Lớp 6 · Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 10: Số nguyên tố

🚀 Khởi động

🔢 Số nguyên tố — Viên gạch xây số học

Số nguyên tố là những số đặc biệt, không thể phân tích thành tích của các số nhỏ hơn!

🔷

Số nguyên tố

Chỉ có 2 ước

🔶

Hợp số

Có nhiều hơn 2 ước

1️⃣

Số 1

Đặc biệt

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa số nguyên tố và hợp số

Số nguyên tố: Số tự nhiên lớn hơn $1$ chỉ có đúng hai ước là $1$ và chính nó.

Ví dụ:

$2$ có hai ước: $1, 2$ → $2$ là số nguyên tố
$3$ có hai ước: $1, 3$ → $3$ là số nguyên tố
$5$ có hai ước: $1, 5$ → $5$ là số nguyên tố
$7$ có hai ước: $1, 7$ → $7$ là số nguyên tố

Hợp số: Số tự nhiên lớn hơn $1$ có nhiều hơn hai ước.

Ví dụ:

$4$ có ba ước: $1, 2, 4$ → $4$ là hợp số
$6$ có bốn ước: $1, 2, 3, 6$ → $6$ là hợp số
$9$ có ba ước: $1, 3, 9$ → $9$ là hợp số

Lưu ý: Số $0$ và số $1$ không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số.

Ví dụ 1: Phân loại các số

Số	Các ước	Phân loại
$1$	$1$	Đặc biệt
$2$	$1, 2$	Số nguyên tố
$3$	$1, 3$	Số nguyên tố
$4$	$1, 2, 4$	Hợp số
$5$	$1, 5$	Số nguyên tố
$6$	$1, 2, 3, 6$	Hợp số

🔍 2. Cách nhận biết số nguyên tố

Phương pháp kiểm tra:

Để kiểm tra số $n$ có phải là số nguyên tố không:

Bước 1: Nếu $n \leq 1$ → không phải số nguyên tố

Bước 2: Nếu $n = 2$ → là số nguyên tố (số nguyên tố chẵn duy nhất)

Bước 3: Nếu $n$ chẵn và $n > 2$ → không phải số nguyên tố (là hợp số)

Bước 4: Thử chia $n$ cho các số nguyên tố nhỏ hơn $\sqrt{n}$ :

Nếu chia hết → là hợp số
Nếu không chia hết cho số nào → là số nguyên tố

Ví dụ 2: Kiểm tra số nguyên tố

a) $17$ có phải là số nguyên tố không?

$17$ là số lẻ, lớn hơn $2$
$\sqrt{17} \approx 4.1$ , thử chia cho các số nguyên tố $\leq 4$ : là $2, 3$
$17 : 2 = 8$ dư $1$ (không chia hết)
$17 : 3 = 5$ dư $2$ (không chia hết)

Vậy $17$ là số nguyên tố ✓

b) $21$ có phải là số nguyên tố không?

$21$ là số lẻ, lớn hơn $2$
$\sqrt{21} \approx 4.6$ , thử chia cho $2, 3$
$21 : 3 = 7$ (chia hết)

Vậy $21$ không phải số nguyên tố (là hợp số) ✗

📊 3. Bảng số nguyên tố

Các số nguyên tố nhỏ hơn 100:

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,$

$31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,$

$73, 79, 83, 89, 97$

Tổng cộng: $25$ số nguyên tố

Nhận xét:

$2$ là số nguyên tố chẵn duy nhất
Các số nguyên tố khác đều là số lẻ
Có vô số số nguyên tố (định lý Euclid)
Số nguyên tố càng lớn thì càng hiếm

🔨 4. Phân tích ra thừa số nguyên tố

Định lý cơ bản của số học:

Mọi số tự nhiên lớn hơn $1$ đều có thể phân tích duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố.

Phương pháp: Chia liên tiếp cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn.

Ví dụ 3: Phân tích ra thừa số nguyên tố

a) Phân tích $12$

12 = 2 × 6
   = 2 × 2 × 3
   = 2² × 3

Cách viết dọc:

Vậy $12 = 2^2 \times 3$

b) Phân tích $60$

Vậy $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

c) Phân tích $90$

Vậy $90 = 2 \times 3^2 \times 5$

⚡ 5. Tính chất của số nguyên tố

Tính chất 1: Có vô số số nguyên tố.

Tính chất 2: Nếu $p$ là số nguyên tố và $p \mid (a \times b)$ thì $p \mid a$ hoặc $p \mid b$ .

Tính chất 3: Hai số nguyên tố liên tiếp duy nhất là $2$ và $3$ .

Tính chất 4: Mọi số nguyên tố lớn hơn $3$ đều có dạng $6k + 1$ hoặc $6k - 1$ (với $k$ là số tự nhiên).

Ví dụ 4: Áp dụng tính chất

a) Tìm số nguyên tố có dạng $6k + 1$ với $k = 1, 2, 3$

$k = 1$ : $6 \times 1 + 1 = 7$ (số nguyên tố) ✓
$k = 2$ : $6 \times 2 + 1 = 13$ (số nguyên tố) ✓
$k = 3$ : $6 \times 3 + 1 = 19$ (số nguyên tố) ✓

b) Tìm số nguyên tố có dạng $6k - 1$ với $k = 1, 2, 3$

$k = 1$ : $6 \times 1 - 1 = 5$ (số nguyên tố) ✓
$k = 2$ : $6 \times 2 - 1 = 11$ (số nguyên tố) ✓
$k = 3$ : $6 \times 3 - 1 = 17$ (số nguyên tố) ✓

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Số nào là số nguyên tố?

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một lớp học có $23$ học sinh. Cô giáo muốn chia đều thành các nhóm (mỗi nhóm có ít nhất $2$ học sinh).

a) Có thể chia được không? Tại sao?

b) Nếu lớp có $24$ học sinh thì có thể chia thành bao nhiêu cách?

Giải:

a) $23$ là số nguyên tố, chỉ có hai ước là $1$ và $23$ .

Không thể chia đều thành các nhóm (trừ trường hợp $1$ nhóm $23$ học sinh hoặc $23$ nhóm mỗi nhóm $1$ học sinh).

b) $24 = 2^3 \times 3$

Các ước của $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$

Các cách chia (loại $1$ và $24$ ):

$2$ nhóm, mỗi nhóm $12$ học sinh
$3$ nhóm, mỗi nhóm $8$ học sinh
$4$ nhóm, mỗi nhóm $6$ học sinh
$6$ nhóm, mỗi nhóm $4$ học sinh
$8$ nhóm, mỗi nhóm $3$ học sinh
$12$ nhóm, mỗi nhóm $2$ học sinh

Có 6 cách chia.

📝 Bài toán 2: Một cửa hàng có $60$ quyển vở. Người bán muốn xếp thành các gói, mỗi gói có số vở như nhau.

a) Phân tích $60$ ra thừa số nguyên tố.

b) Có bao nhiêu cách xếp? (Mỗi gói có ít nhất $2$ quyển)

Giải:

a) $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

b) Các ước của $60$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$

Số cách xếp (loại $1$ và $60$ ): $10$ cách

⭐ Ghi nhớ

Số nguyên tố: Số tự nhiên $> 1$ , chỉ có đúng $2$ ước ( $1$ và chính nó)
Hợp số: Số tự nhiên $> 1$ , có nhiều hơn $2$ ước
Số 1: Không phải số nguyên tố, không phải hợp số
Số 2: Số nguyên tố chẵn duy nhất
Phân tích: Mọi số $> 1$ đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố
Số nguyên tố < 20: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Phân loại các số sau (số nguyên tố, hợp số, hay đặc biệt):

a) $1$

b) $11$

c) $15$

d) $29$

Bài 2: Kiểm tra các số sau có phải là số nguyên tố không:

a) $13$

b) $25$

c) $31$

d) $39$

Bài 3: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:

a) $18$

b) $36$

c) $48$

d) $72$

Bài 4: Viết các số sau dưới dạng tích các thừa số nguyên tố:

a) $100$

b) $120$

c) $150$

d) $200$

Bài 5: Tìm các số nguyên tố:

a) Từ $20$ đến $30$

b) Từ $40$ đến $50$

c) Từ $60$ đến $70$

d) Từ $80$ đến $90$

Bài 6 (Thực tế): Một trường học có $p$ học sinh (với $p$ là số nguyên tố).

a) Nếu $p = 37$ , có thể chia đều thành các lớp không? (Mỗi lớp ít nhất $2$ học sinh)

b) Nếu muốn chia đều thành các lớp, số học sinh tối thiểu phải thêm vào là bao nhiêu để có thể chia thành $4$ lớp?

c) Tìm số học sinh nhỏ nhất (lớn hơn $37$ ) để có thể chia đều thành $5$ lớp.

d) Giải thích tại sao số nguyên tố gây khó khăn cho việc chia nhóm.

📊 Đáp số

Bài 1: a) Đặc biệt; b) Số nguyên tố; c) Hợp số; d) Số nguyên tố

Bài 2: a) Có; b) Không ( $25 = 5^2$ ); c) Có; d) Không ( $39 = 3 \times 13$ )

Bài 3: a) $2 \times 3^2$ ; b) $2^2 \times 3^2$ ; c) $2^4 \times 3$ ; d) $2^3 \times 3^2$

Bài 4: a) $2^2 \times 5^2$ ; b) $2^3 \times 3 \times 5$ ; c) $2 \times 3 \times 5^2$ ; d) $2^3 \times 5^2$

Bài 5: a) $23, 29$ ; b) $41, 43, 47$ ; c) $61, 67$ ; d) $83, 89$

Bài 6: a) Không thể; b) Thêm $3$ học sinh ( $40 = 4 \times 10$ ); c) $40$ học sinh; d) Vì số nguyên tố chỉ có $2$ ước nên khó chia nhóm