tan α \cdot cot α = 1$

📖 3. Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau

Hai góc nhọn trong một tam giác vuông cộng lại đúng bằng $9 0^{\circ}$ (Hai góc này gọi là 2 góc phụ nhau). Khi đó cạnh đối của góc bên này lại vô tình là cạnh kề của góc bên kia!

Nếu $α + β = 9 0^{\circ}$ (phụ nhau), thì:

$sin α = cos β$
$cos α = sin β$
$tan α = cot β$
$cot α = tan β$

Ví dụ Áp dụng: Ta thấy $3 0^{\circ}$ và $6 0^{\circ}$ cộng lại bằng $9 0^{\circ}$ . Do đó: $sin 3 0^{\circ}$ sẽ bằng đúng $cos 6 0^{\circ}$ . (Đều bằng 0.5) $tan 4 0^{\circ}$ sẽ bằng $cot 5 0^{\circ}$ .

Nếu bắt gặp bài toán: Tính $sin^{2} 2 5^{\circ} + sin^{2} 6 5^{\circ}$ . Vì $25 + 65 = 90$ $\Rightarrow$ $sin 6 5^{\circ} = cos 2 5^{\circ}$ . Nên Biểu thức = $sin^{2} 2 5^{\circ} + cos^{2} 2 5^{\circ} = 1$ . Lời giải chỉ mất 5 giây!

⭐ Ghi nhớ

Ghi chú khi bấm máy tính (Casio/Vinacal):

Đảm bảo máy tính của bạn đang để chế độ độ (D - Degree), không phải Radian (R).
Các góc thường gặp như $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}$ cho giá trị đặc biệt đẹp rất nên nhớ lòng để tiện giải toán:
- $sin 3 0^{\circ} = 1/2$ ; $cos 3 0^{\circ} = 3 /2$
- $sin 4 5^{\circ} = 2 /2$ ; $cos 4 5^{\circ} = 2 /2$
- $tan 4 5^{\circ} = 1$

🌍 Phân dạng & Thực hành

🔎 Phân dạng toán

Phổ biến: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A. Biết hai cạnh là số hoặc biết một cạnh và một góc nhọn (ví dụ góc B = α), yêu cầu tính các tỉ số lượng giác của góc B: sin B, cos B, tan B, cot B.

🧮 Thực hành tính toán

Nhập dữ liệu số vào máy tính bên dưới (ít nhất 2 thông số, trong đó phải có ít nhất 1 cạnh). Máy sẽ tính các cạnh còn lại, các góc và đưa ra các tỉ số lượng giác chính xác.

📐 Máy Tính Giải Tam Giác Vuông (Tại A)

Nhập ít nhất 2 kích thước (trong đó phải có 1 cạnh). Để trống các ô còn lại để máy tự tính.

Cạnh góc vuông b

Cạnh góc vuông c

Cạnh huyền a

Góc B (độ °)

Góc C (độ °)

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Tỉ số giữa 'cạnh đối' và 'cạnh huyền' của một góc nhọn được gọi là gì?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có cạnh $A B = 3 cm$ , $A C = 4 cm$ .

a) Tính độ dài cạnh huyền $B C$ .

b) Tính các tỉ số lượng giác $sin B$ , $cos B$ , $tan B$ .

c) Tính các tỉ số lượng giác của góc $C$ .

Bài 2: (Thực hành với hệ thức cơ bản) Cho một góc nhọn $α$ , biết $sin α = 0.8$ . Không tính góc $α$ , hãy dùng hệ thức $sin^{2} + cos^{2} = 1$ để tính:

a) $cos α$

b) $tan α$

c) $cot α$

Bài 3: Không dùng bảng lượng giác hay máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số sau từ nhỏ đến lớn: $sin 2 0^{\circ}, cos 2 0^{\circ}, sin 4 0^{\circ}, sin 8 0^{\circ}$ (Gợi ý: Cố gắng chuyển tất cả về hàm SIN, và nhớ rằng góc tăng thì Sin tăng).

Bài 4: Rút gọn các biểu thức chứa tỉ số lượng giác:

a) $1 - sin^{2} α$

b) $(1 - cos α) (1 + cos α)$

c) $tan α \cdot cos α$

d) $cos^{2} α + tan^{2} α \cdot cos^{2} α$

Bài 5 (Thực tế): Cầu tuột cho trẻ. Một tiêu chuẩn làm cầu tuột cho mầm non là góc mốc nối từ đỉnh ván trượt xuống mặt đất (góc $α$ ) không được vượt quá $3 5^{\circ}$ để an toàn. Một kĩ sư thiết kế chiếc ván trượt dài 3.2m (cạnh huyền của ván). Chiều cao từ đỉnh ván thẳng xuống mặt đất là 2m.

a) Tính $sin α$ của góc trượt.

b) Dùng nút Shift-Sin (Kí hiệu $arcsin$ hoặc $sin^{- 1}$ ) trên tivi máy tính thủ công bấm góc trượt.

c) Thiết kế này có an toàn theo tiêu chuẩn không? Tại sao?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $B C = 3^{2} + 4^{2} = 5 cm$ .

b) $sin B = A C / B C = 4/5 = 0.8$ ; $cos B = A B / B C = 3/5 = 0.6$ ; $tan B = 4/3$ .

c) $sin C = cos B = 0.6$ ; $cos C = sin B = 0.8$ ; $tan C = 3/4$ .

Bài 2:

a) $cos^{2} α = 1 - 0. 8^{2} = 1 - 0.64 = 0.36 \Rightarrow cos α = 0.6$ .

b) $tan α = sin α / cos α = 0.8/0.6 = 4/3$ .

c) $cot α = 1/ tan α = 3/4 = 0.75$ .

Bài 3: Đổi $cos 2 0^{\circ} = sin 7 0^{\circ}$ . Dãy số sẽ là: $sin 2 0^{\circ}, sin 4 0^{\circ}, sin 7 0^{\circ}, sin 8 0^{\circ}$ . Trong góc nhọn, hàm Sin là hàm đồng biến (góc càng lớn, Sin càng lớn). Nên kết quả sếp từ nhỏ đến lớn: $sin 2 0^{\circ} < sin 4 0^{\circ} < cos 2 0^{\circ} < sin 8 0^{\circ}$ .

Bài 4:

a) $1 - sin^{2} α = cos^{2} α$ .

b) $(1 - cos α) (1 + cos α) = 1 - cos^{2} α = sin^{2} α$ .

c) $tan α \cdot cos α = (sin α / cos α) \cdot cos α = sin α$ .

d) Lấy $cos^{2} α$ nhân tử chung: $cos^{2} α (1 + tan^{2} α)$ . Lại có $tan = sin / cos \Rightarrow 1 + tan^{2} α = 1/ cos^{2} α$ . Vậy: $cos^{2} α \cdot (1/ cos^{2} α) = 1$ . Hoặc có thể nhân tung vào: $cos^{2} + sin^{2} = 1$ .

Bài 5:

a) $sin α = Đ \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} i / Huy \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}} n = Cao / V \overset{a}{ˊ} n = 2/3.2 = 0.625$ .

b) Shift Sin (0.625) $\Rightarrow α \approx 38.6 8^{\circ}$ .

c) Góc trượt $38.6 8^{\circ}$ lớn hơn mức tối đa an toàn $3 5^{\circ}$ nên dốc hơn mức bình thường. Kĩ sư cần giảm độ cao hoặc kéo dài ván trượt hơn nữa để nó an toàn cho bé mầm non.