Lớp 6 · Chương I: Tập hợp các số tự nhiên

Bài 6: Lũy thừa với số mũ tự nhiên

🚀 Khởi động

🔢 Lũy thừa — Nhân nhiều lần cùng một số

Lũy thừa giúp viết gọn phép nhân lặp lại!

📐

Viết gọn

$2 \times 2 \times 2 = 2^3$

⚡

Tính nhanh

$10^3 = 1000$

🎯

Ứng dụng

Diện tích, thể tích

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa lũy thừa

Định nghĩa: Lũy thừa bậc $n$ của số tự nhiên $a$ là tích của $n$ thừa số, mỗi thừa số bằng $a$ , ký hiệu là $a^n$ .

$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ thừa số}}$

Trong đó:

$a$ : cơ số
$n$ : số mũ ( $n \geq 1$ )
$a^n$ : lũy thừa

Quy ước:

$a^1 = a$
$a^0 = 1$ (với $a \neq 0$ )

Ví dụ 1: Viết dưới dạng lũy thừa

a) $2 \times 2 \times 2 \times 2$

$2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$

Đọc là: “hai mũ bốn” hoặc “hai lũy thừa bốn”

b) $5 \times 5 \times 5$

$5 \times 5 \times 5 = 5^3$

Đọc là: “năm mũ ba” hoặc “năm lập phương”

Ví dụ 2: Tính giá trị

a) $3^2 = 3 \times 3 = 9$ (đọc là “ba bình phương”)

b) $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

c) $10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000$

d) $1^{100} = 1$ (vì $1$ nhân với chính nó bao nhiêu lần cũng bằng $1$ )

⚡ 2. Tính chất của lũy thừa

Các quy tắc tính toán với lũy thừa:

1. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số:

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

2. Chia hai lũy thừa cùng cơ số:

$a^m : a^n = a^{m-n} \quad (a \neq 0, m \geq n)$

3. Lũy thừa của lũy thừa:

$(a^m)^n = a^{m \times n}$

4. Lũy thừa của một tích:

$(a \times b)^n = a^n \times b^n$

5. Lũy thừa của một thương:

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$

Ví dụ 3: Áp dụng tính chất

a) $2^3 \times 2^4$

$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

b) $5^6 : 5^2$

$5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 = 625$

c) $(3^2)^3$

$(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729$

d) $(2 \times 5)^3$

$(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1000$

🔟 3. Lũy thừa của 10

Lũy thừa của 10:

$10^n = \underbrace{100...0}_{n \text{ chữ số } 0}$

Ví dụ:

$10^1 = 10$
$10^2 = 100$
$10^3 = 1000$
$10^4 = 10000$
$10^6 = 1000000$ (một triệu)

Ứng dụng: Viết số dưới dạng tổng các lũy thừa của 10

Ví dụ 4:

$3456 = 3 \times 1000 + 4 \times 100 + 5 \times 10 + 6$

$= 3 \times 10^3 + 4 \times 10^2 + 5 \times 10^1 + 6 \times 10^0$

📊 4. So sánh các lũy thừa

Quy tắc so sánh:

1. Cùng cơ số: Nếu $a > 1$ thì $a^m < a^n$ khi $m < n$

Ví dụ: $2^3 < 2^5$ vì $3 < 5$

2. Cùng số mũ: Nếu $n > 1$ thì $a^n < b^n$ khi $a < b$

Ví dụ: $3^4 < 5^4$ vì $3 < 5$

3. Khác cơ số và số mũ: Tính giá trị rồi so sánh

Ví dụ: So sánh $2^5$ và $3^3$

$2^5 = 32$
$3^3 = 27$
Vậy $2^5 > 3^3$

Ví dụ 5: So sánh

a) $2^{10}$ và $2^{15}$

Cùng cơ số $2 > 1$ , mà $10 < 15$

Vậy $2^{10} < 2^{15}$

b) $3^5$ và $5^3$

Tính giá trị:

$3^5 = 243$
$5^3 = 125$

Vậy $3^5 > 5^3$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Dễ0 đã trả lời

Tính: $2^3$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một hình vuông có cạnh $5$ cm.

a) Viết công thức tính diện tích hình vuông dưới dạng lũy thừa.

b) Tính diện tích hình vuông.

Giải:

a) Diện tích hình vuông: $S = a^2$ (với $a$ là độ dài cạnh)

Với $a = 5$ cm: $S = 5^2$ cm²

b) $S = 5^2 = 25$ cm²

Đáp số: a) $S = 5^2$ cm²; b) $25$ cm²

📝 Bài toán 2: Một vi khuẩn phân chia thành $2$ con sau mỗi giờ.

a) Sau $1$ giờ có bao nhiêu vi khuẩn? (Viết dưới dạng lũy thừa)

b) Sau $5$ giờ có bao nhiêu vi khuẩn?

c) Sau $10$ giờ có bao nhiêu vi khuẩn?

Giải:

a) Sau 1 giờ: $2^1 = 2$ (con)

b) Sau 5 giờ: $2^5 = 32$ (con)

c) Sau 10 giờ: $2^{10} = 1024$ (con)

Đáp số: a) $2$ con; b) $32$ con; c) $1024$ con

⭐ Ghi nhớ

Lũy thừa: $a^n = a \times a \times \ldots \times a$ $a^{n} = a \times a \times \dots \times a$ ( $n$ $n$ thừa số)
- $a$ : cơ số, $n$ : số mũ
- $a^1 = a$ , $a^0 = 1$ (với $a \neq 0$ )
Tính chất:
- $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- $a^m : a^n = a^{m-n}$ ( $m \geq n$ )
- $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
Lũy thừa của 10: $10^n$ có $n$ chữ số $0$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Viết dưới dạng lũy thừa:

a) $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$

b) $7 \times 7 \times 7$

c) $10 \times 10 \times 10 \times 10$

d) $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$

Bài 2: Tính giá trị:

a) $4^3$

b) $2^6$

c) $10^5$

d) $3^4$

Bài 3: Áp dụng tính chất để tính:

a) $2^4 \times 2^3$

b) $5^7 : 5^3$

c) $(2^3)^2$

d) $(2 \times 3)^4$

Bài 4: So sánh:

a) $2^8$ và $2^{10}$

b) $3^5$ và $4^4$

c) $5^3$ và $3^5$

d) $10^3$ và $2^{10}$

Bài 5: Viết số sau dưới dạng tổng các lũy thừa của 10:

a) $5678$

b) $2024$

c) $10000$

d) $9876$

Bài 6 (Thực tế): Một hình lập phương có cạnh $4$ cm.

a) Viết công thức tính thể tích hình lập phương dưới dạng lũy thừa.

b) Tính thể tích hình lập phương.

c) Nếu tăng cạnh lên gấp đôi, thể tích tăng lên bao nhiêu lần?

d) Giải thích tại sao thể tích tăng như vậy.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $3^5$ ; b) $7^3$ ; c) $10^4$ ; d) $2^6$

Bài 2: a) $64$ ; b) $64$ ; c) $100000$ ; d) $81$

Bài 3: a) $2^7 = 128$ ; b) $5^4 = 625$ ; c) $2^6 = 64$ ; d) $6^4 = 1296$

Bài 4: a) $2^8 < 2^{10}$ ; b) $3^5 < 4^4$ ( $243 < 256$ ); c) $5^3 < 3^5$ ( $125 < 243$ ); d) $10^3 < 2^{10}$ ( $1000 < 1024$ )

Bài 5: a) $5 \times 10^3 + 6 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 8$ ; b) $2 \times 10^3 + 2 \times 10^1 + 4$ ; c) $10^4$ ; d) $9 \times 10^3 + 8 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 6$

Bài 6: a) $V = a^3 = 4^3$ cm³; b) $64$ cm³; c) Tăng $8$ lần; d) Vì $(2a)^3 = 8a^3$