Lớp 7 · Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

Bài 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

🚀 Khởi động

🎯 Bất đẳng thức tam giác

Tổng hai cạnh

Lớn hơn cạnh thứ ba

−

Hiệu hai cạnh

Nhỏ hơn cạnh thứ ba

🔍 Khám phá

📖 1. Bất đẳng thức tam giác

Định lí (Bất đẳng thức tam giác): Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Trong tam giác $ABC$ :

$AB + AC > BC$

$AB + BC > AC$

$AC + BC > AB$

Chứng minh: (Chứng minh $AB + AC > BC$ )

Kéo dài $BA$ một đoạn $AD = AC$ .

Trong tam giác $BDC$ : $BD > BC$ (đường gấp khúc dài hơn đường thẳng)

Mà $BD = BA + AD = AB + AC$

Vậy $AB + AC > BC$

📖 2. Hệ quả

Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ luôn nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Trong tam giác $ABC$ :

$|AB - AC| < BC$

$|AB - BC| < AC$

$|AC - BC| < AB$

Ví dụ 1: Tam giác $ABC$ có $AB = 5$ cm, $AC = 8$ cm. Tìm độ dài có thể của cạnh $BC$ .

Theo bất đẳng thức tam giác:

$AB + BC > AC$ → $5 + BC > 8$ → $BC > 3$

$AC + BC > AB$ → $8 + BC > 5$ (luôn đúng)

$AB + AC > BC$ → $5 + 8 > BC$ → $BC < 13$

Vậy: $3 < BC < 13$ (cm)

Hoặc viết gọn: $|8 - 5| < BC < 8 + 5$ , tức $3 < BC < 13$

📖 3. Điều kiện để ba đoạn thẳng tạo thành tam giác

Điều kiện: Ba đoạn thẳng có độ dài $a$ , $b$ , $c$ tạo thành một tam giác khi và chỉ khi:

$a + b > c$ , $a + c > b$ , $b + c > a$

Hoặc đơn giản hơn: Tổng hai cạnh nhỏ hơn phải lớn hơn cạnh lớn nhất.

Ví dụ 2: Kiểm tra xem ba đoạn thẳng sau có tạo thành tam giác không:

a) $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm

Kiểm tra: $3 + 4 = 7 > 5$ ✓

Vậy tạo thành tam giác.

b) $2$ cm, $3$ cm, $6$ cm

Kiểm tra: $2 + 3 = 5 < 6$ ✗

Vậy không tạo thành tam giác.

c) $5$ cm, $5$ cm, $10$ cm

Kiểm tra: $5 + 5 = 10$ (không lớn hơn) ✗

Vậy không tạo thành tam giác.

📖 4. Bài toán tìm độ dài cạnh thứ ba

Ví dụ 3: Tam giác có hai cạnh dài $6$ cm và $10$ cm. Cạnh thứ ba có độ dài là số nguyên. Tìm các giá trị có thể của cạnh thứ ba.

Gọi cạnh thứ ba là $x$ (cm).

Theo bất đẳng thức tam giác:

$|10 - 6| < x < 10 + 6$

$4 < x < 16$

Vì $x$ là số nguyên nên: $x \in \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Ba thành phố $A$ , $B$ , $C$ tạo thành tam giác. Biết khoảng cách $AB = 30$ km, $AC = 40$ km.

a) Khoảng cách $BC$ có thể nằm trong khoảng nào?

b) Nếu $BC = 50$ km, ba thành phố có tạo thành tam giác không?

c) Nếu $BC = 70$ km thì sao?

Giải:

a) Theo bất đẳng thức tam giác:

$|40 - 30| < BC < 40 + 30$

$10 < BC < 70$ (km)

b) $BC = 50$ km thỏa mãn $10 < 50 < 70$

Vậy ba thành phố tạo thành tam giác.

c) $BC = 70$ km không thỏa mãn (phải nhỏ hơn 70)

Vậy ba thành phố không tạo thành tam giác (thẳng hàng).

⭐ Ghi nhớ

Bất đẳng thức tam giác: $a + b > c$
Hệ quả: $|a - b| < c$
Điều kiện tạo tam giác: tổng hai cạnh > cạnh thứ ba
Tìm cạnh thứ ba: $|a - b| < c < a + b$
Kiểm tra nhanh: tổng hai cạnh nhỏ > cạnh lớn nhất

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Kiểm tra xem ba đoạn thẳng sau có tạo thành tam giác không:

a) $4$ cm, $5$ cm, $6$ cm

b) $2$ cm, $3$ cm, $5$ cm

c) $7$ cm, $8$ cm, $15$ cm

d) $5$ cm, $12$ cm, $13$ cm

Bài 2: Tam giác $ABC$ có $AB = 7$ cm, $AC = 10$ cm. Tìm độ dài có thể của cạnh $BC$ .

Bài 3: Tam giác có hai cạnh dài $8$ cm và $15$ cm. Cạnh thứ ba có độ dài là số nguyên. Tìm:

a) Giá trị nhỏ nhất của cạnh thứ ba

b) Giá trị lớn nhất của cạnh thứ ba

c) Tất cả các giá trị có thể

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ có chu vi $24$ cm, $AB = 8$ cm, $AC = 10$ cm. Tính $BC$ .

Bài 5: Chứng minh: Trong tam giác $ABC$ , nếu $AB = AC$ thì $BC < 2AB$ .

📊 Đáp số

Bài 1: a) Có; b) Không ( $2 + 3 = 5$ ); c) Không ( $7 + 8 = 15$ ); d) Có

Bài 2: $3 < BC < 17$ (cm)

Bài 3: a) 8 cm; b) 22 cm; c) $\{8, 9, 10, ..., 22\}$ (15 giá trị)

Bài 4: $BC = 6$ cm

Bài 5: Từ $AB + AC > BC$ và $AB = AC$ suy ra $2AB > BC$