Lớp 7 · Chương I: Số hữu tỉ

Bài 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

🚀 Khởi động

🎯 Các phép toán với số hữu tỉ

Học cách cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán thực tế!

➕

Cộng

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}$

➖

Trừ

$\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d}$

✖️

Nhân

$\dfrac{a}{b} \\times \dfrac{c}{d}$

➗

Chia

$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$

🔍 Khám phá

➕ 1. Phép cộng số hữu tỉ

Quy tắc cộng hai số hữu tỉ:

Với $x = \dfrac{a}{m}$ và $y = \dfrac{b}{m}$ (cùng mẫu số):

$x + y = \dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{a + b}{m}$

Nếu hai phân số khác mẫu, ta quy đồng mẫu số rồi cộng.

Ví dụ 1:

a) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{2+3}{5} = \dfrac{5}{5} = 1$

b) $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$

c) $-\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} = -\dfrac{4}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$

Tính chất của phép cộng:

Giao hoán: $a + b = b + a$
Kết hợp: $(a + b) + c = a + (b + c)$
Cộng với 0: $a + 0 = 0 + a = a$
Số đối: $a + (-a) = 0$

➖ 2. Phép trừ số hữu tỉ

Quy tắc trừ hai số hữu tỉ:

$x - y = x + (-y)$

Muốn trừ số hữu tỉ $y$ , ta cộng với số đối của $y$ .

Ví dụ 2:

a) $\dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5-2}{7} = \dfrac{3}{7}$

b) $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}$

c) $-\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{5} = -\dfrac{2}{5} + \left(-\dfrac{3}{5}\right) = -\dfrac{5}{5} = -1$

✖️ 3. Phép nhân số hữu tỉ

Quy tắc nhân hai số hữu tỉ:

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$

Tử nhân tử, mẫu nhân mẫu.

Ví dụ 3:

a) $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 5} = \dfrac{8}{15}$

b) $-\dfrac{3}{7} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{(-3) \times 2}{7 \times 5} = -\dfrac{6}{35}$

c) $\dfrac{5}{6} \times \left(-\dfrac{3}{10}\right) = -\dfrac{15}{60} = -\dfrac{1}{4}$

Tính chất của phép nhân:

Giao hoán: $a \times b = b \times a$
Kết hợp: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
Nhân với 1: $a \times 1 = 1 \times a = a$
Phân phối: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

🔄 4. Số nghịch đảo

Định nghĩa: Hai số gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.

Số nghịch đảo của $\dfrac{a}{b}$ (với $a, b \neq 0$ ) là $\dfrac{b}{a}$ .

Ví dụ 4:

Số nghịch đảo của $\dfrac{3}{4}$ là $\dfrac{4}{3}$ vì $\dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{3} = 1$
Số nghịch đảo của $-\dfrac{5}{2}$ là $-\dfrac{2}{5}$
Số nghịch đảo của $7 = \dfrac{7}{1}$ là $\dfrac{1}{7}$
Số $0$ không có số nghịch đảo

➗ 5. Phép chia số hữu tỉ

Quy tắc chia hai số hữu tỉ:

$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} \quad (c \neq 0)$

Muốn chia cho một số hữu tỉ, ta nhân với số nghịch đảo của nó.

Ví dụ 5:

a) $\dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$

b) $-\dfrac{5}{6} : \dfrac{2}{3} = -\dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{2} = -\dfrac{15}{12} = -\dfrac{5}{4}$

c) $\dfrac{7}{8} : (-2) = \dfrac{7}{8} : \left(-\dfrac{2}{1}\right) = \dfrac{7}{8} \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{7}{16}$

⚡ 6. Quy tắc dấu

Quy tắc dấu trong phép nhân và chia:

$(+) \times (+) = (+)$ $(+) : (+) = (+)$
$(+) \times (-) = (-)$ $(+) : (-) = (-)$
$(-) \times (+) = (-)$ $(-) : (+) = (-)$
$(-) \times (-) = (+)$ $(-) : (-) = (+)$

Ví dụ 6:

a) $\left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \left(-\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 4} = \dfrac{1}{2}$

b) $\left(-\dfrac{5}{6}\right) : \left(-\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{4}$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Kết quả của phép tính $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}$ là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán: Một công nhân hoàn thành $\dfrac{2}{5}$ công việc trong ngày đầu và $\dfrac{1}{4}$ công việc trong ngày thứ hai.

a) Sau hai ngày, công nhân đã hoàn thành bao nhiêu phần công việc?

b) Còn lại bao nhiêu phần công việc chưa hoàn thành?

c) Nếu ngày thứ ba hoàn thành $\dfrac{1}{3}$ công việc, thì tổng cộng đã hoàn thành bao nhiêu?

Giải:

a) Sau hai ngày: $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{13}{20}$ công việc

b) Còn lại: $1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac{20}{20} - \dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}$ công việc

c) Tổng cộng: $\dfrac{13}{20} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{39}{60} + \dfrac{20}{60} = \dfrac{59}{60}$ công việc

⭐ Ghi nhớ

Cộng: Quy đồng mẫu rồi cộng tử: $\dfrac{a}{m} + \dfrac{b}{m} = \dfrac{a+b}{m}$
Trừ: Cộng với số đối: $x - y = x + (-y)$
Nhân: Tử nhân tử, mẫu nhân mẫu: $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$
Chia: Nhân với số nghịch đảo: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$
Số nghịch đảo: $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{b}{a}$ nghịch đảo nhau
Quy tắc dấu: Cùng dấu (+), khác dấu (-)

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7}$ b) $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}$ c) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4}$

d) $\dfrac{7}{8} - \dfrac{5}{12}$ e) $-\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3}$

Bài 2: Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7}$ b) $-\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$ c) $\dfrac{5}{6} \times \left(-\dfrac{2}{15}\right)$

d) $\dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{5}$ e) $-\dfrac{7}{10} : \left(-\dfrac{3}{5}\right)$

Bài 3: Tìm số nghịch đảo của:

a) $\dfrac{5}{8}$ b) $-\dfrac{3}{7}$ c) $4$ d) $-2$

Bài 4: Tính nhanh:

a) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{5}$

b) $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{10}$

c) $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) \times 6$

Bài 5: Tìm $x$ , biết:

a) $x + \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4}$

b) $x - \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$

c) $\dfrac{2}{3} \times x = \dfrac{4}{9}$

d) $x : \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{7}$

Bài 6 (Thực tế): Một bể nước có $\dfrac{3}{4}$ bể đầy. Người ta dùng đi $\dfrac{1}{3}$ bể nước.

a) Hỏi trong bể còn lại bao nhiêu phần nước?

b) Nếu thêm vào $\dfrac{1}{6}$ bể nước nữa thì bể có đầy không?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $\dfrac{5}{7}$ ; b) $\dfrac{1}{2}$ ; c) $\dfrac{23}{20}$ ; d) $\dfrac{11}{24}$ ; e) $\dfrac{1}{15}$

Bài 2: a) $\dfrac{10}{21}$ ; b) $-\dfrac{1}{6}$ ; c) $-\dfrac{1}{9}$ ; d) $\dfrac{15}{8}$ ; e) $\dfrac{7}{6}$

Bài 3: a) $\dfrac{8}{5}$ ; b) $-\dfrac{7}{3}$ ; c) $\dfrac{1}{4}$ ; d) $-\dfrac{1}{2}$

Bài 4: a) $\dfrac{8}{7}$ ; b) $\dfrac{1}{2}$ ; c) $5$

Bài 5: a) $x = \dfrac{7}{20}$ ; b) $x = \dfrac{7}{6}$ ; c) $x = \dfrac{2}{3}$ ; d) $x = \dfrac{6}{35}$

Bài 6: a) $\dfrac{5}{12}$ bể; b) Có, vì $\dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{12} < 1$