Lớp 7 · Chương X: Một số hình khối trong thực tiễn

Bài 37: Hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác

🚀 Khởi động

🎯 Hình lăng trụ đứng

△

Lăng trụ tam giác

Đáy tam giác

▭

Lăng trụ tứ giác

Đáy tứ giác

🔍 Khám phá

📖 1. Khái niệm hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứng là hình khối có:

Hai đáy là hai đa giác bằng nhau và song song với nhau
Các mặt bên là các hình chữ nhật
Các cạnh bên vuông góc với hai mặt đáy

Chiều cao của hình lăng trụ đứng là khoảng cách giữa hai mặt đáy (bằng độ dài cạnh bên).

📖 2. Hình lăng trụ đứng tam giác

Hình lăng trụ đứng tam giác có:

2 đáy là hai tam giác bằng nhau
3 mặt bên là hình chữ nhật
6 đỉnh
9 cạnh (3 cạnh đáy trên, 3 cạnh đáy dưới, 3 cạnh bên)

Các công thức:

Cho hình lăng trụ đứng tam giác có:

Diện tích đáy: $S_{đáy}$
Chu vi đáy: $C_{đáy}$
Chiều cao: $h$

1. Diện tích xung quanh:

$S_{xq} = C_{đáy} \cdot h$

2. Diện tích toàn phần:

$S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy}$

3. Thể tích:

$V = S_{đáy} \cdot h$

Ví dụ 1: Hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 6 cm, chiều cao 10 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích.

Giải:

Chu vi đáy: $C = 3 \times 6 = 18$ cm

Diện tích đáy (tam giác đều): $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ cm²

Diện tích xung quanh:

$S_{xq} = C \cdot h = 18 \times 10 = 180$ cm²

Thể tích:

$V = S_{đáy} \cdot h = 9\sqrt{3} \times 10 = 90\sqrt{3} \approx 155.88$ cm³

📖 3. Hình lăng trụ đứng tứ giác

Hình lăng trụ đứng tứ giác có:

2 đáy là hai tứ giác bằng nhau
4 mặt bên là hình chữ nhật
8 đỉnh
12 cạnh (4 cạnh đáy trên, 4 cạnh đáy dưới, 4 cạnh bên)

Chú ý: Hình hộp chữ nhật là trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng tứ giác (khi đáy là hình chữ nhật).

Ví dụ 2: Hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình vuông cạnh 5 cm, chiều cao 8 cm. Tính diện tích toàn phần và thể tích.

Giải:

Chu vi đáy: $C = 4 \times 5 = 20$ cm

Diện tích đáy: $S_{đáy} = 5^2 = 25$ cm²

Diện tích xung quanh:

$S_{xq} = C \cdot h = 20 \times 8 = 160$ cm²

Diện tích toàn phần:

$S_{tp} = S_{xq} + 2S_{đáy} = 160 + 2 \times 25 = 210$ cm²

Thể tích:

$V = S_{đáy} \cdot h = 25 \times 8 = 200$ cm³

📖 4. Mối quan hệ với hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng tứ giác khi đáy là hình chữ nhật.

Hình lập phương là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật khi tất cả các cạnh bằng nhau.

Quan hệ: Hình lập phương ⊂ Hình hộp chữ nhật ⊂ Hình lăng trụ đứng tứ giác

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Hình lăng trụ đứng tam giác có bao nhiêu mặt?

🌍 Vận dụng

Bài toán 1: Một lều trại có dạng hình lăng trụ đứng tam giác. Đáy là tam giác cân có cạnh đáy 4 m, chiều cao tam giác 3 m. Chiều dài lều 5 m.

a) Tính diện tích vải bạt cần để làm mặt bên và hai đầu lều (không tính mặt đáy).

b) Tính thể tích không gian bên trong lều.

Giải:

a) Diện tích đáy tam giác: $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ m²

Tính cạnh bên tam giác cân: $c = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$ m

Chu vi đáy: $C = 4 + 2\sqrt{13} \approx 11.21$ m

Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 11.21 \times 5 \approx 56.05$ m²

Diện tích hai đầu: $2 \times 6 = 12$ m²

Tổng diện tích vải: $56.05 + 12 = 68.05$ m²

b) Thể tích: $V = 6 \times 5 = 30$ m³

Bài toán 2: Một hộp đựng bút hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình chữ nhật 8 cm × 5 cm, chiều cao 12 cm. Tính thể tích hộp.

Giải:

Diện tích đáy: $S = 8 \times 5 = 40$ cm²

Thể tích: $V = 40 \times 12 = 480$ cm³

⭐ Ghi nhớ

Lăng trụ đứng: hai đáy song song, mặt bên chữ nhật
Diện tích xung quanh: $S_{xq} = C_{đáy} \times h$
Thể tích: $V = S_{đáy} \times h$
Lăng trụ tam giác: 5 mặt, 9 cạnh, 6 đỉnh
Lăng trụ tứ giác: 6 mặt, 12 cạnh, 8 đỉnh
Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng tứ giác đặc biệt

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm, chiều cao 12 cm. Tính:

a) Diện tích xung quanh

b) Thể tích

Bài 2: Hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi cạnh 5 cm, chiều cao hình thoi 4 cm, chiều cao lăng trụ 10 cm. Tính thể tích.

Bài 3: Một bể nước hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình vuông cạnh 1.5 m, chiều cao 2 m. Tính thể tích nước bể chứa được (đơn vị: lít).

Bài 4: Hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác đều cạnh 8 cm, chiều cao 15 cm. Tính diện tích toàn phần.

Bài 5: So sánh thể tích của hình lập phương cạnh 6 cm và hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình vuông cạnh 4 cm, chiều cao 9 cm.

📊 Đáp số

Bài 1: a) Cạnh huyền = 10 cm, $S_{xq} = 288$ cm²; b) $V = 288$ cm³

Bài 2: Diện tích đáy = 10 cm², $V = 100$ cm³

Bài 3: $V = 4.5$ m³ = 4500 lít

Bài 4: $S_{tp} = 360 + 32\sqrt{3} \approx 415.43$ cm²

Bài 5: Lập phương: 216 cm³; Lăng trụ: 144 cm³. Lập phương lớn hơn.