Lớp 6 · Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 8: Quan hệ chia hết và tính chất

🚀 Khởi động

➗ Quan hệ chia hết — Nền tảng số học

Chia hết là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong toán học!

✓

Chia hết

Không có số dư

⚡

Tính chất

Quy tắc tính toán

🎯

Ứng dụng

Giải toán thực tế

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa quan hệ chia hết

Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ với $b \neq 0$ . Ta nói $a$ chia hết cho $b$ nếu tồn tại số tự nhiên $q$ sao cho $a = b \times q$ .

Ký hiệu: $a \vdots b$ (đọc là ” $a$ chia hết cho $b$ ”)

Các tên gọi:

$a$ chia hết cho $b$
$b$ là ước của $a$
$a$ là bội của $b$

Ví dụ:

$15 \vdots 3$ vì $15 = 3 \times 5$
$20 \vdots 4$ vì $20 = 4 \times 5$
$12 \vdots 6$ vì $12 = 6 \times 2$

Ví dụ 1: Kiểm tra quan hệ chia hết

a) $24$ có chia hết cho $6$ không?

$24 = 6 \times 4$

Vậy $24 \vdots 6$ (24 chia hết cho 6)

b) $17$ có chia hết cho $5$ không?

$17 = 5 \times 3 + 2$ (còn dư 2)

Vậy $17$ không chia hết cho $5$

⚡ 2. Tính chất cơ bản

Tính chất 1: Số $0$ chia hết cho mọi số tự nhiên khác $0$

$0 \vdots a \quad (a \neq 0)$

Tính chất 2: Mọi số tự nhiên đều chia hết cho $1$

$a \vdots 1$

Tính chất 3: Mọi số tự nhiên khác $0$ đều chia hết cho chính nó

$a \vdots a \quad (a \neq 0)$

Tính chất 4 (Bắc cầu): Nếu $a \vdots b$ và $b \vdots c$ thì $a \vdots c$

Ví dụ: $24 \vdots 6$ và $6 \vdots 3$ nên $24 \vdots 3$

Ví dụ 2: Áp dụng tính chất

a) $0 \vdots 7$ đúng hay sai?

Đúng, vì $0 = 7 \times 0$

b) Biết $36 \vdots 12$ và $12 \vdots 4$ . Hỏi $36$ có chia hết cho $4$ không?

Theo tính chất bắc cầu: $36 \vdots 4$

Thật vậy: $36 = 4 \times 9$

➕ 3. Tính chất về tổng và hiệu

Tính chất 5: Nếu $a \vdots m$ và $b \vdots m$ thì:

$(a + b) \vdots m$
$(a - b) \vdots m$ (với $a \geq b$ )

Ví dụ:

$12 \vdots 3$ và $9 \vdots 3$ nên $(12 + 9) = 21 \vdots 3$
$15 \vdots 5$ và $10 \vdots 5$ nên $(15 - 10) = 5 \vdots 5$

Tính chất 6: Nếu $a \vdots m$ và $b$ không chia hết cho $m$ thì:

$(a + b)$ không chia hết cho $m$
$(a - b)$ không chia hết cho $m$

Ví dụ 3: Áp dụng tính chất tổng và hiệu

a) Biết $18 \vdots 6$ và $24 \vdots 6$ . Tính $18 + 24$ có chia hết cho $6$ không?

Theo tính chất 5: $(18 + 24) \vdots 6$

Thật vậy: $18 + 24 = 42 = 6 \times 7$

b) Biết $30 \vdots 5$ và $12 \vdots 4$ (12 không chia hết cho 5). Hỏi $30 + 12$ có chia hết cho $5$ không?

Theo tính chất 6: $(30 + 12)$ không chia hết cho $5$

Thật vậy: $30 + 12 = 42 = 5 \times 8 + 2$ (dư 2)

✖️ 4. Tính chất về tích

Tính chất 7: Nếu $a \vdots m$ thì $(a \times k) \vdots m$ với mọi số tự nhiên $k$

Ví dụ: $12 \vdots 3$ nên $12 \times 5 = 60 \vdots 3$

Tính chất 8: Nếu $a \vdots m$ và $a \vdots n$ với $m, n$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì $a \vdots (m \times n)$

Ví dụ: $30 \vdots 2$ và $30 \vdots 3$ nên $30 \vdots 6$ (vì $6 = 2 \times 3$ )

Ví dụ 4: Áp dụng tính chất tích

a) Biết $15 \vdots 5$ . Hỏi $15 \times 7$ có chia hết cho $5$ không?

Theo tính chất 7: $(15 \times 7) \vdots 5$

Thật vậy: $15 \times 7 = 105 = 5 \times 21$

b) Biết $24 \vdots 2$ và $24 \vdots 3$ . Hỏi $24$ có chia hết cho $6$ không?

Vì $2$ và $3$ nguyên tố cùng nhau, theo tính chất 8: $24 \vdots 6$

Thật vậy: $24 = 6 \times 4$

📊 5. Phép chia có dư

Định lý chia có dư: Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ với $b \neq 0$ . Luôn tồn tại duy nhất hai số tự nhiên $q$ (thương) và $r$ (số dư) sao cho:

$a = b \times q + r \quad \text{với } 0 \leq r < b$

Chú ý:

Nếu $r = 0$ thì $a \vdots b$
Nếu $r \neq 0$ thì $a$ không chia hết cho $b$

Ví dụ 5: Phép chia có dư

a) $23 = 5 \times 4 + 3$

Số bị chia: $a = 23$
Số chia: $b = 5$
Thương: $q = 4$
Số dư: $r = 3$

b) $50 = 7 \times 7 + 1$

Số bị chia: $a = 50$
Số chia: $b = 7$
Thương: $q = 7$
Số dư: $r = 1$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Số nào chia hết cho $5$ ?

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một lớp học có $36$ học sinh. Cô giáo muốn chia đều thành các nhóm.

a) Có thể chia thành $6$ nhóm được không?

b) Có thể chia thành $5$ nhóm được không?

c) Có thể chia thành bao nhiêu nhóm? (Liệt kê các cách chia)

Giải:

a) $36 = 6 \times 6$ , vậy $36 \vdots 6$ . Có thể chia thành 6 nhóm, mỗi nhóm 6 học sinh.

b) $36 = 5 \times 7 + 1$ (dư 1), vậy $36$ không chia hết cho $5$ . Không thể chia đều thành 5 nhóm.

c) Các cách chia: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 nhóm (các ước của 36)

📝 Bài toán 2: Một cửa hàng có $48$ quyển vở và $60$ cây bút. Người bán muốn chia đều vào các túi quà, mỗi túi có số vở và số bút như nhau.

a) Có thể chia thành $6$ túi được không?

b) Có thể chia thành $8$ túi được không?

Giải:

a) Kiểm tra:

$48 = 6 \times 8$ (48 chia hết cho 6)
$60 = 6 \times 10$ (60 chia hết cho 6)

Có thể chia thành 6 túi: mỗi túi 8 vở và 10 bút.

b) Kiểm tra:

$48 = 8 \times 6$ (48 chia hết cho 8)
$60 = 8 \times 7 + 4$ (60 không chia hết cho 8)

Không thể chia đều thành 8 túi.

⭐ Ghi nhớ

Định nghĩa: $a \vdots b$ nếu $a = b \times q$
Tính chất cơ bản:
- $0 \vdots a$ (với $a \neq 0$ )
- $a \vdots 1$ và $a \vdots a$
- Bắc cầu: $a \vdots b$ và $b \vdots c$ thì $a \vdots c$
Tổng, hiệu: $a \vdots m$ và $b \vdots m$ thì $(a \pm b) \vdots m$
Tích: $a \vdots m$ thì $(a \times k) \vdots m$
Chia có dư: $a = b \times q + r$ với $0 \leq r < b$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Kiểm tra các số sau có chia hết cho số đã cho không:

a) $45$ cho $9$

b) $37$ cho $6$

c) $72$ cho $8$

d) $100$ cho $7$

Bài 2: Áp dụng tính chất bắc cầu:

a) Biết $48 \vdots 12$ và $12 \vdots 4$ . Hỏi $48$ có chia hết cho $4$ không?

b) Biết $60 \vdots 15$ và $15 \vdots 5$ . Hỏi $60$ có chia hết cho $5$ không?

c) Biết $90 \vdots 18$ và $18 \vdots 6$ . Hỏi $90$ có chia hết cho $6$ không?

d) Biết $120 \vdots 24$ và $24 \vdots 8$ . Hỏi $120$ có chia hết cho $8$ không?

Bài 3: Áp dụng tính chất tổng và hiệu:

a) Biết $18 \vdots 6$ và $24 \vdots 6$ . Tính $18 + 24$ có chia hết cho $6$ không?

b) Biết $30 \vdots 5$ và $20 \vdots 5$ . Tính $30 - 20$ có chia hết cho $5$ không?

c) Biết $21 \vdots 7$ và $35 \vdots 7$ . Tính $21 + 35$ có chia hết cho $7$ không?

d) Biết $40 \vdots 8$ và $16 \vdots 8$ . Tính $40 - 16$ có chia hết cho $8$ không?

Bài 4: Thực hiện phép chia có dư:

a) $47 : 6$

b) $83 : 9$

c) $100 : 13$

d) $125 : 11$

Bài 5: Tìm số dư khi chia:

a) $56$ cho $7$

b) $73$ cho $8$

c) $91$ cho $10$

d) $150$ cho $12$

Bài 6 (Thực tế): Một trường học có $240$ học sinh. Hiệu trưởng muốn xếp đều vào các lớp.

a) Có thể xếp thành $8$ lớp được không? Nếu được, mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

b) Có thể xếp thành $7$ lớp được không? Tại sao?

c) Liệt kê các cách xếp có thể (số lớp từ 5 đến 12).

d) Cách xếp nào để mỗi lớp có khoảng 30-40 học sinh?

📊 Đáp số

Bài 1: a) Có ( $45 = 9 \times 5$ ); b) Không ( $37 = 6 \times 6 + 1$ ); c) Có ( $72 = 8 \times 9$ ); d) Không ( $100 = 7 \times 14 + 2$ )

Bài 2: a) Có; b) Có; c) Có; d) Có

Bài 3: a) Có ( $42 \vdots 6$ ); b) Có ( $10 \vdots 5$ ); c) Có ( $56 \vdots 7$ ); d) Có ( $24 \vdots 8$ )

Bài 4: a) $7$ dư $5$ ; b) $9$ dư $2$ ; c) $7$ dư $9$ ; d) $11$ dư $4$

Bài 5: a) $0$ ; b) $1$ ; c) $1$ ; d) $6$

Bài 6: a) Có, mỗi lớp 30 học sinh; b) Không ( $240 = 7 \times 34 + 2$ ); c) 5, 6, 8, 10, 12 lớp; d) 6 lớp (40 HS) hoặc 8 lớp (30 HS)