Lớp 7 · Chương II: Số thực

Bài 5: Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

🚀 Khởi động

🎯 Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Khi chia một số cho một số khác, đôi khi ta được số thập phân có các chữ số lặp lại mãi!

🔢

Hữu hạn

$0,\\!5 = \\dfrac{1}{2}$

🔄

Vô hạn tuần hoàn

$0,\\!333... = \\dfrac{1}{3}$

∞

Vô hạn không tuần hoàn

$\\sqrt{2} = 1,\\!414...$

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm số thập phân vô hạn tuần hoàn

Định nghĩa: Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số thập phân có một chữ số hoặc một nhóm chữ số liên tiếp lặp đi lặp lại vô hạn lần sau dấu phẩy.

Nhóm chữ số lặp lại gọi là chu kỳ.

Ví dụ 1: Các số thập phân vô hạn tuần hoàn

$0,\!333... = 0,\overline{3}$ (chu kỳ là 3)
$0,\!121212... = 0,\overline{12}$ (chu kỳ là 12)
$0,\!142857142857... = 0,\overline{142857}$ (chu kỳ là 142857)
$2,\!5666... = 2,\!5\overline{6}$ (chu kỳ là 6, bắt đầu từ vị trí thứ 2)

Cách viết: Dùng dấu gạch ngang trên đầu chu kỳ để viết gọn.

📊 2. Phân loại số thập phân vô hạn tuần hoàn

a) Số thập phân vô hạn tuần hoàn thuần tuý

Chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy.

Ví dụ 2:

$0,\overline{3} = 0,\!333...$
$0,\overline{7} = 0,\!777...$
$0,\overline{12} = 0,\!121212...$
$5,\overline{36} = 5,\!363636...$

b) Số thập phân vô hạn tuần hoàn không thuần tuý

Có một số chữ số không lặp lại trước chu kỳ.

Ví dụ 3:

$0,\!1\overline{6} = 0,\!1666...$ (1 không lặp, 6 lặp)
$0,\!25\overline{3} = 0,\!25333...$ (25 không lặp, 3 lặp)
$1,\!2\overline{45} = 1,\!24545...$ (2 không lặp, 45 lặp)

🔄 3. Chuyển phân số thành số thập phân

Khi chia tử cho mẫu, ta có thể được:

Số thập phân hữu hạn
Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 4: Chuyển phân số thành số thập phân

a) $\dfrac{1}{4} = 1 : 4 = 0,\!25$ (hữu hạn)

b) $\dfrac{1}{3} = 1 : 3 = 0,\!333... = 0,\overline{3}$ (vô hạn tuần hoàn)

Phép chia:

  1 : 3 = 0,333...
  10
   9
  ---
   10
    9
  ---
   10
    9
  ---
   ...

Số dư luôn là 1, nên chữ số 3 lặp lại mãi.

c) $\dfrac{5}{6} = 5 : 6 = 0,\!8333... = 0,\!8\overline{3}$

d) $\dfrac{1}{7} = 1 : 7 = 0,\!142857142857... = 0,\overline{142857}$

⚡ 4. Tính chất

Tính chất quan trọng:

Mọi phân số đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Mọi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn đều viết được dưới dạng phân số.
Số hữu tỉ = Số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 5: Nhận biết chu kỳ

Phân số	Số thập phân	Chu kỳ
$\dfrac{1}{3}$	$0,\overline{3}$	3
$\dfrac{2}{3}$	$0,\overline{6}$	6
$\dfrac{1}{6}$	$0,\!1\overline{6}$	6
$\dfrac{1}{9}$	$0,\overline{1}$	1
$\dfrac{1}{11}$	$0,\overline{09}$	09

⚖️ 5. So sánh số thập phân vô hạn tuần hoàn

Quy tắc: So sánh từng chữ số từ trái sang phải, giống như so sánh số thập phân thông thường.

Ví dụ 6:

a) So sánh $0,\overline{3}$ và $0,\!4$

$0,\overline{3} = 0,\!333...$

$0,\!4 = 0,\!400...$

Vì $3 < 4$ nên $0,\overline{3} < 0,\!4$

b) So sánh $0,\!2\overline{5}$ và $0,\!25$

$0,\!2\overline{5} = 0,\!2555...$

$0,\!25 = 0,\!2500...$

Vì $5 > 0$ nên $0,\!2\overline{5} > 0,\!25$

🔬 6. Ứng dụng thực tế

Ví dụ 7: Chia đều

Ba người chia đều 10 nghìn đồng. Mỗi người được bao nhiêu?

$10 : 3 = 3,\overline{3}$ nghìn đồng

$= 3333,\!333...$ đồng

Trong thực tế, ta làm tròn: mỗi người khoảng 3333 đồng.

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Số thập phân vô hạn tuần hoàn là:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

📝 Bài toán: Một chiếc bánh pizza được chia đều cho 3 người. Mỗi người được bao nhiêu phần của chiếc bánh?

a) Viết dưới dạng phân số.

b) Viết dưới dạng số thập phân.

c) Nếu chia cho 6 người thì mỗi người được bao nhiêu?

Giải:

a) Mỗi người được: $\dfrac{1}{3}$ chiếc bánh

b) Dạng số thập phân: $\dfrac{1}{3} = 0,\overline{3}$ chiếc bánh

c) Chia cho 6 người: $\dfrac{1}{6} = 0,\!1\overline{6}$ chiếc bánh

⭐ Ghi nhớ

Số thập phân vô hạn tuần hoàn: Có nhóm chữ số lặp lại vô hạn
Chu kỳ: Nhóm chữ số lặp lại
Cách viết: Dùng dấu gạch trên đầu chu kỳ: $0,\overline{3}$
Thuần tuý: Chu kỳ ngay sau dấu phẩy
Không thuần tuý: Có chữ số không lặp trước chu kỳ
Mọi phân số đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn
Số hữu tỉ = Số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Viết các số sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn (nếu có):

a) $\dfrac{1}{3}$ b) $\dfrac{2}{3}$ c) $\dfrac{1}{6}$ d) $\dfrac{5}{6}$

e) $\dfrac{1}{9}$ f) $\dfrac{2}{9}$ g) $\dfrac{1}{11}$ h) $\dfrac{1}{7}$

Bài 2: Xác định chu kỳ của các số sau:

a) $0,\overline{5}$ b) $0,\overline{12}$ c) $0,\!3\overline{7}$ d) $1,\!2\overline{45}$

Bài 3: Viết các số sau dưới dạng có dấu gạch trên đầu:

a) $0,\!777...$ b) $0,\!252525...$ c) $0,\!1666...$ d) $2,\!3444...$

Bài 4: So sánh các số sau:

a) $0,\overline{3}$ và $0,\!35$

b) $0,\!5$ và $0,\overline{4}$

c) $0,\!2\overline{7}$ và $0,\!27$

d) $1,\overline{6}$ và $1,\!7$

Bài 5: Phân loại các số sau thành số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn:

a) $\dfrac{1}{2}$ b) $\dfrac{1}{3}$ c) $\dfrac{3}{4}$ d) $\dfrac{5}{6}$

e) $\dfrac{7}{8}$ f) $\dfrac{2}{9}$ g) $\dfrac{5}{12}$ h) $\dfrac{1}{15}$

Bài 6: Tìm chu kỳ của các phân số sau khi viết dưới dạng số thập phân:

a) $\dfrac{1}{3}$ b) $\dfrac{1}{7}$ c) $\dfrac{1}{11}$ d) $\dfrac{1}{13}$

Bài 7 (Thực tế): Chia đều 100 nghìn đồng cho 3 người.

a) Mỗi người được bao nhiêu nghìn đồng? Viết dưới dạng phân số và số thập phân.

b) Trong thực tế, nếu làm tròn đến hàng đơn vị, mỗi người được bao nhiêu?

c) Còn thừa bao nhiêu tiền?

📊 Đáp số

Bài 1: a) $0,\overline{3}$ ; b) $0,\overline{6}$ ; c) $0,\!1\overline{6}$ ; d) $0,\!8\overline{3}$ ; e) $0,\overline{1}$ ; f) $0,\overline{2}$ ; g) $0,\overline{09}$ ; h) $0,\overline{142857}$

Bài 2: a) 5; b) 12; c) 7; d) 45

Bài 3: a) $0,\overline{7}$ ; b) $0,\overline{25}$ ; c) $0,\!1\overline{6}$ ; d) $2,\!3\overline{4}$

Bài 4: a) $0,\overline{3} < 0,\!35$ ; b) $0,\!5 > 0,\overline{4}$ ; c) $0,\!2\overline{7} > 0,\!27$ ; d) $1,\overline{6} < 1,\!7$

Bài 5: Hữu hạn: a, c, e, g; Vô hạn tuần hoàn: b, d, f, h

Bài 6: a) 3; b) 142857; c) 09; d) 076923

Bài 7: a) $\dfrac{100}{3}$ nghìn = $33,\overline{3}$ nghìn; b) 33 nghìn/người; c) Thừa 1 nghìn