Bài 32: Điểm và đường thẳng
🔷 Điểm và đường thẳng — Những khái niệm cơ bản
Trong hình học, điểm và đường thẳng là những khái niệm cơ bản nhất. Chúng ta sẽ khám phá mối quan hệ giữa chúng!
Vị trí xác định
Tập hợp điểm
📖 1. Khái niệm điểm
Điểm là một vị trí xác định trong không gian. Điểm không có kích thước, không có chiều dài, chiều rộng hay chiều cao.
Ký hiệu: Điểm được ký hiệu bằng một chữ cái in hoa: A, B, C, …
Biểu diễn điểm:
📖 2. Khái niệm đường thẳng
Đường thẳng là một tập hợp vô hạn các điểm nằm trên một hàng, kéo dài vô tận về hai phía.
Ký hiệu: Đường thẳng được ký hiệu bằng một chữ cái thường: a, b, c, d, … hoặc bằng hai điểm trên nó: đường thẳng AB.
Biểu diễn đường thẳng:
📖 3. Quan hệ giữa điểm và đường thẳng
Trường hợp 1: Điểm thuộc đường thẳng
Khi điểm A nằm trên đường thẳng d, ta nói:
- Điểm A thuộc đường thẳng d
- Ký hiệu: A ∈ d
- Đường thẳng d đi qua điểm A
Trường hợp 2: Điểm không thuộc đường thẳng
Khi điểm B không nằm trên đường thẳng d, ta nói:
- Điểm B không thuộc đường thẳng d
- Ký hiệu: B ∉ d
- Điểm B ở ngoài đường thẳng d
📖 4. Tính chất cơ bản
Tính chất 1: Qua hai điểm phân biệt, chỉ có một đường thẳng duy nhất.
Tính chất 2: Một đường thẳng chứa vô số điểm.
Tính chất 3: Hai đường thẳng phân biệt có thể:
- Không cắt nhau (0 điểm chung)
- Cắt nhau tại 1 điểm
📖 5. Ba điểm thẳng hàng
Ba điểm thẳng hàng là ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng.
Ví dụ:
Luyện tập
Điểm là gì?
🌍 Vận dụng thực tế
📝 Bài toán 1: Trong một sân chơi, có ba cây cột A, B, C. Hãy xác định:
a) Qua hai cây cột A và B, có bao nhiêu đường thẳng?
b) Nếu ba cây cột thẳng hàng, chúng nằm trên bao nhiêu đường thẳng?
c) Nếu ba cây cột không thẳng hàng, chúng xác định bao nhiêu đường thẳng?
Giải:
a) Qua hai cây cột A và B, có 1 đường thẳng duy nhất (đường thẳng AB).
b) Nếu ba cây cột thẳng hàng, chúng nằm trên 1 đường thẳng.
c) Nếu ba cây cột không thẳng hàng, chúng xác định 3 đường thẳng (AB, BC, AC).
📝 Bài toán 2: Một người đứng tại điểm A, nhìn thẳng về phía trước đến điểm B. Hãy xác định:
a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua A và B?
b) Nếu người đó bước từ A đến B, anh ta đi trên bao nhiêu đường thẳng?
Giải:
a) Có 1 đường thẳng duy nhất đi qua A và B.
b) Anh ta đi trên 1 đường thẳng (đường thẳng AB).
- Điểm là vị trí xác định, không có kích thước
- Đường thẳng là tập hợp vô hạn các điểm nằm trên một hàng
- A ∈ d: Điểm A thuộc đường thẳng d
- A ∉ d: Điểm A không thuộc đường thẳng d
- Qua hai điểm phân biệt, chỉ có một đường thẳng duy nhất
- Một đường thẳng chứa vô số điểm
- Ba điểm thẳng hàng là ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng
📝 Bài tập tự luận
Bài 1: Cho ba điểm A, B, C. Hãy xác định:
a) Qua A và B có bao nhiêu đường thẳng?
b) Qua A, B, C (không thẳng hàng) có bao nhiêu đường thẳng?
c) Qua A, B, C (thẳng hàng) có bao nhiêu đường thẳng?
d) Qua bốn điểm A, B, C, D (không có ba điểm nào thẳng hàng) có bao nhiêu đường thẳng?
Bài 2: Cho đường thẳng d và điểm A. Hãy xác định:
a) Nếu A ∈ d, điểm A có nằm trên d không?
b) Nếu A ∉ d, điểm A có nằm trên d không?
c) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua A và vuông góc với d?
d) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua A và song song với d?
Bài 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E. Hãy xác định:
a) Nếu năm điểm thẳng hàng, chúng nằm trên bao nhiêu đường thẳng?
b) Nếu không có ba điểm nào thẳng hàng, chúng xác định bao nhiêu đường thẳng?
c) Nếu A, B, C thẳng hàng, D, E không nằm trên đường thẳng ABC, chúng xác định bao nhiêu đường thẳng?
Bài 4: Cho ba đường thẳng a, b, c. Hãy xác định:
a) Nếu a, b, c đôi một cắt nhau tại ba điểm phân biệt, có bao nhiêu điểm cắt?
b) Nếu a, b, c đôi một song song, có bao nhiêu điểm cắt?
c) Nếu a ∥ b, c cắt cả a và b, có bao nhiêu điểm cắt?
Bài 5: Cho bốn điểm A, B, C, D không có ba điểm nào thẳng hàng. Hãy xác định:
a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm?
b) Có bao nhiêu đoạn thẳng nối hai điểm?
c) Có bao nhiêu tia có gốc tại một trong bốn điểm?
Bài 6 (Thực tế): Trong một sân chơi, có sáu cây cột A, B, C, D, E, F. Biết rằng:
- A, B, C thẳng hàng
- D, E, F thẳng hàng
- Không có ba cây cột khác nào thẳng hàng
Hãy xác định:
a) Có bao nhiêu đường thẳng được xác định bởi các cây cột?
b) Nếu thêm một cây cột G không nằm trên hai đường thẳng trên, có bao nhiêu đường thẳng?
📊 Đáp số
Bài 1: a) 1; b) 3; c) 1; d) 6
Bài 2: a) Có; b) Không; c) 1; d) 1
Bài 3: a) 1; b) 10; c) 7
Bài 4: a) 3; b) 0; c) 2
Bài 5: a) 6; b) 6; c) 12
Bài 6: a) 4; b) 10