Lớp 6 · Chương II: Tính chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Bài 11: Ước chung. Ước chung lớn nhất

🚀 Khởi động

🔗 Ước chung — Tìm điểm chung

Ước chung giúp tìm số lớn nhất có thể chia hết cho nhiều số!

🔍

Ước chung

Ước của cả hai số

⬆️

ƯCLN

Ước chung lớn nhất

🎯

Ứng dụng

Chia đều, rút gọn

🔍 Khám phá

📖 1. Ước chung

Định nghĩa: Số tự nhiên $d$ được gọi là ước chung của hai số $a$ và $b$ nếu $d$ vừa là ước của $a$ , vừa là ước của $b$ .

Ký hiệu: $ƯC(a, b)$ là tập hợp các ước chung của $a$ và $b$ .

Ví dụ: Tìm $ƯC(12, 18)$

Ước của $12$ : $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$
Ước của $18$ : $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$
$ƯC(12, 18) = \{1, 2, 3, 6\}$

Ví dụ 1: Tìm ước chung

a) Tìm $ƯC(8, 12)$

Ước của $8$ : $\{1, 2, 4, 8\}$
Ước của $12$ : $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$
$ƯC(8, 12) = \{1, 2, 4\}$

b) Tìm $ƯC(15, 20)$

Ước của $15$ : $\{1, 3, 5, 15\}$
Ước của $20$ : $\{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$
$ƯC(15, 20) = \{1, 5\}$

📖 2. Ước chung lớn nhất (ƯCLN)

Định nghĩa: Ước chung lớn nhất của hai số $a$ và $b$ là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của chúng.

Ký hiệu: ƯCLN $(a, b)$ hoặc $(a, b)$

Ví dụ:

$ƯC(12, 18) = \{1, 2, 3, 6\}$ → ƯCLN $(12, 18) = 6$
$ƯC(8, 12) = \{1, 2, 4\}$ → ƯCLN $(8, 12) = 4$

Tính chất:

ƯCLN $(a, b) \geq 1$
Mọi ước chung của $a$ và $b$ đều là ước của ƯCLN $(a, b)$

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN

a) Tìm ƯCLN $(15, 25)$

Ước của $15$ : $\{1, 3, 5, 15\}$
Ước của $25$ : $\{1, 5, 25\}$
$ƯC(15, 25) = \{1, 5\}$
ƯCLN $(15, 25) = 5$

b) Tìm ƯCLN $(7, 11)$

Ước của $7$ : $\{1, 7\}$
Ước của $11$ : $\{1, 11\}$
$ƯC(7, 11) = \{1\}$
ƯCLN $(7, 11) = 1$

🔍 3. Cách tìm ƯCLN

Phương pháp 1: Liệt kê ước

Liệt kê tất cả các ước của mỗi số
Tìm các ước chung
Chọn ước chung lớn nhất

Phương pháp 2: Phân tích ra thừa số nguyên tố

Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Chọn các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất
Nhân các thừa số đã chọn

Công thức: Nếu $a = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots$ và $b = p_1^{b_1} \times p_2^{b_2} \times \ldots$

Thì ƯCLN $(a, b) = p_1^{\min(a_1, b_1)} \times p_2^{\min(a_2, b_2)} \times \ldots$

Ví dụ 3: Tìm ƯCLN bằng phân tích

a) Tìm ƯCLN $(24, 36)$

Bước 1: Phân tích

$24 = 2^3 \times 3$
$36 = 2^2 \times 3^2$

Bước 2: Chọn thừa số chung với số mũ nhỏ nhất

Thừa số chung: $2, 3$
$2$ : $\min(3, 2) = 2$ → $2^2$
$3$ : $\min(1, 2) = 1$ → $3^1$

Bước 3: Nhân

ƯCLN $(24, 36) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$

b) Tìm ƯCLN $(60, 90)$

Phân tích:

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$
$90 = 2 \times 3^2 \times 5$

Chọn thừa số chung:

$2$ : $\min(2, 1) = 1$ → $2^1$
$3$ : $\min(1, 2) = 1$ → $3^1$
$5$ : $\min(1, 1) = 1$ → $5^1$

Kết quả:

ƯCLN $(60, 90) = 2 \times 3 \times 5 = 30$

🔗 4. Hai số nguyên tố cùng nhau

Định nghĩa: Hai số $a$ và $b$ được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN $(a, b) = 1$ .

Ví dụ:

ƯCLN $(8, 15) = 1$ → $8$ và $15$ nguyên tố cùng nhau
ƯCLN $(7, 11) = 1$ → $7$ và $11$ nguyên tố cùng nhau
ƯCLN $(12, 18) = 6 \neq 1$ → $12$ và $18$ không nguyên tố cùng nhau

Lưu ý: Hai số nguyên tố cùng nhau không nhất thiết phải là số nguyên tố.

Ví dụ 4: Kiểm tra nguyên tố cùng nhau

a) $9$ và $16$ có nguyên tố cùng nhau không?

$9 = 3^2$
$16 = 2^4$
Không có thừa số chung
ƯCLN $(9, 16) = 1$

Vậy $9$ và $16$ nguyên tố cùng nhau ✓

b) $14$ và $21$ có nguyên tố cùng nhau không?

$14 = 2 \times 7$
$21 = 3 \times 7$
Thừa số chung: $7$
ƯCLN $(14, 21) = 7 \neq 1$

Vậy $14$ và $21$ không nguyên tố cùng nhau ✗

⚡ 5. Tính chất của ƯCLN

Tính chất 1: ƯCLN $(a, 1) = 1$ với mọi $a \geq 1$

Tính chất 2: Nếu $a \vdots b$ thì ƯCLN $(a, b) = b$

Tính chất 3: ƯCLN $(a, b) =$ ƯCLN $(b, a)$ (tính giao hoán)

Tính chất 4: Mọi ước chung của $a$ và $b$ đều là ước của ƯCLN $(a, b)$

Tính chất 5: Nếu $d =$ ƯCLN $(a, b)$ thì ƯCLN $\left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right) = 1$

Ví dụ 5: Áp dụng tính chất

a) Tìm ƯCLN $(30, 6)$

$30 = 6 \times 5$ nên $30 \vdots 6$

Theo tính chất 2: ƯCLN $(30, 6) = 6$

b) Cho ƯCLN $(24, 36) = 12$ . Tìm ƯCLN $(2, 3)$

$\frac{24}{12} = 2$ , $\frac{36}{12} = 3$

Theo tính chất 5: ƯCLN $(2, 3) = 1$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 8

Trung bình0 đã trả lời

Ước chung của $12$ và $18$ là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán 1: Một cửa hàng có $24$ quyển vở và $36$ cây bút. Người bán muốn chia đều vào các túi quà, mỗi túi có số vở và số bút như nhau.

a) Có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu túi?

b) Mỗi túi có bao nhiêu vở và bao nhiêu bút?

Giải:

a) Số túi nhiều nhất = ƯCLN $(24, 36)$

Phân tích:

$24 = 2^3 \times 3$
$36 = 2^2 \times 3^2$

ƯCLN $(24, 36) = 2^2 \times 3 = 12$

Có thể chia được nhiều nhất 12 túi.

b) Mỗi túi có:

Số vở: $24 : 12 = 2$ (quyển)
Số bút: $36 : 12 = 3$ (cây)

📝 Bài toán 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $60$ m và chiều rộng $48$ m. Người ta muốn chia mảnh đất thành các ô vuông bằng nhau, cạnh có độ dài là số tự nhiên (tính bằng mét).

a) Tìm độ dài cạnh lớn nhất của mỗi ô vuông.

b) Có tất cả bao nhiêu ô vuông?

Giải:

a) Độ dài cạnh lớn nhất = ƯCLN $(60, 48)$

Phân tích:

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$
$48 = 2^4 \times 3$

ƯCLN $(60, 48) = 2^2 \times 3 = 12$

Độ dài cạnh lớn nhất: 12 m

b) Số ô vuông:

Theo chiều dài: $60 : 12 = 5$ (ô)
Theo chiều rộng: $48 : 12 = 4$ (ô)
Tổng số ô: $5 \times 4 = 20$ (ô)

⭐ Ghi nhớ

Ước chung: Số vừa là ước của $a$ , vừa là ước của $b$
ƯCLN: Ước chung lớn nhất của $a$ và $b$
Cách tìm ƯCLN:
1. Liệt kê ước → chọn ước chung lớn nhất
2. Phân tích → chọn thừa số chung với số mũ nhỏ nhất
Nguyên tố cùng nhau: ƯCLN $(a, b) = 1$
Tính chất: ƯCLN $(a, 1) = 1$ ; Nếu $a \vdots b$ thì ƯCLN $(a, b) = b$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tìm ước chung của các cặp số sau:

a) $ƯC(10, 15)$

b) $ƯC(18, 24)$

c) $ƯC(20, 30)$

d) $ƯC(12, 16)$

Bài 2: Tìm ƯCLN bằng cách liệt kê ước:

a) ƯCLN $(12, 18)$

b) ƯCLN $(15, 25)$

c) ƯCLN $(20, 30)$

d) ƯCLN $(14, 21)$

Bài 3: Tìm ƯCLN bằng phân tích ra thừa số nguyên tố:

a) ƯCLN $(24, 36)$

b) ƯCLN $(48, 72)$

c) ƯCLN $(60, 90)$

d) ƯCLN $(100, 150)$

Bài 4: Kiểm tra các cặp số sau có nguyên tố cùng nhau không:

a) $(8, 15)$

b) $(12, 18)$

c) $(9, 16)$

d) $(14, 21)$

Bài 5: Tìm ƯCLN của ba số:

a) ƯCLN $(12, 18, 24)$

b) ƯCLN $(20, 30, 40)$

c) ƯCLN $(15, 25, 35)$

d) ƯCLN $(24, 36, 48)$

Bài 6 (Thực tế): Một lớp học có $30$ học sinh nam và $24$ học sinh nữ. Cô giáo muốn chia đều thành các nhóm, mỗi nhóm có số nam và số nữ như nhau.

a) Có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu nhóm?

b) Mỗi nhóm có bao nhiêu học sinh nam và bao nhiêu học sinh nữ?

c) Mỗi nhóm có tất cả bao nhiêu học sinh?

d) Nếu muốn mỗi nhóm có đúng $9$ học sinh, có thể chia được không?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $\{1, 5\}$ ; b) $\{1, 2, 3, 6\}$ ; c) $\{1, 2, 5, 10\}$ ; d) $\{1, 2, 4\}$

Bài 2: a) $6$ ; b) $5$ ; c) $10$ ; d) $7$

Bài 3: a) $12$ ; b) $24$ ; c) $30$ ; d) $50$

Bài 4: a) Có; b) Không; c) Có; d) Không

Bài 5: a) $6$ ; b) $10$ ; c) $5$ ; d) $12$

Bài 6: a) $6$ nhóm; b) $5$ nam, $4$ nữ; c) $9$ học sinh; d) Có (vì $5 + 4 = 9$ )