🚀 Khởi động

🎯 Số thực — Hoàn thiện hệ thống số

Tập hợp số thực bao gồm tất cả các số chúng ta đã học!

🔢

Số tự nhiên

$\\mathbb{N}$

➖

Số nguyên

$\\mathbb{Z}$

📊

Số hữu tỉ

$\\mathbb{Q}$

∞

Số thực

$\\mathbb{R}$

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm số thực

Định nghĩa: Tập hợp số thực, ký hiệu $\mathbb{R}$, bao gồm tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ.

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \text{(Tập số vô tỉ)}$

Ví dụ 1: Các số thực

Số hữu tỉ:

• Số tự nhiên: $0, 1, 2, 3, ...$
• Số nguyên âm: $-1, -2, -3, ...$
• Phân số: $\dfrac{1}{2}, -\dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{6}$
• Số thập phân hữu hạn: $0,\!5; 1,\!25; -2,\!75$
• Số thập phân vô hạn tuần hoàn: $0,\overline{3}; 0,\!1\overline{6}$

Số vô tỉ:

• $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, ...$
• $\pi = 3,\!14159...$
• $e = 2,\!71828...$

🔗 2. Mối quan hệ giữa các tập hợp số

Quan hệ bao hàm:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Có nghĩa là:

• Mọi số tự nhiên đều là số nguyên
• Mọi số nguyên đều là số hữu tỉ
• Mọi số hữu tỉ đều là số thực
• Số vô tỉ cũng là số thực

Minh họa bằng sơ đồ Ven:

📏 3. Trục số thực

Mọi số thực đều biểu diễn được trên trục số, và ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

📐 4. Giá trị tuyệt đối của số thực

Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số thực $x$, ký hiệu $|x|$, là khoảng cách từ điểm $x$ đến điểm $0$ trên trục số.

$|x| = \begin{cases} x & \text{nếu } x \geq 0 \\ -x & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$

Ví dụ 2:

• $|5| = 5$
• $|-3| = 3$
• $|0| = 0$
• $|\sqrt{2}| = \sqrt{2}$
• $|-\pi| = \pi$
• $\left|\dfrac{-2}{3}\right| = \dfrac{2}{3}$

Tính chất của giá trị tuyệt đối:

1. $|x| \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
2. $|x| = 0 \Leftrightarrow x = 0$
3. $|x| = |-x|$
4. $|x \times y| = |x| \times |y|$
5. $\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}$ (với $y \neq 0$)

⚖️ 5. So sánh số thực

Quy tắc: So sánh số thực giống như so sánh số hữu tỉ, dựa vào vị trí trên trục số.

Ví dụ 3: So sánh các số thực

a) So sánh $\sqrt{2}$ và $1,\!5$

$\sqrt{2} \approx 1,\!414 < 1,\!5$

b) So sánh $\pi$ và $3,\!2$

$\pi \approx 3,\!14159 < 3,\!2$

c) So sánh $-\sqrt{3}$ và $-2$

$\sqrt{3} \approx 1,\!732 < 2$

Nên $-\sqrt{3} > -2$ (số âm lớn hơn có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn)

d) So sánh $\sqrt{5}$ và $\dfrac{9}{4}$

$\sqrt{5} \approx 2,\!236$ và $\dfrac{9}{4} = 2,\!25$

Nên $\sqrt{5} < \dfrac{9}{4}$

➕ 6. Các phép toán với số thực

Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia với số thực có các tính chất giống như với số hữu tỉ.

Tính chất của phép cộng và phép nhân:

1. Giao hoán: $a + b = b + a$; $a \times b = b \times a$
2. Kết hợp: $(a + b) + c = a + (b + c)$; $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
3. Phân phối: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
4. Phần tử trung hòa: $a + 0 = a$; $a \times 1 = a$

Ví dụ 4: Tính toán với số thực

a) $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

b) $3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

c) $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$

d) $\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$

🔄 7. Làm tròn số thực

Trong thực tế, ta thường làm tròn số vô tỉ đến một số chữ số thập phân nhất định.

Ví dụ 5:

Số	Làm tròn đến hàng phần mười	Làm tròn đến hàng phần trăm
$\sqrt{2} = 1,\!41421...$	$1,\!4$	$1,\!41$
$\pi = 3,\!14159...$	$3,\!1$	$3,\!14$
$\sqrt{3} = 1,\!73205...$	$1,\!7$	$1,\!73$

✏️ Luyện tập

Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Tập hợp số thực được ký hiệu là:

A$\mathbb{R}$B$\mathbb{Q}$C$\mathbb{Z}$D$\mathbb{N}$

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán: Một hình tròn có bán kính $r = 5$ cm.

a) Tính chu vi hình tròn (công thức: $C = 2\pi r$). Làm tròn đến hàng phần mười.

b) Tính diện tích hình tròn (công thức: $S = \pi r^2$). Làm tròn đến hàng đơn vị.

c) Nếu tăng bán kính lên $7$ cm, diện tích tăng thêm bao nhiêu?

Giải: (Lấy $\pi \approx 3,\!14$)

a) Chu vi: $C = 2 \times 3,\!14 \times 5 = 31,\!4$ (cm)

b) Diện tích: $S = 3,\!14 \times 5^2 = 3,\!14 \times 25 = 78,\!5 \approx 79$ (cm²)

c) Diện tích mới: $S' = 3,\!14 \times 7^2 = 3,\!14 \times 49 = 153,\!86 \approx 154$ (cm²)

Tăng thêm: $154 - 79 = 75$ (cm²)

⭐ Ghi nhớ

• Số thực ($\mathbb{R}$): Bao gồm số hữu tỉ và số vô tỉ
• Quan hệ: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
• Trục số: Mọi số thực đều biểu diễn được trên trục số
• Giá trị tuyệt đối: $|x|$ là khoảng cách từ $x$ đến $0$
• So sánh: Dựa vào vị trí trên trục số
• Các phép toán với số thực có tính chất giống số hữu tỉ
• Số vô tỉ thường được làm tròn trong thực tế

---

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Phân loại các số sau thành số hữu tỉ hoặc số vô tỉ:

a) $5$     b) $\sqrt{7}$     c) $-\dfrac{3}{4}$     d) $\pi$

e) $0,\overline{6}$     f) $\sqrt{16}$     g) $\sqrt{10}$     h) $-2,\!5$

Bài 2: Tính giá trị tuyệt đối:

a) $|7|$     b) $|-5|$     c) $|\sqrt{3}|$     d) $|-\pi|$

e) $\left|\dfrac{-2}{5}\right|$     f) $|0|$     g) $|-\sqrt{2}|$     h) $|3 - \pi|$

Bài 3: So sánh:

a) $\sqrt{3}$ và $1,\!8$

b) $\pi$ và $3,\!15$

c) $\sqrt{5}$ và $2,\!3$

d) $-\sqrt{2}$ và $-1,\!5$

Bài 4: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

$-2; \sqrt{3}; 0; -\sqrt{5}; 1,\!5; \pi$

Bài 5: Tính:

a) $\sqrt{2} + \sqrt{2}$

b) $3\sqrt{3} - \sqrt{3}$

c) $\sqrt{5} \times \sqrt{5}$

d) $\dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Bài 6: Tìm $x$, biết:

a) $|x| = 5$

b) $|x - 2| = 3$

c) $|x + 1| = \sqrt{4}$

d) $|2x| = 6$

Bài 7 (Thực tế): Một hình tròn có đường kính $d = 10$ cm.

a) Tính bán kính.

b) Tính chu vi (lấy $\pi \approx 3,\!14$).

c) Tính diện tích.

Bài 8: Làm tròn các số sau đến hàng phần trăm:

a) $\sqrt{2} = 1,\!41421...$

b) $\pi = 3,\!14159...$

c) $\sqrt{5} = 2,\!23606...$

d) $\sqrt{7} = 2,\!64575...$

📊 Đáp số

Bài 1: Hữu tỉ: a, c, e, f, h; Vô tỉ: b, d, g

Bài 2: a) 7; b) 5; c) $\sqrt{3}$; d) $\pi$; e) $\dfrac{2}{5}$; f) 0; g) $\sqrt{2}$; h) $\pi - 3$

Bài 3: a) $\sqrt{3} < 1,\!8$; b) $\pi < 3,\!15$; c) $\sqrt{5} < 2,\!3$; d) $-\sqrt{2} < -1,\!5$

Bài 4: $-\sqrt{5} < -2 < 0 < 1,\!5 < \sqrt{3} < \pi$

Bài 5: a) $2\sqrt{2}$; b) $2\sqrt{3}$; c) 5; d) 2

Bài 6: a) $x = \pm 5$; b) $x = 5$ hoặc $x = -1$; c) $x = 1$ hoặc $x = -3$; d) $x = \pm 3$

Bài 7: a) 5 cm; b) 31,4 cm; c) 78,5 cm²

Bài 8: a) 1,41; b) 3,14; c) 2,24; d) 2,65