Lớp 7 · Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 28: Phép chia đa thức một biến

🚀 Khởi động

🎯 Chia đa thức

Chia từng hạng tử

Phân phối ngược

Số dư

Phần còn lại

🔍 Khám phá

📖 1. Chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc: Chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các thương lại.

$(a + b) : c = a : c + b : c$ (với $c \neq 0$ )

Ví dụ 1: Tính $(6x^3 - 9x^2 + 3x) : 3x$

$(6x^3 - 9x^2 + 3x) : 3x$

$= 6x^3 : 3x - 9x^2 : 3x + 3x : 3x$

$= 2x^2 - 3x + 1$

Lưu ý: Mỗi hạng tử của đa thức phải chia hết cho đơn thức.

📖 2. Chia đa thức cho đa thức

Định lý chia: Cho hai đa thức $A$ và $B$ ( $B \neq 0$ ), tồn tại duy nhất hai đa thức $Q$ (thương) và $R$ (số dư) sao cho:

$A = B \cdot Q + R$

Trong đó: bậc của $R$ nhỏ hơn bậc của $B$ hoặc $R = 0$ .

Nếu $R = 0$ thì $A$ chia hết cho $B$ .

Ví dụ 2: Chia $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2)$

Bước 1: Chia hạng tử bậc cao nhất: $x^2 : x = x$

Bước 2: Nhân $x$ với $(x + 2)$ : $x(x + 2) = x^2 + 2x$

Bước 3: Trừ: $(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 2x) = 3x + 6$

Bước 4: Chia tiếp: $3x : x = 3$

Bước 5: Nhân $3$ với $(x + 2)$ : $3(x + 2) = 3x + 6$

Bước 6: Trừ: $(3x + 6) - (3x + 6) = 0$

Kết quả: $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2) = x + 3$

Ví dụ 3: Chia $(2x^3 - 3x^2 + x - 5) : (x - 2)$

Thực hiện phép chia:

$2x^3 - 3x^2 + x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 3) + 1$

Thương: $Q(x) = 2x^2 + x + 3$

Số dư: $R = 1$

📖 3. Áp dụng hằng đẳng thức

Các phép chia đặc biệt:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

→ $(a^2 - b^2) : (a - b) = a + b$
$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

→ $(a^2 + 2ab + b^2) : (a + b) = a + b$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

→ $(a^2 - 2ab + b^2) : (a - b) = a - b$

Ví dụ 4: Áp dụng hằng đẳng thức:

a) $(x^2 - 9) : (x - 3) = (x - 3)(x + 3) : (x - 3) = x + 3$

b) $(4x^2 - 4x + 1) : (2x - 1) = (2x - 1)^2 : (2x - 1) = 2x - 1$

c) $(x^2 + 6x + 9) : (x + 3) = (x + 3)^2 : (x + 3) = x + 3$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Chia đa thức cho đơn thức, ta:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Một hình chữ nhật có diện tích $S = 2x^2 + 7x + 3$ (cm²) và chiều rộng $(x + 3)$ cm. Tính chiều dài.

Chiều dài $= S :$ chiều rộng

$= (2x^2 + 7x + 3) : (x + 3)$

Thực hiện phép chia:

$2x^2 + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)$

Vậy chiều dài là $(2x + 1)$ cm

⭐ Ghi nhớ

Chia đa thức - đơn thức: chia từng hạng tử
Chia đa thức - đa thức: $A = B \cdot Q + R$
Chia hết: $R = 0$
Bậc số dư: nhỏ hơn bậc số chia
Hằng đẳng thức: giúp chia nhanh

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Thực hiện phép chia:

a) $(8x^3 - 12x^2) : 4x$

b) $(15x^4 - 10x^3 + 5x^2) : 5x^2$

c) $(6x^2y - 9xy^2) : 3xy$

Bài 2: Tính:

a) $(x^2 + 7x + 12) : (x + 3)$

b) $(2x^2 - 5x - 3) : (x - 3)$

c) $(x^3 - 8) : (x - 2)$

Bài 3: Áp dụng hằng đẳng thức:

a) $(x^2 - 16) : (x - 4)$

b) $(9x^2 - 6x + 1) : (3x - 1)$

c) $(x^2 + 10x + 25) : (x + 5)$

Bài 4: Tìm thương và số dư:

a) $(x^3 + 2x^2 - x + 3) : (x + 1)$

b) $(2x^3 - x^2 + 4) : (x - 1)$

c) $(x^4 - 1) : (x^2 + 1)$

Bài 5: Tìm $a$ để đa thức $x^3 - 3x^2 + ax - 6$ chia hết cho $x - 2$ .

📊 Đáp số

Bài 1: a) $2x^2 - 3x$ ; b) $3x^2 - 2x + 1$ ; c) $2x - 3y$

Bài 2: a) $x + 4$ ; b) $2x + 1$ ; c) $x^2 + 2x + 4$

Bài 3: a) $x + 4$ ; b) $3x - 1$ ; c) $x + 5$

Bài 4: a) Thương: $x^2 + x - 2$ , Dư: 5; b) Thương: $2x^2 + x + 1$ , Dư: 5; c) Thương: $x^2 - 1$ , Dư: 0

Bài 5: $a = 5$