Bài 11: Định lí và chứng minh định lí

Phát biểu: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Giả thiết: Hai góc $\widehat{O_1}$ và $\widehat{O_3}$ đối đỉnh

Kết luận: $\widehat{O_1} = \widehat{O_3}$

Phát biểu: Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

Giả thiết: Hai góc so le trong bằng nhau

Kết luận: Hai đường thẳng song song

Giả thiết: $\widehat{O_1}$ và $\widehat{O_3}$ đối đỉnh

Kết luận: $\widehat{O_1} = \widehat{O_3}$

Chứng minh:

Ta có: $\widehat{O_1}$ và $\widehat{O_2}$ kề bù nên: \widehat{O_1} + \widehat{O_2} = 180^\\circ \quad (1)

$\widehat{O_2}$ và $\widehat{O_3}$ kề bù nên: \widehat{O_2} + \widehat{O_3} = 180^\\circ \quad (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{O_1} + \widehat{O_2} = \widehat{O_2} + \widehat{O_3}$

$\Rightarrow \widehat{O_1} = \widehat{O_3}$

Định lí thuận: Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.

• GT: Hai góc so le trong bằng nhau
• KL: Hai đường thẳng song song

Định lí đảo: Nếu hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau.

• GT: Hai đường thẳng song song
• KL: Hai góc so le trong bằng nhau

Cả hai định lí đều đúng!

Định lí thuận: Nếu $a = b$ thì $a^2 = b^2$ (đúng)

Định lí đảo: Nếu $a^2 = b^2$ thì $a = b$ (sai, vì có thể $a = -b$)

1. Tiên đề: Khẳng định được thừa nhận là đúng không cần chứng minh

   • Ví dụ: Tiên đề Euclid

2. Định lí: Khẳng định cần được chứng minh

   • Ví dụ: Hai góc đối đỉnh bằng nhau

3. Hệ quả: Kết quả suy ra trực tiếp từ định lí

   • Ví dụ: Từ định lí về góc đối đỉnh

4. Tính chất: Đặc điểm của đối tượng toán học

   • Ví dụ: Tính chất giao hoán của phép cộng

Giả thiết: $a \parallel b$ và $b \parallel c$

Kết luận: $a \parallel c$

Chứng minh:

Vẽ đường thẳng $d$ cắt $a$, $b$, $c$ tại $A$, $B$, $C$.

Vì $a \parallel b$ nên hai góc so le trong tại $A$ và $B$ bằng nhau (gọi là $\alpha$)

Vì $b \parallel c$ nên hai góc so le trong tại $B$ và $C$ bằng nhau (cũng bằng $\alpha$)

Suy ra góc tại $A$ và góc tại $C$ bằng nhau (cùng bằng $\alpha$)

Hai góc so le trong bằng nhau nên $a \parallel c$