Lớp 9 · Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông

🚀 Khởi động

🗼 Khoảng cách qua khúc sông

Có một con sông rộng, người ta muốn thiết kế một cây cầu thẳng qua sông nhưng không thể trực tiếp băng qua dòng nước xiết để đo khoảng cách vuông góc. Người thợ trắc địa chỉ cần đứng trên 1 bờ, đi bộ vuông góc một đoạn $50 m$ ( $A C$ ), sau đó dùng máy ngắm (Theodolite) để đo góc nhìn sang điểm mốc phía bên kia bờ ( $A B$ ). Giả sử góc ngắm được tính là $4 0^{\circ}$ . Bằng cách nào chỉ với $50 m$ và $4 0^{\circ}$ mà người ta tính được chính xác chiều rộng của khúc sông, vốn là cạnh góc vuông $A B$ ? Cùng giải mã ở bài học này nhé.

🔍 Khám phá

📖 1. Định lý về cạnh và góc trong tam giác vuông

Ở bài trước, ta đã biết $sin = Đ \overset{ˊ}{\overset{o}{ˆ}} i/Huy \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}} n$ , $cos = K \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}} /Huy \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}} n$ , v.v. Bằng cách nhân chéo mẫu số lên, chúng ta sẽ có ngay công cụ tính toán tiện lợi gọi là Hệ thức giữa cạnh và góc.

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

Cạnh huyền nhân với $s i n$ góc đối hoặc nhân với $c o s$ góc kề.
Cạnh góc vuông kia nhân với $t a n$ góc đối hoặc nhân với $c o t$ góc kề.

Nếu viết dưới dạng công thức cho tam giác vuông tại $A$ (có cạnh huyền $a$ , cạnh góc vuông $b, c$ đối diện với góc $B, C$ ): $b = a \cdot sin B = a \cdot cos C$ $c = a \cdot sin C = a \cdot cos B$ $b = c \cdot tan B = c \cdot cot C$ $c = b \cdot tan C = b \cdot cot B$

Nhờ định lý này, tam giác vuông giờ đây được kết nối một cách hoàn hảo: Chỉ cần biết độ dài một cạnh (bất kì) và số đo một góc (bất kì), bạn có thể suy ra tất cả những phần còn lại.

Ví dụ: Trở lại bài cầu sông lúc nãy. Tam giác vuông tại $A$ . $A C$ (Kề góc ngắm) $= 50 m$ . Góc $C$ (Góc ngắm) $= 4 0^{\circ}$ . Cần tính chiều rộng sông $A B$ (Cạnh Đối góc ngắm). Sử dụng liên hệ Giữa 2 Cạnh góc vuông $\to$ Dùng Tan (Thôi Đừng Khóc - Tan=Đối/Kề). $\Rightarrow A B = A C \cdot tan C = 50 \cdot tan 4 0^{\circ} \approx 50 \cdot 0.839 = 41.95 m$ . Thật dễ dàng! Ngồi bên này bờ mà đo được con sông rộng $42 m$ mà không cần bơi qua thử!

📖 2. Giải tam giác vuông

Thế nào là “Giải tam giác vuông”? Giải tam giác vuông là bài toán tìm tất cả các số đo của các cạnh và các góc nhọn của một tam giác vuông, khi biết trước 2 thông số trong đó phải có ít nhất môt độ dài cạnh.

Có hai trường hợp cốt lõi:

Biết 2 cạnh (có thể 2 góc vuông, hoặc 1 huyền 1 vuông).
Biết 1 cạnh và 1 góc nhọn.

📐 3. Máy Tính Giải Tam Giác Vuông

Để thành thục kĩ năng này, mời bạn thử tương tác với công cụ giải tam giác dưới đây. Dùng máy tính nhập giả định bất kỳ 2 thông số (ví dụ: b=3, c=4 hoặc b=5, góc B=30) để xem thuật toán giải ra các cạnh còn lại và góc ra sao nhé!

📐 Máy Tính Giải Tam Giác Vuông (Tại A)

Nhập ít nhất 2 kích thước (trong đó phải có 1 cạnh). Để trống các ô còn lại để máy tự tính.

Cạnh góc vuông b

Cạnh góc vuông c

Cạnh huyền a

Góc B (độ °)

Góc C (độ °)

⭐ Ghi nhớ

Quy tắc vàng:

Muốn tính Cạnh Huyền thì dùng Sin, Cos của các cạnh góc vuông.
Liên quan Giữa 2 Cạnh Góc Vuông thì luôn luôn nghĩ tới Tan và Cot.
Nếu máy tính góc ra số thập phân nhiều vô tận (VD $36.8698 7^{\circ}$ ), bạn có thể ấn phím nút Độ/Phút/Giây (đổi $^{\circ}^{'}^{''}$ ) trên Casio để biểu diễn Toán học đẹp hơn (như $3 6^{\circ} 5 2^{'}$ ).

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với:

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Giải tam giác vuông $A B C$ vuông tại $A$ , biết các trường hợp sau (Góc làm tròn đến $1^{'}$ , Cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2):

a) $b = 10 cm, ∠ C = 3 0^{\circ}$

b) $c = 10 cm, ∠ C = 4 5^{\circ}$

c) $a = 20 cm, ∠ B = 3 5^{\circ}$

d) $c = 21 cm, b = 18 cm$

Bài 2: Bóng của một tháp hải đăng trên mặt biển nằm ngang dài $40 m$ . Tia sáng mặt trời lúc đó chiếu tạo với mặt phẳng nằm ngang một góc $4 2^{\circ}$ . Tính chiều cao của tháp.

Bài 3: Một máy bay cất cánh bay lên theo một đường thẳng tạo với mặt đất một góc nghiêng $2 8^{\circ}$ . Sau 2 phút ở vận tốc $250 km/h$ , máy bay đạt được độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Bài 4: Khúc côn cầu trên băng. Cầu thủ A đứng xa gôn một đoạn $15 m$ (đường vuông góc lên đường ngang mép gôn). Từ vị trí điểm ngắm đó đến lưới phải cách $5 m$ . Hỏi góc sút (từ quả bóng nhắm vào lưới, tạo với đường biên) tạo ra độ mở góc bao nhiêu độ?

Bài 5 (Nâng cao): Tính tỉ số lượng giác không dùng thiết bị qua tam giác kép. Cho tam giác $A B C$ có cạnh $B C = 14, A B = 13$ và đường cao $A H = 12$ (kẻ xuống $B C$ , $H$ nằm trong đoạn $B C$ ).

a) Xét tam giác $A B H$ vuông tại $H$ , tính $sin B, cos B$ và cạnh $B H$ .

b) Tính cạnh $H C$ của tam giác $A C H$ .

c) Tính cạnh $A C$ và các góc $C, A$ .

d) Không phải tam giác vuông thì cạnh huyền nhân có được không? Trong Tam giác thường có một định lý được mở rộng từ đây là Định lý Sin: $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ . Thử đối chiếu hệ số $13/ sin C$ xem có bằng $A C / sin B$ hay không?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) Góc $B = 6 0^{\circ}$ . $c = b \cdot tan C = 10 \cdot tan 3 0^{\circ} = \frac{10 3}{3} \approx 5.77 cm$ . $a = b / cos C = 10/ (3 /2) = \frac{20 3}{3} \approx 11.55 cm$ .

b) Tam giác vuông cân. $b = c = 10 cm$ . Góc $B = 4 5^{\circ}$ . $a = 102 \approx 14.14 cm$ .

c) Góc $C = 5 5^{\circ}$ . $b = a \cdot sin B = 20 \cdot sin 3 5^{\circ} \approx 11.47 cm$ . $c = a \cdot cos B \approx 16.38 cm$ .

d) Huyền $a = 2 1^{2} + 1 8^{2} = 765 \approx 27.66 cm$ . $tan B = b / c = 18/21 \approx 0.857 \Rightarrow B \approx 4 0^{\circ} 3 6^{'}$ . $C \approx 4 9^{\circ} 2 4^{'}$ .

Bài 2: Chiều cao $h$ là cạnh đối của khúc bóng. Kề = $40 m$ . Tính kề cho đối $\Rightarrow$ Dùng Tan. $h = 40 \cdot tan 4 2^{\circ} \approx 40 \cdot 0.9 = 36.02 m$ .

Bài 3: Quãng đường bay chéo (Cạnh huyền): $s = v \cdot t = 250 km/h \cdot (2/60) h = 250/30 = 25/3 km \approx 8.33 km = 8333 m$ . Độ cao $h$ là góc đối $2 8^{\circ}$ . $h = Huy \overset{ˋ}{\overset{e}{ˆ}} n \cdot sin 2 8^{\circ} = 8333 \cdot sin 2 8^{\circ} \approx 8333 \cdot 0.4695 \approx 3912 m$ .

Bài 4: Kề = $15$ . Đối = $5$ . $tan α = 5/15 = 1/3 \approx 0.333$ . Góc mở sút là $arcsin$ (Shift Tan) $(1/3) \approx 1 8^{\circ} 2 6^{'}$ .

Bài 5:

a) $A B H$ vuông tại $H$ : Dùng Pytago $B H = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 25 = 5$ . $sin B = A H / A B = 12/13$ ; $cos B = 5/13$ .

b) $H$ nằm trong đoạn $B C \Rightarrow H C = B C - B H = 14 - 5 = 9$ .

c) $A C = A H^{2} + H C^{2} = 1 2^{2} + 9^{2} = 225 = 15$ . $sin C = A H / A C = 12/15 = 0.8 \Rightarrow C \approx 5 3^{\circ} 8^{'}$ . Do $B \approx 6 7^{\circ} 2 3^{'}$ . Góc $A = 18 0^{\circ} - (B + C)$ hoặc tách ra làm 2 góc nhỏ.

d) $A B / sin C = 13/0.8 = 16.25$ .
$A C / sin B = 15/ (12/13) = 15 \cdot 13/12 = 5 \cdot 13/4 = 65/4 = 16.25$ . Hai vế bằng nhau chính xác tuyệt đối!