Lớp 7 · Chương VI: Tỉ lệ thức và đại lượng tỉ lệ

Bài 21: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

🚀 Khởi động

🎯 Dãy tỉ số bằng nhau

Khi có nhiều tỉ số bằng nhau, ta có những tính chất đặc biệt!

⚖️

Dãy tỉ số

Nhiều tỉ số bằng nhau

➕

Tính chất

Tổng tử / tổng mẫu

🔍 Khám phá

📖 1. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Tính chất: Từ dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Ta có:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$

(với điều kiện các mẫu số khác 0 và $b \neq = d$ trong trường hợp trừ)

Chứng minh:

Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$

Suy ra: $a = bk$ và $c = d k$

Ta có:

$\frac{a + c}{b + d} = \frac{bk + d k}{b + d} = \frac{k ( b + d )}{b + d} = k$

$\frac{a - c}{b - d} = \frac{bk - d k}{b - d} = \frac{k ( b - d )}{b - d} = k$

Vậy $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d} = k$

Ví dụ 1: Cho $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ . Kiểm tra tính chất.

Giải:

$\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = 0.75$

$\frac{3 + 6}{4 + 8} = \frac{9}{12} = 0.75$ ✓

$\frac{3 - 6}{4 - 8} = \frac{- 3}{- 4} = 0.75$ ✓

📖 2. Tính chất mở rộng

Tính chất mở rộng: Từ dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$

Ta có:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{a - c + e}{b - d + f}$

(với điều kiện các mẫu số khác 0)

Ví dụ 2: Cho $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ . Tính $\frac{2 + 4 + 6}{3 + 6 + 9}$ .

Giải:

Theo tính chất mở rộng:

$\frac{2 + 4 + 6}{3 + 6 + 9} = \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Kiểm tra: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ ✓

📖 3. Ứng dụng: Tìm số chưa biết

Phương pháp: Đặt các tỉ số bằng $k$ , biểu diễn các số theo $k$ , rồi giải phương trình.

Ví dụ 3: Tìm $x, y$ biết $\frac{x}{3} = \frac{y}{5}$ và $x + y = 24$ .

Giải:

Đặt $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = k$

Suy ra: $x = 3 k$ và $y = 5 k$

Thay vào điều kiện: $x + y = 24$

$3 k + 5 k = 24$

$8 k = 24$

$k = 3$

Vậy: $x = 3 \times 3 = 9$ và $y = 5 \times 3 = 15$

Ví dụ 4: Tìm $x, y, z$ biết $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ và $x + y + z = 50$ .

Giải:

Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k$

Suy ra: $x = 2 k$ , $y = 3 k$ , $z = 5 k$

Thay vào điều kiện: $x + y + z = 50$

$2 k + 3 k + 5 k = 50$

$10 k = 50$

$k = 5$

Vậy: $x = 10$ , $y = 15$ , $z = 25$

Ví dụ 5: Tìm $a, b$ biết $\frac{a}{4} = \frac{b}{7}$ và $a - b = 9$ .

Giải:

Đặt $\frac{a}{4} = \frac{b}{7} = k$

Suy ra: $a = 4 k$ và $b = 7 k$

Thay vào điều kiện: $a - b = 9$

$4 k - 7 k = 9$

$- 3 k = 9$

$k = - 3$

Vậy: $a = 4 \times (- 3) = - 12$ và $b = 7 \times (- 3) = - 21$

📖 4. Bài toán chia tỉ lệ

Dạng bài: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước.

Ví dụ 6: Chia số 120 thành ba phần tỉ lệ với 2, 3, 5.

Giải:

Gọi ba phần cần tìm là $x, y, z$ .

Theo đề bài: $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ và $x + y + z = 120$

Đặt $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k$

Suy ra: $x = 2 k$ , $y = 3 k$ , $z = 5 k$

Từ $x + y + z = 120$ :

$2 k + 3 k + 5 k = 120$

$10 k = 120$

$k = 12$

Vậy: $x = 24$ , $y = 36$ , $z = 60$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Cho $\\frac{a}{b} = \\frac{c}{d}$ . Tỉ số này bằng:

🌍 Vận dụng

🌍 Vận dụng thực tế

Bài toán: Ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây. Số cây của ba lớp tỉ lệ với 4, 5, 6. Biết lớp 7A trồng ít hơn lớp 7C là 20 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?

Giải:

Gọi số cây của ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là $a, b, c$ (cây).

Theo đề bài: $\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6}$ và $c - a = 20$

Đặt $\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6} = k$

Suy ra: $a = 4 k$ , $b = 5 k$ , $c = 6 k$

Từ $c - a = 20$ :

$6 k - 4 k = 20$

$2 k = 20$

$k = 10$

Vậy:

Lớp 7A: $a = 40$ cây
Lớp 7B: $b = 50$ cây
Lớp 7C: $c = 60$ cây

⭐ Ghi nhớ

Tính chất: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$
Mở rộng: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f}$
Phương pháp: Đặt các tỉ số bằng $k$ , biểu diễn theo $k$
Ứng dụng: Tìm số chưa biết, chia tỉ lệ
Điều kiện: Các mẫu số khác 0

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Tìm $x, y$ biết:

a) $\frac{x}{5} = \frac{y}{7}$ và $x + y = 36$

b) $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$ và $x - y = 5$

c) $\frac{x}{2} = \frac{y}{5}$ và $2 x + y = 27$

Bài 2: Tìm $x, y, z$ biết:

a) $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ và $x + y + z = 45$

b) $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{7}$ và $x + y - z = 5$

c) $\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z}{6}$ và $2 x - y + z = 21$

Bài 3: Chia số 180 thành ba phần:

a) Tỉ lệ với 2, 3, 4

b) Tỉ lệ với 1, 2, 3

c) Tỉ lệ với 3, 5, 7

Bài 4: Ba đội công nhân làm việc, số sản phẩm của ba đội tỉ lệ với 3, 4, 5. Biết đội thứ nhất làm ít hơn đội thứ ba 40 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi đội.

Bài 5: Chu vi một tam giác là 48 cm. Ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 3, 4, 5. Tính độ dài mỗi cạnh.

Bài 6: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . Chứng minh rằng:

a) $\frac{a + b}{a - b} = \frac{c + d}{c - d}$

b) $\frac{a ^{2} + c ^{2}}{b ^{2} + d ^{2}} = \frac{a c}{b d}$

Bài 7: Tìm ba số $x, y, z$ biết $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ và $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 380$ .

Bài 8: Một hình chữ nhật có chu vi 56 cm. Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng là $\frac{4}{3}$ . Tính diện tích hình chữ nhật.

📊 Đáp số

Bài 1: a) $x = 15, y = 21$ ; b) $x = 15, y = 20$ ; c) $x = 6, y = 15$

Bài 2: a) $x = 10, y = 15, z = 20$ ; b) $x = 15, y = 25, z = 35$ ; c) $x = 12, y = 15, z = 18$

Bài 3: a) 40, 60, 80; b) 30, 60, 90; c) 36, 60, 84

Bài 4: Đội 1: 60 sp, Đội 2: 80 sp, Đội 3: 100 sp

Bài 5: 12 cm, 16 cm, 20 cm

Bài 6: Chứng minh bằng cách đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$

Bài 7: $x = 4, y = 6, z = 10$ (hoặc $x = - 4, y = - 6, z = - 10$ )

Bài 8: Chiều dài 16 cm, chiều rộng 12 cm, diện tích 192 cm²