Lớp 7 · Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Bài 34: Sự đồng quy của ba trung tuyến, ba đường phân giác

🚀 Khởi động

🎯 Đường đồng quy

Trọng tâm

Ba trung tuyến

Tâm nội tiếp

Ba phân giác

🔍 Khám phá

📖 1. Đường trung tuyến và trọng tâm

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.

Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

Định lí: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác.

Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần theo tỉ lệ $2:1$ kể từ đỉnh.

$AG = \frac{2}{3}AM$ , $GM = \frac{1}{3}AM$

Ví dụ 1: Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ , trung tuyến $AM = 15$ cm. Tính $AG$ và $GM$ .

$AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ cm

$GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ cm

Hoặc: $GM = AM - AG = 15 - 10 = 5$ cm

📖 2. Đường phân giác và tâm đường tròn nội tiếp

Đường phân giác của tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến cạnh đối diện và chia góc tại đỉnh đó thành hai góc bằng nhau.

Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Tâm đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh của tam giác.

Ví dụ 2: Tam giác $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$ . Biết $\widehat{BAC} = 80^\circ$ . Tính $\widehat{BAI}$ .

$AI$ là phân giác của $\widehat{BAC}$

$\widehat{BAI} = \frac{1}{2}\widehat{BAC} = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ$

📖 3. Tính chất

Tính chất trọng tâm:

Trọng tâm luôn nằm trong tam giác
$AG:GM = 2:1$
$AG = 2GM$
$AG = \frac{2}{3}AM$

Tính chất tâm đường tròn nội tiếp:

Tâm nội tiếp luôn nằm trong tam giác
Cách đều ba cạnh của tam giác
Là tâm đường tròn tiếp xúc với ba cạnh

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Ba đường trung tuyến của tam giác:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Một tấm ván hình tam giác cần tìm điểm treo để cân bằng. Biết ba cạnh có độ dài $6$ cm, $8$ cm, $10$ cm.

a) Điểm treo nên đặt ở đâu?

b) Nếu trung tuyến từ đỉnh góc vuông dài $5$ cm, tính khoảng cách từ điểm treo đến đỉnh góc vuông.

Giải:

a) Điểm treo là trọng tâm $G$ của tam giác.

b) Khoảng cách từ $G$ đến đỉnh góc vuông:

$AG = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3} \approx 3.33$ cm

⭐ Ghi nhớ

Ba trung tuyến đồng quy tại trọng tâm $G$
Trọng tâm: $AG = 2GM$ , $AG = \frac{2}{3}AM$
Ba phân giác đồng quy tại tâm nội tiếp $I$
Tâm nội tiếp: cách đều ba cạnh
Cả hai điểm đều nằm trong tam giác

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ , trung tuyến $AM = 18$ cm. Tính $AG$ và $GM$ .

Bài 2: Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ . Biết $GM = 4$ cm ( $M$ là trung điểm $BC$ ). Tính $AG$ và $AM$ .

Bài 3: Tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 70^\circ$ , $\widehat{B} = 60^\circ$ , $\widehat{C} = 50^\circ$ . Tâm đường tròn nội tiếp là $I$ . Tính các góc $\widehat{BAI}$ , $\widehat{ABI}$ , $\widehat{BCI}$ .

Bài 4: Chứng minh: Trong tam giác đều, trọng tâm trùng với tâm đường tròn nội tiếp.

Bài 5: Tam giác $ABC$ có $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm, $BC = 10$ cm. Tính độ dài trung tuyến $AM$ .

📊 Đáp số

Bài 1: $AG = 12$ cm, $GM = 6$ cm

Bài 2: $AG = 8$ cm, $AM = 12$ cm

Bài 3: $\widehat{BAI} = 35^\circ$ , $\widehat{ABI} = 30^\circ$ , $\widehat{BCI} = 25^\circ$

Bài 4: Do tính đối xứng của tam giác đều

Bài 5: $AM = 5$ cm (trung tuyến ứng với cạnh huyền)