Lớp 9 · Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ôn tập chương 4 - Toán 9

🚀 Khởi động

🎯 Ôn tập chương 4 — Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tam giác vuông là một trong những hình cơ bản và quan trọng nhất hình học. Trong chương này, chúng ta đã nắm bắt được sức mạnh của Tỉ số lượng giác và các Hệ thức lượng, giúp tính toán nhanh chóng mọi cạnh và góc khi biết một số dữ kiện cơ bản!

📐

Tỉ số lượng giác

Sin, Cos, Tan, Cot - chìa khóa liên kết cạnh và góc

📏

Hệ thức lượng

Công thức đường cao, cạnh góc vuông và hình chiếu

🔍 Khám phá

📖 I. LÝ THUYẾT

1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho góc nhọn $α$ nằm trong một tam giác vuông. Ta định nghĩa các tỉ số:

$sin α = \frac{Cạnh đ o ˆ ˊ i}{Cạnh huy e ˆ ˋ n}$
$cos α = \frac{Cạnh k e ˆ ˋ}{Cạnh huy e ˆ ˋ n}$
$tan α = \frac{Cạnh đ o ˆ ˊ i}{Cạnh k e ˆ ˋ}$
$cot α = \frac{Cạnh k e ˆ ˋ}{Cạnh đ o ˆ ˊ i}$

Mẹo nhớ: “Sin Đi Học, Cos Cứ Khóc, Tan Kẹo Ngọt, Cot Kẹo Chua” (Đ/H, K/H, Đ/K, K/Đ).

Nhận xét:

$0 < sin α < 1$ ; $0 < cos α < 1$ .
$tan α = \frac{s i n α}{c o s α}$ ; $cot α = \frac{c o s α}{s i n α}$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .

2. Tính chất của hai góc phụ nhau

Nếu hai góc nhọn phụ nhau (có tổng số đo bằng $9 0^{\circ}$ ): $α + β = 9 0^{\circ}$ , thì:

$sin α = cos β$
$cos α = sin β$
$tan α = cot β$
$cot α = tan β$

3. Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

Cạnh huyền nhân với $sin$ góc đối hoặc nhân với $cos$ góc kề: $b = a \cdot sin B = a \cdot cos C$ $c = a \cdot sin C = a \cdot cos B$
Cạnh góc vuông kia nhân với $tan$ góc đối hoặc nhân với $cot$ góc kề: $b = c \cdot tan B = c \cdot cot C$ $c = b \cdot tan C = b \cdot cot B$

4. Nhắc lại: Các hệ thức lượng cơ bản (Từ lớp 8/9 tập 1 - Tuỳ sách)

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường cao $A H$ . $B C = a, A C = b, A B = c, A H = h, B H = c^{'}, C H = b^{'}$ .

$b^{2} + c^{2} = a^{2}$ (Định lí Pytago)
$b^{2} = a \cdot b^{'}$ và $c^{2} = a \cdot c^{'}$
$h^{2} = b^{'} \cdot c^{'}$
$a \cdot h = b \cdot c$
$\frac{1}{h ^{2}} = \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}}$

✏️ Luyện tập

📝 II. LUYỆN TẬP - TRẮC NGHIỆM

Câu 1 / 12

Dễ0 đã trả lời

Tỉ số $\sin$ của một góc nhọn $\alpha$ trong tam giác vuông được định nghĩa là:

🌍 Vận dụng

🌍 III. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Tính tỉ số lượng giác cơ bản

Cho tam giác MNP vuông tại M, có $M N = 9$ cm, $M P = 12$ cm. a) Tính độ dài cạnh huyền $N P$ . b) Tính các tỉ số lượng giác của góc $N$ . Suy ra các tỉ số lượng giác của góc $P$ .

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Theo định lí Pytago trong tam giác vuông MNP: $N P^{2} = M N^{2} + M P^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$ . Suy ra $N P = 15$ cm.

b) Tỉ số lượng giác góc $N$ : $sin N = \frac{M P}{N P} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ . $cos N = \frac{M N}{N P} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ . $tan N = \frac{M P}{M N} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ . $cot N = \frac{M N}{M P} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ . Góc $P$ phụ $N$ nên: $sin P = \frac{3}{5}$ , $cos P = \frac{4}{5}$ , $tan P = \frac{3}{4}$ , $cot P = \frac{4}{3}$ .

Bài 2: Tính biểu thức lượng giác (Góc phụ nhau)

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị các biểu thức: a) $A = sin^{2} 2 0^{\circ} + sin^{2} 7 0^{\circ} - cos 6 0^{\circ}$ b) $B = tan 3 5^{\circ} \cdot tan 5 5^{\circ} - \frac{s i n 4 0 ^{\circ}}{c o s 5 0 ^{\circ}}$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Vì $2 0^{\circ} + 7 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ nên $sin 7 0^{\circ} = cos 2 0^{\circ}$ . Vậy $A = sin^{2} 2 0^{\circ} + cos^{2} 2 0^{\circ} - \frac{1}{2} = 1 - 0, 5 = 0, 5$ .

b) Vì $3 5^{\circ} + 5 5^{\circ} = 9 0^{\circ}$ nên $tan 5 5^{\circ} = cot 3 5^{\circ} \Rightarrow tan 3 5^{\circ} \cdot tan 5 5^{\circ} = tan 3 5^{\circ} \cdot cot 3 5^{\circ} = 1$ . Vì $4 0^{\circ} + 5 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ nên $cos 5 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ} \Rightarrow \frac{s i n 4 0 ^{\circ}}{c o s 5 0 ^{\circ}} = 1$ . Vậy $B = 1 - 1 = 0$ .

Bài 3: Giải tam giác vuông

Giải tam giác $A B C$ vuông tại $A$ trong mỗi trường hợp sau (làm tròn số đo góc đến phút, độ dài đến chữ số thập phân thứ hai): a) $A C = 10 cm, C = 3 0^{\circ}$ b) $A B = 15 cm, A C = 20 cm$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) $B = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ . $A B = A C \cdot tan C = 10 \cdot tan 3 0^{\circ} = \frac{10 3}{3} \approx 5, 77$ cm. $B C = \frac{A C}{c o s C} = \frac{10}{c o s 3 0 ^{\circ}} = \frac{20 3}{3} \approx 11, 55$ cm.

b) $B C = A B^{2} + A C^{2} = 1 5^{2} + 2 0^{2} = 225 + 400 = 625 = 25$ cm. $tan B = \frac{A C}{A B} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \Rightarrow B \approx 5 3^{\circ} 8^{'}$ . $C = 9 0^{\circ} - 5 3^{\circ} 8^{'} = 3 6^{\circ} 5 2^{'}$ .

Bài 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết $H B = 4 cm, H C = 9 cm$ . a) Tính $A H$ . b) Tính $A B, A C$ .

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Áp dụng hệ thức: $A H^{2} = H B \cdot H C = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow A H = 6$ cm.

b) Có $B C = H B + H C = 4 + 9 = 13$ cm. Áp dụng hệ thức: $A B^{2} = H B \cdot B C = 4 \cdot 13 = 52 \Rightarrow A B = 52 = 213$ cm. $A C^{2} = H C \cdot B C = 9 \cdot 13 = 117 \Rightarrow A C = 117 = 313$ cm.

Bài 5: Tìm một tỉ số biết một số tỉ số khác

Cho góc nhọn $α$ , biết $sin α = \frac{3}{5}$ . Không dùng bảng số hay máy tính, hãy tính $cos α, tan α, cot α$ .

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Ta có $sin^{2} α + cos^{2} α = 1 \Rightarrow (\frac{3}{5})^{2} + cos^{2} α = 1 \Rightarrow \frac{9}{25} + cos^{2} α = 1$ . $cos^{2} α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ . Vì $α$ nhọn nên $cos α > 0 \Rightarrow cos α = \frac{4}{5}$ . $tan α = \frac{s i n α}{c o s α} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$ . $cot α = \frac{1}{t a n α} = \frac{4}{3}$ .

Bài 6: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào góc

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào đại lượng góc nhọn $α$ : $A = (sin α + cos α)^{2} + (sin α - cos α)^{2}$

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Khai triển HĐT: $A = (sin^{2} α + 2 sin α cos α + cos^{2} α) + (sin^{2} α - 2 sin α cos α + cos^{2} α)$ $A = 2 sin^{2} α + 2 cos^{2} α = 2 (sin^{2} α + cos^{2} α)$ . Mà $sin^{2} α + cos^{2} α = 1 \Rightarrow A = 2 \cdot 1 = 2$ . Biểu thức có giá trị không đổi bằng 2, không phụ thuộc vào $α$ .

Bài 7: Tính toán khi không có tam giác vuông

Cho tam giác ABC có $A B = 6 cm, A C = 8 cm, A = 12 0^{\circ}$ . Kẻ đường cao BH. a) Kẻ đường cao CH (từ C vuông góc với đường phân giác ngoài góc A, hoặc làm đường thẳng chứa AB). Vì góc BAC = 120° lớn hơn 90° nên đường cao nằm ngoài tam giác. Tìm độ dài BH. b) Tìm độ dài cạnh BC.

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Kẻ đường cao CH vuông góc với phần kéo dài của đoạn thẳng BA tại H. Xét tam giác vuông AHC: Góc kề bù $H A C = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ . $C H = A C \cdot sin H A C = 8 \cdot sin 6 0^{\circ} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 43$ cm. $A H = A C \cdot cos 6 0^{\circ} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ cm.

Đoạn $B H = B A + A H = 6 + 4 = 10$ cm. (Vì H và B nằm về 2 phía so với A do góc BAC tù). Trong tam giác vuông BHC vuông tại H: $B C^{2} = B H^{2} + H C^{2} = 1 0^{2} + (43)^{2} = 100 + 48 = 148$ . Cạnh $B C = 148 = 237$ cm.

(Nếu câu a hỏi BH như sách cũ, BH là đường cao từ B đến đường thẳng AC, thì $B H = A B \cdot sin 6 0^{\circ} = 33$ . Kết quả BC vẫn ra $237$ ).

Bài 8: Bài toán thực tế 1 (Tháp Effel / Cột cờ)

Một cột cờ được đặt vuông góc với mặt đất yên tĩnh. Lúc 9 giờ sáng, bóng của cột cờ trên mặt đất dài 6,5m và góc tạo bởi tia nắng mặt trời với phương mặt đất (góc nâng Mặt Trời) là khoảng $4 2^{\circ}$ . Tính chiều cao của cột cờ (làm tròn đến phần nguyên).

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Gọi h là chiều cao của cột cờ, l là chiều dài phần bóng dưới đất ( $l = 6, 5$ m). Góc tạo bởi tia sáng và mặt đất là $α = 4 2^{\circ}$ . Theo hệ thức lượng giác trong tam giác vuông: $tan α = \frac{h}{l} \Rightarrow h = l \cdot tan α$ . $h = 6, 5 \cdot tan 4 2^{\circ} \approx 6, 5 \cdot 0, 9004 \approx 5, 85$ m. Làm tròn đến phần nguyên: $6$ mét.

Bài 9: Bài toán thực tế 2 (Quan sát hai đối tượng)

Từ đỉnh một ngọn hải đăng cao 80m so với mặt biển, người quan sát nhìn thấy hai chiếc tàu. Góc hạ (so với phương ngang) xuống tàu thứ nhất là $1 2^{\circ}$ , góc hạ xuống tàu thứ hai là $2 0^{\circ}$ . Biết hai con tàu và ngọn hải đăng cùng nằm trên một đưởng thẳng. Tính khoảng cách giữa hai con tàu. (Làm tròn đến m).

📊 Xem lời giải

Lời giải:

Gọi đỉnh ngọn hải đăng là A, chân ngọn hải đăng ở mặt nước là H ( $A H = 80$ m). Góc hạ xuống tàu thứ nhất là $1 2^{\circ} \Rightarrow$ góc tạo bởi đường ngắm và thân đèn hải đăng là $9 0^{\circ} - 1 2^{\circ} = 7 8^{\circ}$ , hoặc góc tạo bởi tàu 1 và đỉnh A với chân đèn là $H_{1} = 1 2^{\circ}$ (so le trong với góc mặt ngang). Khoảng cách từ chân đèn tới tàu thứ 1: $x_{1} = \frac{80}{t a n 1 2 ^{\circ}} \approx \frac{80}{0 , 2125} \approx 376, 4$ m. Tương tự, khoảng cách từ chân đèn tới tàu 2 là: $x_{2} = \frac{80}{t a n 2 0 ^{\circ}} \approx \frac{80}{0 , 3640} \approx 219, 8$ m. Khoảng cách giữa hai tàu là $d = x_{1} - x_{2} \approx 376, 4 - 219, 8 = 156, 6$ m $\approx 157$ mét.

Bài 10: Tứ giác / Hệ phức hợp hình học

Cho hình thang vuông $A B C D$ vuông tại $A$ và $D$ , có $A B = 6 cm, C D = 12 cm$ và $A D = 8 cm$ . a) Kẻ $B H ⊥ C D$ tại $H$ . Tính các đoạn $C H$ và $B C$ . b) Kẻ đường phân giác của $B$ cắt $C D$ tại $M$ . Tính số đo $M B C$ (làm tròn số đo góc đến phút).

📊 Xem lời giải

Lời giải:

a) Tứ giác $A B H D$ có $A = D = H = 9 0^{\circ}$ nên $A B H D$ là hình chữ nhật. Suy ra $D H = A B = 6$ , $B H = A D = 8$ . $C H = C D - D H = 12 - 6 = 6$ cm. Trong tam giác vuông $B H C$ : $B C = B H^{2} + C H^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 10$ cm.

b) Trong $Δ B H C$ : $tan C = \frac{B H}{C H} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow C \approx 5 3^{\circ} 8^{'}$ . $C B H = 9 0^{\circ} - C = 3 6^{\circ} 5 2^{'}$ . Góc $A B C = A B H + C B H = 9 0^{\circ} + 3 6^{\circ} 5 2^{'} = 12 6^{\circ} 5 2^{'}$ . Đường phân giác $B M \Rightarrow M B C = \frac{A B C}{2} = 6 3^{\circ} 2 6^{'}$ .

⭐ Ghi nhớ

💡 Những bài học rút ra

Công thức Sin, Cos, Tan, Cot là vũ khí mạnh nhất trong hình học thực tế, thường ứng dụng tính chiều cao, khoảng cách khó đo đạc, đo đạc qua bóng nắng,…
Quy tắc phụ nhau ( $sin α = cos β$ ) giúp tính nhẩm hoặc rút gọn biểu thức rất hiệu quả. Đoán được đáp án trong trắc nghiệm nhanh chóng.
Đừng nhầm lẫn giữa công thức tính Cạnh góc vuông bằng Cạnh huyền $\cdot sin$ góc đối, với công thức tính Cạnh góc vuông bằng Cạnh góc vuông kia $\cdot tan$ góc đối!