Lớp 6 · Chương III: Số nguyên

Bài 17: Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên

🚀 Khởi động

➗ Phép chia số nguyên — Mở rộng phép chia

Phép chia số nguyên có quy tắc dấu giống phép nhân!

➕ ÷ ➕

Dương ÷ Dương

Kết quả dương

➖ ÷ ➖

Âm ÷ Âm

Kết quả dương

➕ ÷ ➖

Khác dấu

Kết quả âm

🔍 Khám phá

📖 1. Phép chia hết số nguyên

Định nghĩa: Số nguyên $a$ chia hết cho số nguyên $b$ (với $b \neq 0$ ) nếu tồn tại số nguyên $q$ sao cho:

$a = b \times q$

Khi đó: $a : b = q$

Quy tắc dấu:

Khác dấu: Kết quả âm
- $(+) : (-) = (-)$
- $(-) : (+) = (-)$
Cùng dấu: Kết quả dương
- $(+) : (+) = (+)$
- $(-) : (-) = (+)$

Lưu ý: Không chia cho $0$ !

Ví dụ 1: Phép chia số nguyên khác dấu

a) $15 : (-3)$

Bước 1: Chia giá trị tuyệt đối: $15 : 3 = 5$

Bước 2: Đặt dấu âm (khác dấu): $15 : (-3) = -5$

Kiểm tra: $(-3) \times (-5) = 15$ ✓

b) $(-28) : 7$

$28 : 7 = 4$

$(-28) : 7 = -4$

Kiểm tra: $7 \times (-4) = -28$ ✓

Ví dụ 2: Phép chia số nguyên cùng dấu

a) $24 : 6$

Hai số dương: $24 : 6 = 4$

b) $(-45) : (-9)$

Bước 1: Chia giá trị tuyệt đối: $45 : 9 = 5$

Bước 2: Kết quả dương (cùng dấu): $(-45) : (-9) = 5$

Kiểm tra: $(-9) \times 5 = -45$ ✓

📊 Bảng quy tắc dấu

Số bị chia	Số chia	Thương	Ví dụ
$+$	$+$	$+$	$20 : 5 = 4$
$+$	$-$	$-$	$20 : (-5) = -4$
$-$	$+$	$-$	$(-20) : 5 = -4$
$-$	$-$	$+$	$(-20) : (-5) = 4$

📖 2. Ước của số nguyên

Định nghĩa: Số nguyên $b$ được gọi là ước của số nguyên $a$ nếu $a$ chia hết cho $b$ (với $b \neq 0$ ).

Ký hiệu: $a \vdots b$ hoặc $b \mid a$

Tính chất:

Nếu $b$ là ước của $a$ thì $-b$ cũng là ước của $a$
$1$ và $-1$ là ước của mọi số nguyên
Mọi số nguyên khác $0$ đều là ước của $0$

Ví dụ:

Ước của $12$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$
Ước của $-15$ : $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

Ví dụ 3: Tìm ước của số nguyên

a) Tìm các ước của $-18$

Bước 1: Tìm ước dương của $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$

Bước 2: Thêm ước âm: $-1, -2, -3, -6, -9, -18$

Đáp án: Ước của $-18$ là: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

b) Kiểm tra $-4$ có phải là ước của $-20$ không?

Chia: $(-20) : (-4) = 5$ (chia hết)

Vậy $-4$ là ước của $-20$ ✓

📖 3. Bội của số nguyên

Định nghĩa: Số nguyên $a$ được gọi là bội của số nguyên $b$ (với $b \neq 0$ ) nếu $a$ chia hết cho $b$ .

Tính chất:

Nếu $a$ là bội của $b$ thì $-a$ cũng là bội của $b$
$0$ là bội của mọi số nguyên khác $0$
Mọi số nguyên đều là bội của $1$ và $-1$

Ví dụ:

Bội của $3$ : $0, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 12, ...$
Bội của $-5$ : $0, \pm 5, \pm 10, \pm 15, \pm 20, ...$

Ví dụ 4: Tìm bội của số nguyên

a) Viết 5 bội của $-4$

Bội của $-4$ : $(-4) \times k$ với $k \in \mathbb{Z}$

5 bội: $0, -4, 4, -8, 8$

(hoặc: $-12, -8, -4, 0, 4$ )

b) Kiểm tra $-30$ có phải là bội của $6$ không?

Chia: $(-30) : 6 = -5$ (chia hết)

Vậy $-30$ là bội của $6$ ✓

⚡ 4. Tính chất

Tính chất 1: $0 : a = 0$ (với $a \neq 0$ )

Tính chất 2: $a : 1 = a$ ; $a : (-1) = -a$

Tính chất 3: $a : a = 1$ (với $a \neq 0$ )

Tính chất 4: $a : (-a) = -1$ (với $a \neq 0$ )

Tính chất 5: Nếu $a \vdots b$ và $b \vdots c$ thì $a \vdots c$

Tính chất 6: Nếu $a \vdots c$ và $b \vdots c$ thì $(a + b) \vdots c$ và $(a - b) \vdots c$

Ví dụ 5: Áp dụng tính chất

a) Tính: $(-48) : [(-12) : 3]$

Bước 1: Tính trong ngoặc: $(-12) : 3 = -4$

Bước 2: Chia: $(-48) : (-4) = 12$

b) Biết $(-36) \vdots 9$ và $(-27) \vdots 9$ . Chứng tỏ $(-36) + (-27)$ chia hết cho $9$ .

Theo tính chất 6:

Nếu $a \vdots c$ và $b \vdots c$ thì $(a + b) \vdots c$

Vậy $(-36) + (-27) = -63$ chia hết cho $9$ ✓

Kiểm tra: $(-63) : 9 = -7$ ✓

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Tính: $(-20) : 5$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một người nợ ngân hàng $12000000$ đồng và trả đều trong $6$ tháng.

a) Viết biểu thức tính số tiền trả mỗi tháng.

b) Tính số tiền trả mỗi tháng.

c) Sau $4$ tháng, người đó còn nợ bao nhiêu?

Giải:

a) Biểu thức: $(-12000000) : 6$

b) Số tiền mỗi tháng:

$(-12000000) : 6 = -2000000$ đồng

(Trả $2000000$ đồng mỗi tháng)

c) Sau 4 tháng đã trả:

$(-2000000) \times 4 = -8000000$ đồng

Còn nợ:

$(-12000000) - (-8000000) = -4000000$ đồng

(Còn nợ $4000000$ đồng)

📝 Bài toán 2: Nhiệt độ giảm từ $20°C$ xuống $-10°C$ đều trong $6$ giờ.

a) Tính độ giảm nhiệt độ.

b) Tính độ giảm trung bình mỗi giờ.

c) Sau $3$ giờ, nhiệt độ là bao nhiêu?

Giải:

a) Độ giảm:

$(-10) - 20 = -30°C$

b) Độ giảm mỗi giờ:

$(-30) : 6 = -5°C$ /giờ

c) Sau 3 giờ:

$20 + [(-5) \times 3] = 20 + (-15) = 5°C$

⭐ Ghi nhớ

Quy tắc dấu: Giống phép nhân
- Cùng dấu → dương
- Khác dấu → âm
Ước của $a$ : Số $b$ $b$ sao cho $a \vdots b$ $a ⋮ b$
- Nếu $b$ là ước thì $-b$ cũng là ước
Bội của $b$ : Số $a$ $a$ sao cho $a \vdots b$ $a ⋮ b$
- Nếu $a$ là bội thì $-a$ cũng là bội
Tính chất: $0 : a = 0$ ; $a : 1 = a$ ; $a : (-1) = -a$
Không chia cho 0!

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Thực hiện phép chia:

a) $35 : (-7)$

b) $(-48) : 6$

c) $(-56) : (-8)$

d) $72 : (-9)$

Bài 2: Thực hiện phép chia:

a) $0 : (-15)$

b) $(-25) : 1$

c) $40 : (-1)$

d) $(-30) : (-30)$

Bài 3: Tìm tất cả các ước của:

a) $-16$

b) $-24$

c) $-30$

d) $-36$

Bài 4: Viết 6 bội của:

a) $-3$

b) $7$

c) $-8$

d) $-10$

Bài 5: Tính:

a) $(-72) : [(-18) : 3]$

b) $[(-60) : 5] : (-3)$

c) $(-100) : [25 : (-5)]$

d) $[(-84) : (-7)] : 2$

Bài 6 (Thực tế): Một thang máy xuống từ tầng $30$ xuống tầng $-6$ (hầm 6) đều trong $12$ giây.

a) Tính tổng số tầng đã xuống.

b) Tính số tầng xuống trung bình mỗi giây.

c) Sau $8$ giây, thang máy ở tầng nào?

d) Sau bao nhiêu giây thang máy đến tầng $0$ (trệt)?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $-5$ ; b) $-8$ ; c) $7$ ; d) $-8$

Bài 2: a) $0$ ; b) $-25$ ; c) $-40$ ; d) $1$

Bài 3: a) $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$ ; b) $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$ ; c) $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30$ ; d) $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Bài 4: a) $0, \pm 3, \pm 6, \pm 9$ ; b) $0, \pm 7, \pm 14, \pm 21$ ; c) $0, \pm 8, \pm 16, \pm 24$ ; d) $0, \pm 10, \pm 20, \pm 30$

Bài 5: a) $12$ ; b) $4$ ; c) $20$ ; d) $6$

Bài 6: a) $36$ tầng; b) $3$ tầng/giây; c) Tầng $6$ ; d) $10$ giây