Lớp 7 · Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

🚀 Khởi động

🎯 Đường vuông góc và đường xiên

⊥

Đường vuông góc

Ngắn nhất

↗

Đường xiên

Dài hơn

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm

Đường vuông góc: Từ điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$ , đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $d$ là đoạn thẳng $AH$ vuông góc với $d$ tại $H$ .

Đường xiên: Đường xiên kẻ từ $A$ đến $d$ là đoạn thẳng nối $A$ với một điểm bất kỳ trên $d$ (khác $H$ ).

Hình chiếu: Hình chiếu của đường xiên $AB$ trên $d$ là đoạn thẳng $HB$ .

📖 2. Đường vuông góc ngắn nhất

Định lí 1: Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến các điểm trên đường thẳng đó, đường vuông góc là đoạn thẳng ngắn nhất.

$AH < AB$ với $AB$ là đường xiên bất kỳ.

Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ là độ dài đường vuông góc $AH$ .

Ví dụ 1: Từ điểm $A$ cách đường thẳng $d$ một khoảng 4 cm. Kẻ đường xiên $AB = 5$ cm. So sánh $AH$ và $AB$ .

$AH = 4$ cm (đường vuông góc)

$AB = 5$ cm (đường xiên)

Vậy $AH < AB$ (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

📖 3. So sánh hai đường xiên

Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hình chiếu bằng nhau.

b) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

c) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

Ví dụ 2: Từ điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$ , kẻ $AH \perp d$ . Trên $d$ lấy các điểm $B$ , $C$ sao cho $HB = 3$ cm, $HC = 5$ cm. So sánh $AB$ và $AC$ .

Hình chiếu của $AB$ là $HB = 3$ cm

Hình chiếu của $AC$ là $HC = 5$ cm

Vì $HB < HC$ nên $AB < AC$

📖 4. Áp dụng định lí Pythagore

Ví dụ 3: Từ điểm $A$ cách đường thẳng $d$ một khoảng 6 cm, kẻ đường xiên $AB = 10$ cm. Tính độ dài hình chiếu $HB$ .

Tam giác $AHB$ vuông tại $H$ :

$AH = 6$ cm, $AB = 10$ cm

Theo định lí Pythagore:

$HB^2 = AB^2 - AH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$HB = 8$ cm

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn nào ngắn nhất?

🌍 Vận dụng

Bài toán: Một cột đèn cao 8 m đặt vuông góc với mặt đất. Từ đỉnh cột, người ta căng dây đến mặt đất. Dây thứ nhất dài 10 m, dây thứ hai có chân cách chân cột 9 m.

a) Tính khoảng cách từ chân dây thứ nhất đến chân cột.

b) Tính độ dài dây thứ hai.

c) Dây nào dài hơn?

Giải:

a) Gọi $A$ là đỉnh cột, $H$ là chân cột, $B$ là chân dây thứ nhất.

Tam giác $AHB$ vuông tại $H$ : $AH = 8$ m, $AB = 10$ m

$HB = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{100 - 64} = 6$ m

b) Gọi $C$ là chân dây thứ hai, $HC = 9$ m

Tam giác $AHC$ vuông tại $H$ :

$AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145} \approx 12.04$ m

c) Vì $HC = 9$ m $> HB = 6$ m nên $AC > AB$

Dây thứ hai dài hơn.

⭐ Ghi nhớ

Đường vuông góc: ngắn nhất
Khoảng cách: độ dài đường vuông góc
Hình chiếu bằng nhau → đường xiên bằng nhau
Hình chiếu lớn hơn → đường xiên lớn hơn
Đường xiên lớn hơn → hình chiếu lớn hơn

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Từ điểm $A$ cách đường thẳng $d$ một khoảng 5 cm. Kẻ các đường xiên $AB = 13$ cm, $AC = 10$ cm. Tính độ dài các hình chiếu $HB$ và $HC$ .

Bài 2: Từ điểm $A$ nằm ngoài đường thẳng $d$ , kẻ $AH \perp d$ . Trên $d$ lấy điểm $B$ sao cho $HB = 12$ cm, $AB = 13$ cm. Tính $AH$ .

Bài 3: Cho điểm $A$ cách đường thẳng $d$ một khoảng 8 cm. Trên $d$ lấy hai điểm $B$ , $C$ sao cho $HB = 6$ cm, $HC = 15$ cm. So sánh $AB$ và $AC$ .

Bài 4: Từ điểm $A$ cách đường thẳng $d$ một khoảng 7 cm, kẻ đường xiên $AB$ có hình chiếu $HB = 24$ cm. Tính $AB$ .

Bài 5: Chứng minh: Nếu hai đường xiên bằng nhau thì có hình chiếu bằng nhau.

📊 Đáp số

Bài 1: $HB = 12$ cm, $HC = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$ cm

Bài 2: $AH = 5$ cm

Bài 3: $AB = 10$ cm, $AC = 17$ cm. Vậy $AB < AC$

Bài 4: $AB = 25$ cm

Bài 5: Sử dụng định lí Pythagore và tính chất tam giác vuông