Lớp 7 · Chương II: Số thực

Bài 6: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

🚀 Khởi động

🎯 Số vô tỉ — Khám phá thế giới số mới

Không phải mọi số đều viết được dưới dạng phân số. Hãy khám phá số vô tỉ!

📐

Số hữu tỉ

$\\dfrac{1}{2} = 0,\\!5$

🔢

Số vô tỉ

$\\sqrt{2} = 1,\\!414...$

🥧

$\\pi = 3,\\!14159...$

🔍 Khám phá

📖 1. Số vô tỉ

Định nghĩa: Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Số vô tỉ không thể viết được dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ với $a, b \in \mathbb{Z}$ , $b \neq 0$ .

Ví dụ 1: Các số vô tỉ

$\sqrt{2} = 1,\!41421356...$ (căn bậc hai của 2)
$\sqrt{3} = 1,\!73205080...$ (căn bậc hai của 3)
$\pi = 3,\!14159265...$ (số pi, tỉ số chu vi và đường kính hình tròn)
$e = 2,\!71828182...$ (số Euler)

Các số này có vô hạn chữ số sau dấu phẩy và không lặp lại theo chu kỳ.

So sánh số hữu tỉ và số vô tỉ:

Đặc điểm	Số hữu tỉ	Số vô tỉ
Dạng phân số	Viết được	Không viết được
Số thập phân	Hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn	Vô hạn không tuần hoàn
Ví dụ	$\dfrac{1}{2}$ , $0,\overline{3}$	$\sqrt{2}$ , $\pi$

√ 2. Căn bậc hai

Định nghĩa: Căn bậc hai của một số $a$ không âm là số $x$ sao cho $x^2 = a$ .

Mỗi số dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.

Ví dụ 2:

Căn bậc hai của 9 là 3 và -3 vì $3^2 = 9$ và $(-3)^2 = 9$
Căn bậc hai của 16 là 4 và -4 vì $4^2 = 16$ và $(-4)^2 = 16$
Căn bậc hai của 0 là 0 vì $0^2 = 0$

Lưu ý: Số âm không có căn bậc hai (trong tập số thực).

✓ 3. Căn bậc hai số học

Định nghĩa: Căn bậc hai số học của một số $a$ không âm, ký hiệu $\sqrt{a}$ , là số không âm có bình phương bằng $a$ .

$\sqrt{a} \geq 0 \text{ và } (\sqrt{a})^2 = a$

Ví dụ 3:

$\sqrt{4} = 2$ (chỉ lấy giá trị dương)
$\sqrt{9} = 3$
$\sqrt{16} = 4$
$\sqrt{25} = 5$
$\sqrt{0} = 0$
$\sqrt{1} = 1$

Chú ý phân biệt:

Căn bậc hai của 9: là 3 và -3
Căn bậc hai số học của 9: $\sqrt{9} = 3$ (chỉ lấy giá trị dương)

⚡ 4. Tính chất của căn bậc hai số học

Các tính chất cơ bản:

$\sqrt{a^2} = |a|$ với mọi $a$
- Nếu $a \geq 0$ thì $\sqrt{a^2} = a$
- Nếu $a < 0$ thì $\sqrt{a^2} = -a$
$(\sqrt{a})^2 = a$ với $a \geq 0$
Nếu $0 \leq a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$
$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ với $a, b \geq 0$
$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a \geq 0$ , $b > 0$

Ví dụ 4: Áp dụng tính chất

a) $\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$

b) $\sqrt{36} = \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$

c) $\sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \dfrac{4}{5}$

d) $\sqrt{3^2} = |3| = 3$

e) $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$

⚖️ 5. So sánh căn bậc hai số học

Quy tắc: Với $a, b \geq 0$ :

Nếu $a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$
Nếu $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ thì $a < b$

Ví dụ 5:

a) So sánh $\sqrt{5}$ và $\sqrt{7}$

Vì $5 < 7$ nên $\sqrt{5} < \sqrt{7}$

b) So sánh $\sqrt{10}$ và 3

Ta có: $3 = \sqrt{9}$

Vì $10 > 9$ nên $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$

c) So sánh $\sqrt{2}$ và $1,\!5$

Ta có: $1,\!5 = \dfrac{3}{2}$ , nên $1,\!5^2 = 2,\!25$

Vì $2 < 2,\!25$ nên $\sqrt{2} < \sqrt{2,\!25} = 1,\!5$

📊 6. Bảng căn bậc hai số học

$n$	$\sqrt{n}$	$n$	$\sqrt{n}$
1	1	36	6
4	2	49	7
9	3	64	8
16	4	81	9
25	5	100	10

Ví dụ 6: Ước lượng căn bậc hai

Ước lượng $\sqrt{50}$

Ta có: $49 < 50 < 64$

Nên: $\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}$

Hay: $7 < \sqrt{50} < 8$

Vậy $\sqrt{50} \approx 7,\!07$

🔬 7. Ứng dụng thực tế

Ví dụ 7: Tính cạnh hình vuông

Một hình vuông có diện tích $36 \text{ cm}^2$ . Tính độ dài cạnh.

Gọi cạnh hình vuông là $a$ (cm), $a > 0$

Diện tích: $a^2 = 36$

Suy ra: $a = \sqrt{36} = 6$ (cm)

Ví dụ 8: Định lý Pythagore

Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 3 cm và 4 cm. Tính cạnh huyền.

Theo định lý Pythagore:

$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$ (cm)

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Số vô tỉ là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán: Một mảnh vườn hình vuông có diện tích $144 \text{ m}^2$ .

a) Tính độ dài cạnh của mảnh vườn.

b) Tính chu vi của mảnh vườn.

c) Nếu muốn tăng diện tích lên $196 \text{ m}^2$ , cạnh phải tăng thêm bao nhiêu mét?

Giải:

a) Độ dài cạnh: $a = \sqrt{144} = 12$ (m)

b) Chu vi: $P = 4 \times 12 = 48$ (m)

c) Cạnh mới: $a' = \sqrt{196} = 14$ (m)

Tăng thêm: $14 - 12 = 2$ (m)

⭐ Ghi nhớ

Số vô tỉ: Số thập phân vô hạn không tuần hoàn
Căn bậc hai: Số $x$ sao cho $x^2 = a$
Căn bậc hai số học: $\sqrt{a} \geq 0$ và $(\sqrt{a})^2 = a$
Tính chất: $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
So sánh: $a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ (với $a, b \geq 0$ )
Số âm không có căn bậc hai
$\sqrt{a^2} = |a|$

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tính:

a) $\sqrt{1}$ b) $\sqrt{4}$ c) $\sqrt{9}$ d) $\sqrt{16}$

e) $\sqrt{25}$ f) $\sqrt{36}$ g) $\sqrt{49}$ h) $\sqrt{100}$

Bài 2: Tính:

a) $\sqrt{0,\!25}$ b) $\sqrt{0,\!64}$ c) $\sqrt{\dfrac{1}{4}}$ d) $\sqrt{\dfrac{9}{16}}$

Bài 3: Phân loại các số sau thành số hữu tỉ hoặc số vô tỉ:

a) $\sqrt{4}$ b) $\sqrt{5}$ c) $\sqrt{9}$ d) $\sqrt{10}$

e) $\pi$ f) $0,\overline{3}$ g) $\sqrt{16}$ h) $\sqrt{2}$

Bài 4: So sánh:

a) $\sqrt{3}$ và $\sqrt{5}$

b) $\sqrt{10}$ và 3

c) $\sqrt{7}$ và 2,!5

d) $\sqrt{20}$ và 4,!5

Bài 5: Tính:

a) $\sqrt{4 \times 9}$

b) $\sqrt{16 \times 25}$

c) $\sqrt{\dfrac{36}{49}}$

d) $\sqrt{2^2 + 3^2}$

Bài 6: Tìm $x$ , biết:

a) $\sqrt{x} = 5$

b) $\sqrt{x} = 7$

c) $x^2 = 64$ (với $x > 0$ )

d) $\sqrt{x + 1} = 4$

Bài 7 (Thực tế): Một hình vuông có diện tích $81 \text{ cm}^2$ .

a) Tính độ dài cạnh.

b) Tính chu vi.

c) Nếu tăng cạnh thêm 3 cm, diện tích mới là bao nhiêu?

Bài 8 (Pythagore): Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 5 cm và 12 cm.

a) Tính cạnh huyền.

b) Tính chu vi tam giác.

📊 Đáp số

Bài 1: a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5; f) 6; g) 7; h) 10

Bài 2: a) 0,5; b) 0,8; c) $\dfrac{1}{2}$ ; d) $\dfrac{3}{4}$

Bài 3: Hữu tỉ: a, c, f, g; Vô tỉ: b, d, e, h

Bài 4: a) $\sqrt{3} < \sqrt{5}$ ; b) $\sqrt{10} > 3$ ; c) $\sqrt{7} > 2,\!5$ ; d) $\sqrt{20} < 4,\!5$

Bài 5: a) 6; b) 20; c) $\dfrac{6}{7}$ ; d) $\sqrt{13}$

Bài 6: a) $x = 25$ ; b) $x = 49$ ; c) $x = 8$ ; d) $x = 15$

Bài 7: a) 9 cm; b) 36 cm; c) 144 cm²

Bài 8: a) 13 cm; b) 30 cm