Lớp 7 · Chương IV: Tam giác bằng nhau

Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

🚀 Khởi động

🎯 Tam giác cân và đường trung trực

△

Tam giác cân

Hai cạnh bằng nhau

⊥

Đường trung trực

Vuông góc tại trung điểm

🔍 Khám phá

📖 1. Tam giác cân

Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Hai cạnh bằng nhau gọi là hai cạnh bên, cạnh còn lại gọi là cạnh đáy.

Góc tạo bởi hai cạnh bên gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là hai góc ở đáy.

⭐ 2. Tính chất của tam giác cân

Định lí: Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Định lí đảo: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Ví dụ 1: Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\\widehat{A} = 40°$ . Tính $\\widehat{B}$ và $\\widehat{C}$ .

Giải:

Vì $\\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $\\widehat{B} = \\widehat{C}$

Ta có: $\\widehat{A} + \\widehat{B} + \\widehat{C} = 180°$

$40° + \\widehat{B} + \\widehat{B} = 180°$

$2\\widehat{B} = 140°$

$\\widehat{B} = 70°$

Vậy $\\widehat{B} = \\widehat{C} = 70°$

📐 3. Đường cao trong tam giác cân

Định lí: Trong tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là:

Đường trung tuyến
Đường phân giác
Đường trung trực của cạnh đáy

📏 4. Đường trung trực của đoạn thẳng

Định nghĩa: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

⭐ 5. Tính chất đường trung trực

Định lí 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Định lí 2 (Đảo): Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng $AB$ , $I$ là trung điểm. Đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ tại $I$ . Điểm $M$ nằm trên $d$ . Chứng minh $MA = MB$ .

Giải:

Vì $d$ là đường trung trực của $AB$ (vuông góc với $AB$ tại trung điểm $I$ )

Điểm $M$ nằm trên $d$ nên $M$ cách đều hai đầu mút $A$ và $B$

Vậy $MA = MB$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Tam giác cân là tam giác có:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Kẻ $AH \\perp BC$ tại $H$ .

a) Chứng minh $H$ là trung điểm của $BC$

b) Chứng minh $AH$ là tia phân giác của góc $A$

Giải:

a) Xét $\\triangle ABH$ và $\\triangle ACH$ (vuông tại $H$ ) có:

$AB = AC$ (gt: tam giác cân)
$AH$ chung

Vậy $\\triangle ABH = \\triangle ACH$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra $BH = CH$ , do đó $H$ là trung điểm của $BC$

b) Từ $\\triangle ABH = \\triangle ACH$ suy ra $\\widehat{BAH} = \\widehat{CAH}$

Vậy $AH$ là tia phân giác của góc $A$

⭐ Ghi nhớ

Tam giác cân: có hai cạnh bằng nhau
Tính chất: hai góc ở đáy bằng nhau
Định lí đảo: hai góc bằng nhau → tam giác cân
Đường cao từ đỉnh: là trung tuyến, phân giác, trung trực
Đường trung trực: vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm
Tính chất: điểm trên đường trung trực cách đều hai đầu mút

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , có $\\widehat{A} = 50°$ . Tính $\\widehat{B}$ và $\\widehat{C}$ .

Bài 2: Cho tam giác $DEF$ có $\\widehat{D} = 70°$ , $\\widehat{E} = 70°$ . Chứng minh tam giác $DEF$ cân.

Bài 3: Cho đoạn thẳng $AB$ dài 6 cm. Vẽ đường trung trực $d$ của $AB$ . Lấy điểm $M$ trên $d$ . Tính $MA + MB$ .

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Kẻ $AH \\perp BC$ . Biết $BC = 8$ cm, $AH = 3$ cm. Tính chu vi tam giác $ABC$ .

Bài 5: Cho tam giác $MNP$ cân tại $M$ , có $\\widehat{N} = 65°$ . Tính $\\widehat{M}$ .

Bài 6: Cho đoạn thẳng $AB$ . Điểm $M$ cách đều $A$ và $B$ , điểm $N$ cách đều $A$ và $B$ . Chứng minh $M$ , $N$ nằm trên đường trung trực của $AB$ .

📊 Đáp số

Bài 1: $\\widehat{B} = \\widehat{C} = 65°$

Bài 2: Vì $\\widehat{D} = \\widehat{E} = 70°$ nên tam giác $DEF$ cân tại $F$

Bài 3: $MA + MB = 2MA = 2MB$ (vì $MA = MB$ ). Không tính được giá trị cụ thể vì không biết vị trí $M$

Bài 4: $BH = HC = 4$ cm. $AB = AC = \\sqrt{AH^2 + BH^2} = \\sqrt{9 + 16} = 5$ cm. Chu vi = $5 + 5 + 8 = 18$ cm

Bài 5: $\\widehat{M} = 180° - 65° - 65° = 50°$

Bài 6: Vì $M$ và $N$ đều cách đều hai đầu mút $A$ , $B$ nên theo định lí đảo, chúng nằm trên đường trung trực của $AB$