Lớp 7 · Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến

Bài 25: Đa thức một biến

🚀 Khởi động

🎯 Đa thức một biến

Một biến

Chỉ có một chữ

Bậc

Số mũ cao nhất

🔍 Khám phá

📖 1. Định nghĩa đa thức một biến

Đa thức một biến là tổng của các đơn thức của cùng một biến.

Ký hiệu: $P (x), Q (x), R (x), ...$

Dạng tổng quát:

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}$

trong đó $a_{n}, a_{n - 1}, ..., a_{1}, a_{0}$ là các hệ số.

Ví dụ 1: Các đa thức một biến:

$P (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ (biến $x$ )
$Q (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x + 1$ (biến $x$ )
$R (t) = 5 t^{4} - 3 t^{2} + 7$ (biến $t$ )

Không phải đa thức một biến:

$x^{2} + y^{2}$ (có hai biến)
$3 x y - 2 x$ (có hai biến)

📖 2. Các khái niệm

Bậc của đa thức: Là bậc của hạng tử có bậc cao nhất (khi đa thức đã thu gọn).

Hệ số cao nhất: Là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất.

Hệ số tự do: Là hạng tử không chứa biến.

Nghiệm của đa thức: Là giá trị của biến làm cho đa thức bằng 0.

Ví dụ 2: Cho $P (x) = 5 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 7$

Bậc: 3
Hệ số cao nhất: 5
Hệ số tự do: -7
Các hệ số: $a_{3} = 5, a_{2} = - 2, a_{1} = 3, a_{0} = - 7$

📖 3. Sắp xếp đa thức

Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần: Từ bậc cao đến bậc thấp

Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần: Từ bậc thấp đến bậc cao

Ví dụ 3: Sắp xếp đa thức $P (x) = 3 - 5 x + 2 x^{3} - x^{2}$

Giảm dần: $P (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 5 x + 3$

Tăng dần: $P (x) = 3 - 5 x - x^{2} + 2 x^{3}$

📖 4. Giá trị của đa thức

Ví dụ 4: Cho $P (x) = x^{2} - 3 x + 2$ . Tính $P (1), P (2), P (0)$ .

$P (1) = 1^{2} - 3 (1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

$P (2) = 2^{2} - 3 (2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$

$P (0) = 0^{2} - 3 (0) + 2 = 2$

Vậy $x = 1$ và $x = 2$ là nghiệm của $P (x)$ .

📖 5. Hai đa thức bằng nhau

Hai đa thức bằng nhau khi và chỉ khi các hệ số của các hạng tử cùng bậc bằng nhau.

Ví dụ 5: Tìm $a, b$ biết $2 x^{2} + a x + 3 = 2 x^{2} - 5 x + b$

So sánh hệ số:

Hệ số của $x^{2}$ : $2 = 2$ ✓
Hệ số của $x$ : $a = - 5$
Hệ số tự do: $3 = b$

Vậy $a = - 5, b = 3$

✏️ Luyện tập

Câu 1 / 6

Dễ0 đã trả lời

Đa thức một biến là đa thức có:

🌍 Vận dụng

Bài toán: Một vật rơi tự do từ độ cao $h$ mét. Quãng đường rơi sau $t$ giây được tính bởi công thức $s (t) = 5 t^{2}$ .

a) Đây có phải là đa thức một biến không?

b) Tính quãng đường rơi sau 3 giây

Giải:

a) Có, $s (t) = 5 t^{2}$ là đa thức một biến $t$ , bậc 2

b) $s (3) = 5 (3)^{2} = 5 \times 9 = 45$ mét

⭐ Ghi nhớ

Đa thức một biến: chỉ có một biến
Bậc: số mũ cao nhất
Hệ số cao nhất: hệ số của hạng tử bậc cao nhất
Hệ số tự do: hạng tử không chứa biến
Nghiệm: giá trị làm đa thức bằng 0
Sắp xếp: tăng dần hoặc giảm dần theo bậc

📝 Bài tập tự luận

Bài 1: Xác định bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của các đa thức:

a) $P (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$

b) $Q (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

c) $R (x) = 7 x^{3} + 3 x - 4$

Bài 2: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần:

a) $P (x) = 5 - 3 x + x^{2} - 2 x^{3}$

b) $Q (x) = 2 x - 7 + 4 x^{3} - x^{2}$

Bài 3: Tính giá trị của đa thức $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 1$ tại:

a) $x = 0$

b) $x = 1$

c) $x = 2$

d) $x = - 1$

Bài 4: Tìm nghiệm của các đa thức:

a) $P (x) = 2 x - 6$

b) $Q (x) = x^{2} - 4$

c) $R (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Bài 5: Tìm $a, b$ biết:

a) $3 x^{2} + a x - 5 = 3 x^{2} + 2 x + b$

b) $x^{3} - 2 x + a = x^{3} + b x + 3$

📊 Đáp số

Bài 1: a) Bậc 2, hệ số cao nhất 3, hệ số tự do 2; b) Bậc 4, hệ số cao nhất 1, hệ số tự do 1; c) Bậc 3, hệ số cao nhất 7, hệ số tự do -4

Bài 2: a) $- 2 x^{3} + x^{2} - 3 x + 5$ ; b) $4 x^{3} - x^{2} + 2 x - 7$

Bài 3: a) -1; b) -1; c) 1; d) -4

Bài 4: a) $x = 3$ ; b) $x = 2$ hoặc $x = - 2$ ; c) $x = 2$ hoặc $x = 3$

Bài 5: a) $a = 2, b = - 5$ ; b) $a = 3, b = - 2$