Lớp 9 · Chương II: Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

🚀 Khởi động

🧐 Phương trình phức tạp

Trong thực tế hoặc khi giải toán, chúng ta thường xuyên gặp những phương trình không phải ở dạng “bậc nhất một ẩn” chuẩn mực $a x + b = 0$ . Ví dụ như:

$(x - 2) (3 x + 1) = 0$
$\frac{x}{x - 1} + \frac{2}{x + 2} = 3$

Tuy hình dáng phức tạp hơn, nhưng chúng ta hoàn toàn có thể “biến hóa” chúng để đưa về dạng quen thuộc: Phương trình bậc nhất một ẩn để giải. Sự biến hóa đó thực hiện như thế nào? Cùng tìm hiểu trong bài học này.

🔍 Khám phá

📖 1. Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình có dạng: $A (x) \cdot B (x) = 0$ (trong đó $A (x), B (x)$ là các biểu thức của cùng một ẩn $x$ ).

Cách giải: Ta biết rằng: Một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong các nhân tử của nó bằng 0. Do đó: $A (x) \cdot B (x) = 0 \Leftrightarrow [A (x) = 0 B (x) = 0$

Ví dụ 1: Giải phương trình $(x - 3) (2 x + 4) = 0$ Giải: $\Leftrightarrow [x - 3 = 0 2 x + 4 = 0 \Leftrightarrow [x = 3 x = - 2$ Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = {3; - 2}$ .

Ví dụ 2: Giải pt: $x^{2} - 5 x = 0$ Giải: Ta đưa về PT tích bằng cách đặt $x$ làm nhân tử chung. $x (x - 5) = 0 \Leftrightarrow [x = 0 x - 5 = 0 \Leftrightarrow [x = 0 x = 5$

Ví dụ 3: Giải pt: $(2 x - 1)^{2} - (x + 3)^{2} = 0$ Giải: Phân tích hằng đẳng thức $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ : $(2 x - 1 - x - 3) (2 x - 1 + x + 3) = 0$ $\Leftrightarrow (x - 4) (3 x + 2) = 0$ $\Leftrightarrow [x - 4 = 0 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [x = 4 x = - 2/3$

📖 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Khi ẩn số xuất hiện ở dưới mẫu thức, ta không thể quy đồng khử mẫu một cách vô tư, vì biểu thức ở mẫu có nguy cơ bằng 0 (làm phân thức vô nghĩa).

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. (Cho tất cả các mẫu số $\neq = 0$ ).
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4 (Cực kì quan trọng): So sánh các nghiệm tìm được ở Bước 3 với ĐKXĐ. Nghiệm nào thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì phải LOẠI BỎ. Kết luận tập nghiệm.

Ví dụ 4: Giải pt $\frac{x + 2}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 2}$ Giải:

Bước 1 (ĐKXĐ): $x \neq = 0$ và $2 x - 2 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 1$ . Vậy ĐKXĐ: $x \neq = 0, x \neq = 1$ . Mẫu thức chung: $x (2 x - 2)$ .
Bước 2 (Quy đồng & khử mẫu): $\frac{( x + 2 ) ( 2 x - 2 )}{x ( 2 x - 2 )} = \frac{x ( 2 x + 3 )}{x ( 2 x - 2 )}$ Khử mẫu: $(x + 2) (2 x - 2) = x (2 x + 3)$
Bước 3 (Giải PT): $2 x^{2} - 2 x + 4 x - 4 = 2 x^{2} + 3 x$ $2 x - 4 = 3 x$ $- x = 4 \Rightarrow x = - 4$ .
Bước 4 (Đối chiếu): $x = - 4$ thỏa mãn ĐKXĐ ( $x \neq = 0, x \neq = 1$ ). $\Rightarrow$ KL: Tập nghiệm $S = {- 4}$ .

Ví dụ 5: Giải pt $\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + 2$ Giải:

ĐKXĐ: $x \neq = 1$ . MTC: $x - 1$ .
PT $\Rightarrow \frac{x}{x - 1} = \frac{1 + 2 ( x - 1 )}{x - 1}$
Khử mẫu: $x = 1 + 2 x - 2$
$x = 2 x - 1 \Rightarrow x = 1$ .
Đối chiếu: $x = 1$ KHÔNG thỏa mãn ĐKXĐ ( $x \neq = 1$ ). Do đó loại.
Chốt: PT vô nghiệm.

⭐ Ghi nhớ

Điểm mấu chốt khi giải phương trình:

Đối với phương trình bậc 2 hoặc bậc cao hơn, ta có thể dùng kỹ thuật nhân tử chung, hằng đẳng thức để tách biểu thức thành phương trình Tích.
Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu $\to$ Đừng bao giờ quên bước đặt ĐKXĐ và bước ĐỐI CHIẾU NGHIỆM. Nếu không vội vàng khử mẫu bạn sẽ có thể kết luận thừa nghiệm đấy nhé.

✏️ Luyện tập trắc nghiệm

Câu 1 / 10

Dễ0 đã trả lời

Phương trình tích có dạng nào sau đây?

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Giải các phương trình tích cơ bản:

a) $(x + 5) (3 x - 1) = 0$

b) $(4 - x) (2 x + 6) = 0$

c) $2 x (x + 7) (x - 2) = 0$

d) $(2 x + 5) (3 x - 1) = (2 x + 5) (x + 4)$

Bài 2: Biến đổi đưa về phương trình tích:

a) $x^{2} - 6 x = 0$

b) $4 x^{2} - 9 = 0$

c) $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ (Gợi ý: Tách $- 5 x = - 2 x - 3 x$ )

d) $(x - 2)^{2} - (2 x + 1)^{2} = 0$

Bài 3: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu cấp độ 1:

a) $\frac{2 x + 1}{x - 2} = 3$

b) $\frac{x}{x - 1} + \frac{2}{x} = \frac{x ^{2} + 1}{x ( x - 1 )}$

c) $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x ( x - 2 )}$

d) $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{3 x}{x ^{2} - 1}$

Bài 4: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Nâng cao:

a) $\frac{x}{x - 3} - \frac{x}{x + 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$

b) $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x - 3}$

c) $\frac{x - 1}{x} + \frac{x - 2}{x} + \frac{x - 3}{x} = 3$

d) $\frac{2 x}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} = 3$

Bài 5 (Ứng dụng giải toán):

a) Tổng 2 số là 15, tích hai số là 56. Lập phương trình biểu diễn mối liên hệ của số bé ( $x$ ).

b) Rút ra phương trình $x (15 - x) = 56 \Rightarrow 15 x - x^{2} = 56 \Rightarrow x^{2} - 15 x + 56 = 0$ . Hãy biến đổi nó về phương trình tích.

c) Từ PT trên, hai công nhân cùng làm 1 công việc. Công nhân A làm một mình xong nhanh hơn B là 2h. Cả 2 cùng làm thì 2h24m xong. Biết 2h24m = $12/5$ h. Gọi thời gian B là $x$ , thì pt là: $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{12}$ . Hãy giải nó.

d) Tóm lại B làm hết bao lâu và A làm hết bao lâu?

📊 Đáp số

Bài 1:

a) $x = - 5, x = 1/3$

b) $x = 4, x = - 3$

c) $x = 0, x = - 7, x = 2$

d) Chuyển vế: $(2 x + 5) (3 x - 1 - x - 4) = 0 \Leftrightarrow (2 x + 5) (2 x - 5) = 0 \Rightarrow x = \pm 2.5$ .

Bài 2:

a) $x (x - 6) = 0 \Rightarrow x = 0; x = 6$

b) $(2 x - 3) (2 x + 3) = 0 \Rightarrow x = \pm 1.5$

c) $x (x - 2) - 3 (x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2; x = 3$

d) $(x - 2 - 2 x - 1) (x - 2 + 2 x + 1) = 0 \Leftrightarrow (- x - 3) (3 x - 1) = 0 \Rightarrow x = - 3; x = 1/3$

Bài 3:

a) ĐKXĐ: $x \neq = 2$ . $2 x + 1 = 3 (x - 2) \Rightarrow 2 x + 1 = 3 x - 6 \Rightarrow x = 7$ (TM).

b) ĐKXĐ: $x \neq = 0, x \neq = 1$ . $x^{2} + 2 (x - 1) = x^{2} + 1 \Rightarrow x^{2} + 2 x - 2 = x^{2} + 1 \Rightarrow 2 x = 3 \Rightarrow x = 1.5$ (TM).

c) ĐKXĐ: $x \neq = 0, x \neq = 2$ . $x (x + 2) - (x - 2) = 2 \Rightarrow x^{2} + 2 x - x + 2 = 2 \Rightarrow x^{2} + x = 0 \Rightarrow x (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ (Loại) hoặc $x = - 1$ (TM). Mọi nghiệm chỉ là $x = - 1$ .

d) ĐKXĐ: $x \neq = \pm 1$ . $2 (x - 1) - (x + 1) = 3 x \Rightarrow 2 x - 2 - x - 1 = 3 x \Rightarrow x - 3 = 3 x \Rightarrow - 2 x = 3 \Rightarrow x = - 1.5$ (TM).

Bài 4:

a) ĐKXĐ: $x \neq = \pm 3$ . $x (x + 3) - x (x - 3) = 18 \Rightarrow x^{2} + 3 x - x^{2} + 3 x = 18 \Rightarrow 6 x = 18 \Rightarrow x = 3$ . So với ĐKXĐ $\Rightarrow$ Loại. PT vô nghiệm!

b) ĐKXĐ: $x \neq = 1, 2, 3$ . Quy đồng: $(x - 2) (x - 3) + 2 (x - 1) (x - 3) = 3 (x - 1) (x - 2) \dots \Rightarrow x^{2} - 5 x + 6 + 2 x^{2} - 8 x + 6 = 3 x^{2} - 9 x + 6 \Rightarrow - 13 x + 12 = - 9 x + 6 \Rightarrow 4 x = 6 \Rightarrow x = 1.5$ .

c) ĐKXĐ: $x \neq = 0$ . $(x - 1 + x - 2 + x - 3) = 3 x \Rightarrow 3 x - 6 = 3 x \Rightarrow - 6 = 0$ (Vô lí, PT vô nghiệm).

d) ĐKXĐ: $x \neq = 0, x \neq = 1$ . Có dạng $2 X + 1/ X = 3$ . Đặt ẩn phụ hoặc nhân lên $2 x^{2} + (x - 1)^{2} = 3 x (x - 1) \Rightarrow 2 x^{2} + x^{2} - 2 x + 1 = 3 x^{2} - 3 x \Rightarrow x = - 1$ .

Bài 5:

a) Tổng 2 số là 15, 1 số là x, số kia là 15-x. Tích $x (15 - x) = 56$ .

b) $x^{2} - 15 x + 56 = x^{2} - 7 x - 8 x + 56 = x (x - 7) - 8 (x - 7) = (x - 7) (x - 8) = 0 \Rightarrow x = 7; x = 8$ .

c) ĐKXĐ: $x > 2$ . $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{12} \Rightarrow 12 x + 12 (x - 2) = 5 x (x - 2) \Rightarrow 24 x - 24 = 5 x^{2} - 10 x \Rightarrow 5 x^{2} - 34 x + 24 = 0 \Leftrightarrow (x - 6) (5 x - 4) = 0$ . $x = 6$ (thỏa mãn), $x = 4/5 = 0.8 < 2$ (loại).

d) A làm hết 4h, B làm hết 6h.